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Remarques sur la méthode

L'écriture du problème sous la forme (4.16) permet de faire apparaître un lien assez clair avec les méthodes séquentielles reposant sur le filtre de Kalman. En effet, si la matrice de nudging $ K$ est convenablement choisie, le nudging ainsi utilisé se ramène à un filtrage de Kalman, et en conséquence, pour un problème linéaire, le nudging optimal est équivalent au filtre de Kalman.

En prenant l'opérateur d'observation $ H$ égal à l'identité et en écrivant un schéma temporel aux différences finies pour (4.16), on peut écrire le problème sous la forme

$\displaystyle \displaystyle \frac{X_{n+1}^a-X_n^a}{t_{n+1}-t_n}=F_n X_n^a + K_{n+1} ({X_{obs}}_{n+1}-X_{n+1}^f)$

où $ X_n^a$ est l'état analysé à l'instant $ t_n$ , $ K_n$ la matrice de nudging à l'instant $ t_n$ , et $ X_n^f$ l'ébauche de l'état du système à l'instant $ t_n$ .

En résolvant d'abord l'équation (4.14) du temps $ t_n$ au temps $ t_{n+1}$ en partant de $ X_n^a$ pour construire l'ébauche $ X_{n+1}^f$ , on retrouve la formule (2.9) du filtre de Kalman. En remplaçant $ X_{n+1}^f$ par $ X_n^a+(t_{n+1}-t_n)F_n X_n^a$ , la formule donnant $ X_{n+1}^a$ est alors exactement l'équation (2.11) donnant le nouvel état analysé dans la méthode du filtre de Kalman. L'équivalence des deux méthodes est alors vérifiée en choisissant à chaque instant comme matrice de nudging la matrice de gain du filtre de Kalman.

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