Considérons une petite perturbation
de la
condition initiale 
, où 
est le paramètre que nous
ferons tendre vers 0
et 
la direction de la perturbation. Soit
la solution du système
de
(2.19) et la solution 
de (2.17),
puis en divisant cela par
,
vérifie le système différentiel
suivant :
est alors la dérivée de
le long de la direction
.
La dérivée de 
par rapport à
dans la direction
est
alors :
 |
(2.21) |
En définissant l'état adjoint (voir [47] pour la construction des équations adjointes à partir des équations du modèle) :
![\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\nabla J(x_0).h &=& \displaystyle (x_0-x_...
...m]
& = & \displaystyle (x_0-x_b)^TB^{-1}h + p(0).h
\end{array}\end{displaymath}](img132.png)
On en déduit donc le gradient de la fonction coût :
étant l'état adjoint, solution de (2.22).
Si on utilise un algorithme de minimisation qui ne nécessite que
la connaissance de la fonction coût et de son gradient, à chaque
itération, il ne faut que deux intégrations d'un système
différentiel : le système direct (2.17) afin de
calculer
, et le système adjoint (2.22) afin
de calculer 
.
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d\tilde{x}}{dt}=F(\tilde{x}), [0.3cm] \tilde{x}(0)=x_0+\delta x_0. \end{array} \right.$](img126.png)
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d \delta x}{dt}=\left[ F'(x)\right]\delta x, [0.3cm] \delta x(0) = h. \end{array} \right.$](img128.png)
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{dp}{dt}=\left[F'(x)...
...t(y_i-H_i(x(t_i))\right) \delta_{t_i}(t), [0.3cm] p(T)=0 \end{array} \right.$](img131.png)
