Énergie cinétique

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Énergie cinétique

Le principal moteur des circulations océaniques est, dans notre modèle, le vent. L'énergie induite par la tension du vent en surface est redistribuée dans le bassin par les termes $\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x}$ et $J(\psi,\xi)$ , et dissipée par le frottement de fond. L'énergie cinétique est donnée par :

$\displaystyle E = \int_\Omega \nabla\psi.\nabla\psi=-\int_\Omega\psi\xi.$

(4.29)

On peut donc calculer la variation de l'énergie en fonction du temps :

$\displaystyle \frac{dE}{dt}=-\int_\Omega\frac{\partial \psi}{\partial t}\xi -\int_\Omega\frac{\partial \xi}{\partial t}\psi.$

La première intégrale vaut alors

$\displaystyle -\int_\Omega\frac{\partial \psi}{\partial t}\xi=-\int_\Omega\frac... ... -\int_\Gamma \frac{\partial \psi}{\partial n}\frac{\partial \psi}{\partial t}$

en utilisant la formule de Green. Comme $\psi$ est nul sur le bord à tout instant, on obtient :

$\displaystyle -\int_\Omega\frac{\partial \psi}{\partial t}\xi=\frac{1}{2}\frac{... ... }{\partial t} \int_\Omega \Vert\nabla\psi\Vert^2 = \frac{1}{2} \frac{dE}{dt}.$

On en déduit alors, en utilisant (4.25), que

$\displaystyle \frac{dE}{dt}=-2\left( \int_\Omega \psi.rot_z(V) -\delta_f \int_\... ...ga\psi J(\psi,\xi) -\int_\Omega \psi \frac{\partial \psi}{\partial x} \right).$

Dès que $\psi$ est nul ou $\xi$ est constant sur le bord (ce qui est le cas ici), on a $\displaystyle \int_\Omega \psi J(\psi,\xi)=0$ . En intégrant par parties, on obtient $\displaystyle \int_\Omega \psi \frac{\partial \psi}{\partial x}=0$ . On en déduit donc :

$\displaystyle \frac{dE}{dt}=-2\left( \int_\Omega \psi.rot_z(V)+\delta_f \int_\Omega \Vert\nabla\psi\Vert^2 \right).$

(4.30)

En régime stationnaire, l'équilibre se fait donc entre l'énergie fournie par la tension du vent en surface et celle dissipée par frottement au fond du bassin.

Les termes advectif $\displaystyle \int_\Omega\psi J(\psi,\xi)$ et de Coriolis $\displaystyle \int_\Omega\psi \frac{\partial \psi}{\partial x}$ n'interviennent pas dans la balance d'énergie cinétique. Ils redistribuent dans le bassin l'énergie fournie par le vent.

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