Résultats numériques du nudging rétrograde

Figure 4.8: Nudging rétrograde sur le système de Lorenz

La figure 4.8 montre la trajectoire de chacune des trois coordonnées du point courant en fonction du temps. et sont en bas et en haut. Pour un temps compris entre 0 et , on voit la trajectoire du système direct issue du point , les croix représentant les instants où on effectue des observations (ici, ). On relève à ces instants les coordonnées exactes du point.

Pour un temps compris entre et , on voit la solution du problème rétrograde avec nudging (4.21) utilisant comme condition initiale l'observation du système au temps (ici, ). L'impression de symétrie par rapport au temps vient du fait qu'entre les instants et , on remonte le temps en partant de la condition finale obtenue au temps à partir du problème direct. Les constantes de nudging , et ont été choisies de façon optimale, ni trop faible pour éviter à la solution de diverger, ni trop forte pour ne pas dénaturer le problème. Les intégrations des différentes équations étant suffisamment rapides, ces constantes ont été cherchées par dichotomie de sorte à fournir les meilleurs résultats sur plusieurs expériences dont les conditions initiales ont été choisies aléatoirement.

À partir du temps sont représentées d'une part en pointillés la solution du problème direct (sans nudging) avec comme condition initiale la solution finale du problème rétrograde précédent, et d'autre part, en trait plein, la solution exacte du problème, en utilisant la condition initiale .

On constate alors que pour des temps compris entre et presque , la trajectoire issue de la solution du problème rétrograde avec nudging reste proche de la trajectoire de référence, et vers le temps , la trajectoire change de point fixe attracteur et va osciller autour d'un autre point fixe. Cette méthode est donc satisfaisante puisque, pour une durée (environ ) supérieure à celle sur laquelle on a travaillé ( ) en rétrograde, la trajectoire approchée que l'on calcule reste très proche de la trajectoire réelle.

Figure 4.9: Nudging rétrograde appliqué au système de Lorenz, avec des observations contenant des erreurs de l'ordre de (a) et (b).

(a)   (b)

Ces résultats nous permettent d'affiner le modèle en rajoutant des erreurs dans les observations. Les figures 4.9-a et -b sont analogues à la figure 4.8 dans le cas où les observations relevées contiennent des erreurs de mesure, de l'ordre de pour la figure 4.9-a et de pour la figure 4.9-b. De plus, nous avons représenté à partir du temps (équivalent au temps , fin de la période d'assimilation et début de la période de prévisions) en pointillés fins la trajectoire issue de la dernière observation réalisée au temps .

On constate que la figure 4.9-a ressemble beaucoup à la figure 4.8, ce qui s'explique par le faible taux d'erreurs d'observation (néanmoins suffisant pour voir les croix représentant les observations réalisées en dehors de la trajectoire réelle). De plus, on constate qu'à partir de l'instant , la trajectoire issue de la dernière observation (en pointillés fins) s'éloigne de la trajectoire réelle (en trait plein) avant la trajectoire reconstruite par le nudging rétrograde. Ceci tend à démontrer une certaine efficacité et utilité de la méthode d'assimilation.

Par contre, lorsque les erreurs sont plus importantes (figure 4.9-b), la trajectoire prédite s'éloigne assez vite de la trajectoire réelle (après à peine plus d'une oscillation pour et ), tout comme la trajectoire issue de la dernière observation (en pointillés fins).

Le nudging rétrograde semble donc relativement bien adapté à des problèmes hautement non linéaires, mais nous avons mis en avant les limites de cette méthode dans le cas du système de Lorenz : il faut que les observations soient suffisamment fiables, et ne pas travailler sur de trop grandes périodes de temps.