Expériences numériques

Les calculs ont été effectués avec le logiciel Matlab, en dimension , avec un domaine , et avec ou selon les cas. Le pas d'espace a été fixé à . Le nombre de pas d'intégration en espace est égal à 50, quelle que soit la longueur de l'intervalle sur lequel nous avons travaillé. Le schéma d'intégration utilisé est Euler implicite, Crank-Nicolson ou Runge-Kutta d'ordre 4 suivant les cas et la précision voulue. La condition finale choisie est .

Chacune des figures suivantes, concernant la quasi-réversibilité appliquée à l'équation de la chaleur, se présente sous la forme suivante : sur l'axe des abscisses, le temps  ; sur l'axe des ordonnées, la position (graduée de 0.2 en 0.2) ; et suivant le dernier axe (vertical), pour les temps négatifs la solution du problème Q.R. (intégration rétrograde en partant de ) puis, pour les temps positifs, la solution du problème direct (intégration directe de l'équation de la chaleur en partant de la solution finale du problème rétrograde). La qualité de la méthode se lit alors en comparant le premier instant (condition finale recherchée) et le dernier instant (approximation reconstruite de cette même condition finale). Lorsque ces deux états sont proches l'un de l'autre, cela signifiera que la méthode Q.R. nous aura permis de trouver un bon antécédent de par l'opérateur de la chaleur.

Figure 4.1: Solutions analytiques des problèmes (4.6) et (4.5), avec .

La figure 4.1 montre les solutions exactes (calculées de façon analytique) des équations rétrograde et directe de la chaleur. En séparant les variables temporelle et spatiale de l'équation (4.6), on peut calculer analytiquement la solution de l'équation de la chaleur rétrograde, puis celle de l'équation de la chaleur directe en partant de la solution précédente. Ces deux solutions sont les mêmes, à un changement de variable temporelle près, ce qui explique la symétrie de la figure par rapport au temps 0. On est alors certain que l'on va retomber sur au temps . Néanmoins, même dans ces conditions particulières, il a été impossible d'intégrer numériquement l'équation de la chaleur rétrograde, comme nous le verrons également avec la méthode Q.R. dès que sera choisi trop petit.

Figure 4.2: Solutions numériques des problèmes (4.7) et (4.5) avec et .

La figure 4.2 montre dans les temps négatifs la solution du problème quasi-réversible (4.7) avec , puis dans les temps positifs la solution du problème direct (4.5) qui en découle. La valeur de a été choisie par dichotomie de sorte que la trajectoire ainsi construite suive au plus près la solution exacte tout au long de la période d'intégration. L'erreur en norme infinie entre la condition finale attendue et la condition finale reconstruite est de l'ordre de . On peut alors considérer que la quasi-réversibilité permet bien d'intégrer de façon rétrograde l'équation de la chaleur pour certaines valeurs particulières de la condition finale et de .

Figure 4.3: Solutions des problèmes (4.7) et (4.5) minimisant l'erreur pour , correspondant à .

La figure 4.3 montre la solution optimale en des mêmes problèmes, du point de vue de la norme sup de la différence entre les conditions finales théorique et estimée. La valeur optimale de (cherchée par dichotomie) est , et l'erreur correspondante est légèrement inférieure à . Cependant, comme cela a été évoqué précédemment, est trop petit et le problème Q.R. se rapproche de l'équation de la chaleur rétrograde, rendant les résolutions numériques particulièrement délicates, voire impossibles. On constate ainsi que la solution du problème Q.R. atteint des valeurs de l'ordre de et il est clair que la solution construite est aberrante, même si elle fournit l'erreur minimale sur la condition finale. Cependant, la condition finale obtenue est vraiment proche de , à quelques infimes oscillations près. Ceci s'explique vraisemblablement par le fait que l'équation de la chaleur a tendance à lisser les trajectoires. Cependant, nous voyons arriver les limites de la méthode Q.R.

Figure 4.4: Solutions approchées des problèmes (4.7) et (4.5) avec (a) et (b), et

(a)   (b)

Au vu de ces résultats, la longueur de l'intervalle de travail a été doublé, et désormais, est égal à . Les figures 4.4-a et 4.4-b montrent les solutions numériques des problèmes Q.R. et direct pour et respectivement. Dans le premier cas, a été choisi pour que la solution Q.R. soit la plus proche de la solution exacte au sens de la norme infinie mesurée sur tout l'intervalle , alors que dans le second cas, la valeur de a été choisie pour minimiser (toujours en norme infinie) l'écart uniquement entre les conditions finales. Dans le premier cas (a), l'erreur atteint (contre lorsque était égal à ), et dans le cas (b), l'erreur est de l'ordre de (contre précédemment), et une fois encore, la solution construite n'a aucun sens. Cette dernière remarque tend à montrer que la longueur de l'intervalle de travail est déjà trop importante. De même, les valeurs de croissent avec et atteignent presque , valeur presque trop grande pour considérer que l'on travaille encore sur l'équation de la chaleur.

Nous allons néanmoins tester plusieurs variantes de la quasi-réversibilité afin d'essayer d'obtenir de meilleurs résultats sur l'équation de la chaleur.