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Autres systèmes différentiels testés

Des tests ont tout d'abord été réalisés sur le système de Lorenz, un système non linéaire chaotique relativement simple. Nous présentons rapidement les équations du système de Lorenz (il sera étudié plus en détail dans la suite de ce chapitre) :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx}{dt} = \sigma (y-... ... xz, [0.4cm] \displaystyle \frac{dz}{dt} = \beta z + xy, \end{array} \right.$ (4.10)

avec $ \sigma=10$ , $ \rho = 28$ et $ \beta = \displaystyle \frac{8}{3}$ . En notant $ X=(x;y;z)$ le vecteur position de $ \mathbb{R}^3$ et $ F(X) = \left( \sigma (y-x) ; \rho x - y - xz ; \beta z + xy \right)$ le vecteur vitesse, le but du problème est de résoudre le système différentiel rétrograde

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dX}{dt} = F(X), \quad t\in [0,T], [0.5cm] X(T)=X_T, \end{array}\end{displaymath} (4.11)

c'est-à-dire d'identifier la condition initiale ayant conduit à $ X_T$ à l'instant final. En remplaçant $ t$ par $ T-t$ , on se ramène au problème d'évolution suivant :

$\displaystyle \displaystyle -\frac{dX}{dt} = F(X), \quad t\in [0,T],$ (4.12)

avec une condition initiale $ X(0) = X_0$ (qui est en fait la condition finale $ X_T$ du problème rétrograde).

Directement, cela est numériquement impossible. En effet, la solution diverge avant le temps $ t=1$ alors que les trajectoires du système direct n'auraient pas oscillé plus d'une fois dans le même temps.

Les équations Q.R. considérées sont les suivantes :

\begin{displaymath}\begin{array}{c} \displaystyle - \frac{dX}{dt} = F(X) + \vare... ...arepsilon \frac{d^2X}{dt^2} - \frac{dX}{dt} = F(X), \end{array}\end{displaymath} (4.13)

avec $ \varepsilon $ de signe a priori quelconque. La première équation est l'application directe de la quasi-réversibilité au système de Lorenz (en ajoutant l'opérateur $ F$ au carré) et la seconde équation correspond à un opérateur de quasi-réversibilité en temps.

Malheureusement, aucune de ces deux équations n'a donné de résultats numériques intéressants : la trajectoire diverge toujours aussi rapidement, et il n'est pas envisageable de travailler sur des intervalles de longueur inférieure à la période moyenne (de l'ordre de $ 1$ ) des oscillations des trajectoires directes. Les autres variantes de la méthode Q.R. présentées précédemment ont également été testées sur le système de Lorenz, toujours sans succès.

Des tests sommaires ont également été réalisés sur un modèle océanique quasi-géostrophique barotrope, toujours sans succès.

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