Problème de localisation des fissures

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Problème de localisation des fissures

Dans cette partie, nous supposons que le domaine $\Omega$ contient une fissure $\sigma^\ast$ . On impose un flux $\phi\in H^{-1/2}(\Gamma)$ sur le bord $\Gamma$ du domaine $\Omega$ , et on veut trouver $\sigma\subset\Omega$ telle que la solution $u\in H^1(\Omega\backslash\sigma)$ de

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \Delta u = 0 \quad dans \Omega\backsla... ...phi\quad sur \Gamma, \partial_n u = 0\quad sur \sigma, \end{array} \right.$

(2.7)

vérifie $u\vert _\Gamma = T$ où $T\in H^{1/2}(\Gamma)$ est donnée. Certaines conditions de compatibilité sur les données assurent que le problème est bien posé.

Une approche par gradient topologique a été introduite dans [9], et consiste à définir deux solutions différentes à partir des deux données de Dirichlet et Neumann:

$\displaystyle u_D\in H^1(\Omega\backslash\sigma) \textrm{ telle que } \left\{... ...T\quad sur \Gamma, \partial_n u_D = 0\quad sur \sigma, \end{array} \right.$

(2.8)

$\displaystyle u_N\in H^1(\Omega\backslash\sigma) \textrm{ telle que } \left\{... ...i\quad sur \Gamma, \partial_n u_N = 0\quad sur \sigma. \end{array} \right.$

(2.9)

En remarquant que les deux solutions coïncident si $\sigma=\sigma^\ast$ , l'idée consiste à minimiser la fonction coût

$\displaystyle J(\sigma) = \frac{1}{2} \Vert u_D-u_N\Vert^2_{L^2(\Omega)}.$

(2.10)

Le développement asymptotique topologique de cette fonctionnelle est détaillé dans [9].

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