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Présentation des équations du système de Lorenz

Le système de Lorenz est un jeu de trois équations différentielles non linéaires couplées faisant intervenir les trois variables $ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$  :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx}{dt} = \sigma (y-... ... xz, [0.4cm] \displaystyle \frac{dz}{dt} = \beta z + xy, \end{array} \right.$ (4.20)

où $ \sigma$ , $ \rho$ et $ \beta$ sont des constantes réelles positives. Dans la suite, ces constantes pour valeurs : $ \sigma=10$ , $ \rho = 28$ et $ \beta=\displaystyle \frac{3}{8}$ .

Figure 4.7: Évolution dans le temps du vecteur d'état $ (x,y,z)$ du système de Lorenz (a), et variations de la variable $ x$ en fonction du temps pour les mêmes conditions initiales
\includegraphics[width=6cm]{chap4.fig/lorenz3d.eps}   \includegraphics[width=6cm]{chap4.fig/lorenzx2.eps}
(a)   (b)

La figure 4.7-a montre l'évolution du vecteur $ \left( x(t),y(t),z(t)\right)$ sur l'intervalle de temps $ [-15,25]$ , obtenue en intégrant le système de Lorenz à partir de la condition initiale $ (-4.62,-6.61,17.94)$ au temps $ t=-15$ . La figure 4.7-b correspond à l'évolution de la variable $ x(t)$ en fonction du temps à partir des mêmes conditions initiales. Les deux régimes du système de Lorenz correspondent à des oscillations autour de deux points fixes instables du système, symétriques par rapport à l'axe $ x = y = 0$ . Les oscillations autour de chacun des points fixes, pendant lesquelles la variable $ x$ garde un signe constant, sont clairement visibles sur la figure 4.7, et ont une période de l'ordre de $ 1$ . Leur amplitude augmente progressivement, et après quelques oscillations, une transition a lieu vers l'autre point fixe. Les transitions correspondent à un changement de signe de $ x$ .

En notant $ X=(x;y;z)$ le vecteur position et $ F(X)=\left(\sigma (y-x) \right.$ ; $ \rho x - y - xz$ ; $ \left.\beta z + xy \right)$ le vecteur vitesse, le système de Lorenz s'écrit exactement sous la forme de l'équation (4.14).

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