Séance du 23 septembre.
On
a (Hi)⊥=Vect(ϕi).
On veut montrer l'égalité (H1∩H2)⊥=(H1)⊥+(H2)⊥ ce qui correspond à l'énoncé
: les formes linéaires nulles sur H1∩H2 sont
exactement les combinaisons linéaires de ϕ1 et ϕ2.
Il y a une inclusion évidente (H1)⊥+(H2)⊥⊂ (H1∩H2)⊥ mais
plutôt que de comparer les dimensions, on compare les
orthogonaux selon l'affirmation F=G si et seulement si F⊥=G⊥,
pour F,G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel
E.
Au tableau :
L'inclusion H1∩H2 ⊂ (H1∩H2)⊥⊥ est
abusive : H1∩H2 est
un sous-espace de ℝn, (H1∩H2)⊥⊥ est
un sous-espace de ℝn**. Pour comparer les deux, il
faut comparer ℝn avec ℝn**, ce
qu'on fait via l'application canonique Φ.
Alternative : pour F sev de E* on note F' le sev ⋂ϕ∈F Ker(ϕ)
de E, et on compare ((H1∩H2)⊥)'
avec ((H1)⊥+(H2)⊥)'.
A faire :
rédiger tout ceci proprement. ★Montrer que lorsqu'on
remplace ℝn par ℝ[X] l'inclusion
(H1)⊥+(H2)⊥⊂ (H1∩H2)⊥
peut-être stricte.
Difficulté intrinsèque de tout ceci ? Il y a indéniablement une abstraction inhabituelle. En compensation on raisonne avec peu de symboles et d'énoncés (l'inclusion, l'orthogonal, les arguments de dimension éventuellement, ...), la réponse aux questions se révèle courte.
Correction :
L'inclusion (H1)⊥+(H2)⊥⊂ (H1∩H2)⊥ est
toujours une égalité, qu'importe que l'espace ambiant E (E=ℝn dans
l'énoncé de l'ex.5) soit de dimension finie ou
pas.
Utiliser une décomposition adaptée de E : Soient W1 un
supplémentaire de H1∩H2 dans H1, W2 un
supplémentaire de H1∩H2 dans H2,
W un supplémentaire de H1+H2 dans
E. Montrer que E est la somme directe (H1∩H2)⊕W1⊕W2⊕W
et observer que toute forme linéaire sur E est déterminée par ses
restrictions à ces quatre sous-espaces, c'est à dire E*→(H1∩H2)*×(W1)*×(W2)*×W*, ϕ
↦ (ϕ|H1∩H2,ϕ|W1,ϕ|W2,ϕ|W)
est une bijection (un isomorphisme en fait).
- Le sujet↗️
- Un corrigé↗️ par l'algèbre linéaire et
matricielle des questions 1 à 8 suivi d'un corrigé des questions 9
et 10.
- Un corrigé "savant" (algèbre des polynômes et formule de Taylor)
des questions 4 et 5.
Bonjour,
J'animerai à nouveau une discussion de 20mn sur l'enseignement de l'algèbre linéaire en lien avec le TD aujourd'hui à 14h45 dans la grande salle du fond du rez-de-chaussée du bâtiment M. On discutera notamment de bibliographie et de la place de l'algèbre linéaire aux concours d'enseignement.
Cordialement,
F-X. Dehon
7 nov : Feuille 4 ex.1 avec l'expression matricielle d'une forme quadratique, ex.3
A faire : ex.3 matrice B en observant que (1,-i,1) (ou bien (i,1,i)) est dans le noyau de B, en déterminant la matrice 2x2 de l'action de B sur l'orthogonal de (1,-i,1) dans une base orthonormée choisie, en diagonalisant cette matrice dans une BON et en en déduisant une diagonalisation de B dans une BON.
Bonjour,
Comme annoncé en TD (groupe 1) je ferai une séance "en distanciel" de rattrapage du TD du 11 novembre demain samedi de 8h à 10h sur Zoom ; le lien Zoom est ici sur Moodle↗️ (onglet TDs et Contrôles).
Un smartphone ou tablette de moins de six ans avec connexion internet et l'application zoom.us installée ou un navigateur suffisamment récent devraient suffire pour suivre la séance ; le plus important est d'être au calme, pourquoi pas dans une salle du campus. A noter que la bibliothèque universitaire du campus Valrose sera ouverte demain samedi de 10h à 17h.
Cordialement,
F-X. Dehon
Bonjour,
Je commencerai demain la séance de TD à 8h15 plutôt que 8h.
Cordialement,
F-X. Dehon
Bonjour,
Comme annoncé en TD je ferai une demi-séance de TD sur Zoom demain samedi de 9h à 10h. Le lien Zoom est ici sur Moodle↗️ (onglet TDs et Contrôles).
La semaine prochaine il y aura TD lundi dans les conditions habituelles et exceptionnellement jeudi de 8h à 9h15 dans une salle à préciser (peut-être l'amphi physique, habituel sur ce créneau). Pas de séance vendredi prochain.
Je prévois une séance de soutien sur Zoom la semaine suivante (semaine des examens) mercredi ou jeudi en fin d'après-midi à votre convenance.
Cordialement,
F-X. Dehon
28 nov. :
Feuille 4bis ex. 3 (A,B) ↦ tr(tAB).
Début feuille 5 (géométrie affine) ex.2 (combinaisons
barycentriques)
2 déc. :
Feuille 5 ex.2
3 déc. (Séance sur
Zoom) : Expérimentation Sagemath↗️ sur la question 2
de l'interrogation
Feuille 5 ex.3-4. Notes de la session↗️.
Bonjour,
Pour la séance de demain 8h je vous donne rendez-vous devant la salle M32. Si elle n'est pas libre nous trouverons facilement une salle libre adjacente car les enseignements de L1 sont terminés.
Cordialement,
F-X. Dehon
Bonjour,
Comme proposé lors de la dernière séance (groupe 1) je ferai une séance de réponses aux questions demain mercredi à 15h en salle M32. Les questions peuvent être sur un point du cours, revoir un exercice de TD ou d'annale d'examen ou la rédaction de sa solution du point de vue de l'étudiant, et bien sûr toute question que vous vous posez à laquelle je ne pense pas.
Cordialement,
F-X. Dehon
Bonjour,
Voici un corrigé (écrit comme une copie d'étudiant) de l'ex.1 de l'examen de décembre 2021. J'avoue que l'exercice n'est pas très facile, notamment la question 1.e pas vraiment à portée.
Cordialement,
F-X. Dehon