Conditions aux bords

suivant: Énergie cinétique monter: Équations du modèle précédent: Développements par rapport à Table des matières

Conditions aux bords

Nous allons maintenant discuter du choix des conditions aux bords du système (4.25). Soit $\Gamma=\partial \Omega$ la frontière du bassin. Nous imposerons sur la vitesse horizontale une condition de glissement à la paroi :

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} u v \end{array} \right) . n = 0 \quad \textrm{sur } \Gamma,$

(4.27)

où

est la normale extérieure au domaine. Si $\tau$ est la tangente à la frontière, la condition précédente traduite en terme de fonction de courant devient $\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial \tau}=0$ sur $\Gamma$ . On en déduit donc que $\psi$ est constant sur $\Gamma$ . La frontière coïncide donc avec une ligne de courant. De plus, $\psi$ étant défini à une constante près, on peut imposer sur le bord $\psi=0$ .

En reprenant la condition au bord (4.27), on a $\displaystyle \frac{\partial ((u;v).n)}{\partial \tau}=0$ . En développant cette dernière équation, on obtient :

$\displaystyle \left( \frac{\partial (u;v)}{\partial n} + \frac{1}{R} (u;v)\right).\tau + \xi = 0$

en appelant

le rayon de courbure de la frontière au point considéré. Pour un domaine carré ou rectangulaire,

est infini, donc son inverse est nul, et choisir $\xi=0$ le long de $\Gamma$ revient à considérer que la vitesse de l'écoulement le long des frontières n'est pas perturbée normalement à celles-ci. C'est la condition que l'on s'impose.

Les conditions aux bords choisies sont donc :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \psi = 0 \quad \textrm{sur } \Gamma, \Delta\psi=\xi=0 \quad \textrm{sur } \Gamma. \end{array} \right.$

(4.28)

suivant: Énergie cinétique monter: Équations du modèle précédent: Développements par rapport à Table des matières

Retour à la page principale