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Q.R. d'ordre $ 2$ en temps

L'équation considérée comme problème rétrograde est désormais la suivante :

$\displaystyle \varepsilon \displaystyle \frac{\partial ^2u_\varepsilon }{\parti... ...l u_\varepsilon }{\partial t} = \frac{\partial ^2u_\varepsilon }{\partial x^2}.$ (4.8)

On se réserve désormais le droit de prendre $ \varepsilon $ négatif puisqu'il n'est pas évident de savoir quel signe mettre devant le terme d'ordre $ 2$ en temps. Si $ \varepsilon $ est choisi positif, l'équation (4.8) est du type équation des ondes, et il suffit de mettre les conditions aux bords suivantes pour obtenir l'existence et l'unicité de la solution :

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \displaystyle u_\varepsilon (x,0)=\chi(x), ... ...(x,t)=0, \quad & x \in \partial \Omega, t\in]0,T[. \end{array}\end{displaymath}

Par contre, si $ \varepsilon $ est choisi négatif, l'équation (4.8) s'apparente à une équation de Laplace et il faudrait se donner une condition initiale, une condition finale et une condition sur les bords pour avoir un problème bien posé. Malheureusement, il est impossible de se donner numériquement une condition finale puisque c'est ce que l'on cherche à identifier. Nous allons donc imposer les mêmes conditions aux bords que pour $ \varepsilon $ positif dans un cadre strictement numérique.

Figure 4.5: Solutions optimales du problème (4.8) pour des valeurs de $ \varepsilon $ respectivement positives (a) et négatives (b).
\includegraphics[width=6cm]{chap5.fig/new_1_5.eps}   \includegraphics[width=6cm]{chap5.fig/2_neg.eps}
(a)   (b)

Les figures 4.5-a et -b montrent les solutions optimales de ce dernier problème (puis, pour les temps positifs, les solutions de l'équation de la chaleur directe) pour des valeurs de $ \varepsilon $ choisies respectivement positives et négatives. L'intervalle de temps sur lequel ont été intégrées les solutions est de nouveau de longueur $ 0.05$ , car comme précédemment, lorsque celui-ci est choisi trop grand ($ 0.1$ ou plus), les résultats empirent assez vite.

Dans un cas comme dans l'autre, la solution construite est très mauvaise, avec une erreur relative de plus de $ 50\%$ . Par contre, on peut noter une différence de courbure entre la figure 4.5-a et toutes les autres figures obtenues dans ce chapitre. Ceci intervient lorsque le paramètre $ \varepsilon $ est choisi parmi les réels strictement négatifs, et donc pour un problème de nature elliptique.

Cette méthode apparaissant comme nettement moins bonne que la méthode Q.R. originale, nous ne nous sommes pas attardés à faire de plus amples tests numériques.

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