Jean-Luc Thiffeault (University of Wisconsin-Madison) Parallel parking in a forest: lattice geometry of a turning body

Picture a long rod moving among the posts of a square array, like a railcar in a forest of point obstacles. Can it turn around? A short rod simply spins in place, and, more surprisingly, an infinitely thin needle of any length can always turn, thanks to a classical construction of Kakeya and Besicovitch. But give the rod some width and the answer becomes sharp: for each length there is a critical width above which the rod is stuck facing one way. I will explain how this question, which arose from simulations of particles in porous media, turns into lattice geometry. Whether a body can turn comes down to whether it fits somewhere among the posts at every angle, a question about covering the plane with copies of the body. For an ellipse this gives the turnaround curve exactly, with pieces labelled by Farey fractions; a rectangle follows a staircase with ramps. Exact computations of the configuration space show how a long body actually turns: by parallel parking along the lattice directions. Joint work with Sophia Wiedmann and Robert Argus.\n \n---------------------------\nTitre : Comment se retourner dans une forêt : géométrie des réseaux et rotation d'un corps rigide\n \nRésumé:\nImaginons une longue tige qui se déplace parmi les poteaux d'un réseau carré, comme un wagon de train dans une forêt d'obstacles ponctuels. Peut-elle faire demi-tour ? Une tige courte tourne simplement sur place et, plus surprenant, une aiguille infiniment fine de n'importe quelle longueur peut toujourstourner, grâce à une construction classique de Kakeya et Besicovitch. Mais donnons une épaisseur à la tige, et la réponse devient nette : pour chaque longueur, il existe une largeur critique au-delà de laquelle la tige reste bloquée dans une seule orientation. J'expliquerai comment cette question, issue de simulations de particules dans des milieux poreux, se ramène à la géométrie des réseaux. Savoir si un corps peut tourner revient à savoir s'il trouve sa place quelque part parmi les poteaux, à chaque angle : une question de recouvrement du plan par des copies du corps. Pour une ellipse, on obtient ainsi exactement la courbe de demi-tour, dont les morceaux sont indexés par des fractions de Farey ; un rectangle suit un escalier avec des rampes. Des calculs exacts de l'espace des configurations montrent comment un corps long tourne réellement : en faisant des créneaux le long des directions du réseau. Travail en collaboration avec Sophia Wiedmann et Robert Argus.\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/16475/