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Q.R. d'ordre supérieur en temps

L'équation que nous allons utiliser pour remonter le temps est maintenant la suivante :

$\displaystyle \varepsilon \displaystyle \frac{\partial ^ku_\varepsilon }{\parti... ...al u_\varepsilon }{\partial t} = \frac{\partial ^2u_\varepsilon }{\partial x^2}$ (4.9)

avec $ k$ valant soit $ 3$ , soit $ 4$ , et $ \varepsilon $ pouvant de nouveau être positif ou négatif. L'intervalle de travail est encore de longueur $ 0.05$ . On se donne toujours une condition initiale $ \displaystyle u_\varepsilon (x,0)=\chi(x)$ , on impose toujours la nullité de la solution sur $ \partial \Omega$ , et on se donne $ \displaystyle \frac{\partial ^iu_\varepsilon }{\partial t^i}(x,0)$ pour $ i$ variant de $ 1$ à $ k-1$ , par analogie avec le paragraphe précédent.

Figure 4.6: Solutions optimales du problème (4.9) avec $ k=3$ (a) et $ k=4$ (b).
\includegraphics[width=6cm]{chap5.fig/3_44.eps}   \includegraphics[width=6cm]{chap5.fig/4_44.eps}
(a)   (b)

Les solutions de cette équation sont représentées sur la figure 4.6, pour des valeurs de $ k$ choisies égales à $ 3$ (a) et $ 4$ (b) respectivement. Pour $ k=3$ , la méthode ne donne absolument rien. En effet, on assiste à un changement de signe de la solution, puis à une tendance à diverger fortement. En partant après d'une telle condition initiale pour le problème de la chaleur classique, non seulement la solution obtenue est trop grande en norme, mais elle est de signe opposé à ce à quoi on s'attend.

Par contre, lorsqu'on choisit $ k$ égal à $ 4$ , on retrouve une solution qui a la même allure générale qu'avec la méthode Q.R. classique. L'erreur minimale (mesurée en norme infinie entre $ \chi$ et la condition finale reconstruite) est d'environ $ 15\%$ , et donc bien supérieure à celle obtenue avec la méthode originale. De plus, ce minimum est atteint pour une valeur de $ \varepsilon $ égale à $ 0.44$ . Cette valeur est bien trop importante pour ne pas dénaturer l'équation de la chaleur.

D'autres tests ont été réalisés dans ce dernier cas ($ k=4$ ) mais aucun n'a permis d'obtenir des résultats plus concluants.

Il apparaît donc que la méthode Q.R. originale, bien que peu satisfaisante, reste la meilleure méthode testée ici avec l'équation de la chaleur. L'équation de la chaleur constitue le premier modèle sur lequel nous avons testé la quasi-réversibilité puisque c'est une équation d'évolution relativement simple, et dont l'instabilité rétrograde est fort bien connue. Néanmoins, cette équation est trop éloignée des systèmes habituellement utilisés en océanographie car, notamment, elle est linéaire. Il convient donc d'essayer la quasi-réversibilité sur un système différentiel non linéaire, à comportement chaotique.

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