Emmanuel Trelat (Sorbonne Université) Analyse spectrale des Laplaciens sous-Riemanniens et mesure de Weyl

 \n\nLes lois de Weyl relient la répartition asymptotique des valeurs propres d’un laplacien à la géométrie de l’espace. En géométrie sous-riemannienne, les singularités peuvent modifier cette asymptotique et entraîner une concentration des fonctions propres, en moyenne, sur le lieu singulier.\nJe présenterai des travaux menés avec Yves Colin de Verdière et Luc Hillairet sur les lois locales et microlocales de Weyl. Notre approche repose sur les asymptotiques en temps petit du noyau de la chaleur et sur la nilpotentisation, qui fournit la géométrie tangente adaptée. Elle permet d’identifier la mesure de Weyl, qui décrit la répartition spatiale moyenne des fonctions propres à haute fréquence. Les modèles de Grushin et de Martinet illustreront le rôle des singularités, avant d’aborder des situations plus générales et quelques résultats d’ergodicité quantique.\nJ’évoquerai enfin des travaux avec Yves Colin de Verdière, Charlotte Dietze et Maarten de Hoop sur des modèles acoustiques de planètes géantes gazeuses. L’annulation de la vitesse du son à la surface y conduit à une géométrie singulière de type Grushin. La loi de Weyl permet, dans certains régimes, de retrouver cet ordre d’annulation. Ce problème inverse est motivé par la sismologie de Saturne.\n \n \n\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/16473/