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Développement asymptotique

La fonction coût reste inchangée et est définie par (2.10), puisque nous souhaitons trouver les fissures $ \sigma\subset\omega$ qui minimisent l'écart entre ces deux solutions. En supposant que la fissure $ \sigma$ est égale à $ x+\rho\overline{\sigma}$ , où $ x$ est le point d'insertion de la fissure, $ \rho$ est la taille de la fissure insérée (supposée petite) et $ \overline{\sigma}$ est une fissure de référence, de normale $ n$ , alors on peut réécrire la fonction coût $ J$ définie par (2.10) comme étant une fonction $ j(\rho)$ de $ \rho$ uniquement. Le développement asymptotique est alors donné par

$\displaystyle j(\rho)-j(0) = f(\rho) g(x,n) + o(f(\rho)),$ (2.14)

où le gradient topologique $ g$ est donné par

$\displaystyle g(x,n) = -\left[ (\nabla u_D(x).n)(\nabla p_D(x).n)+(\nabla u_N(x).n)(\nabla p_N(x).n)\right],$ (2.15)

où $ u_D$ et $ u_N$ sont solutions de (2.11) et (2.12) respectivement, mais sans fissure $ \sigma$ insérée ( $ \sigma=\emptyset$ ). $ p_D$ et $ p_N$ sont les états adjoints associés, respectivement solutions dans $ H^1(\Omega)$ de

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} p_D = 0 \quad dans \Omega\backslash\om... ...sur \gamma, -\Delta p_D = -(u_D-u_N)\quad dans \omega, \end{array} \right.$ (2.16)

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} p_N = 0 \quad dans \Omega\backslash\om... ...sur \gamma, -\Delta p_N = +(u_D-u_N)\quad dans \omega. \end{array} \right.$ (2.17)

Le gradient topologique défini par (2.15) peut se réécrire sous la forme

$\displaystyle g(x,n) = n^T M(x) n,$ (2.18)

où $ M(x)$ est une matrice symétrique $ 2\times 2$ (ou $ 3\times 3$ dans le cas d'images tri-dimensionnelles, ou films) définie par

$\displaystyle M(x) = -sym(\nabla u_D(x) \otimes \nabla p_D(x)+\nabla u_N(x)\otimes \nabla p_N(x)).$ (2.19)

On en déduit que la valeur minimale de $ g(x,n)$ est atteinte lorsque $ n$ est le vecteur propre associé à la valeur propre $ \lambda_{min}(M(x))$ la plus négative de $ M(x)$ .

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