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4D-VAR

Le 4D-VAR est une généralisation du 3D-VAR en ajoutant une dimension supplémentaire au problème de minimisation, le temps. En effet, on va considérer désormais que les observations sont distribuées en temps, et les traiter séparément à divers instants.

Considérons à nouveau un système régi par une équation différentielle du type :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx}{dt} = F(x), [0.3cm] x(0) = x_0, \end{array} \right.$ (2.17)

où $ x_0$ est mal connu.

Notons $ (t_i)$ , $ 0\le i\le n$ , les instants où des observations $ y_i$ sont disponibles. Notons $ H_i$ les opérateurs d'observation correspondants et $ R_i$ leur matrice de covariance d'erreur. On peut alors définir une fonction coût ainsi :

$\displaystyle J(x_0)=\frac{1}{2}(x_0-x_b)^TB^{-1}(x_0-x_b)+\frac{1}{2}\sum_{i=0}^n \left( y_i-H_i(x(t_i)) \right)^T R_i^{-1}\left( y_i-H_i(x(t_i)) \right)$ (2.18)

où $ x(t_i)$ est l'état du système obtenu en faisant évoluer les équations entre l'instant initial, avec $ x_0$ comme condition initiale, et $ t_i$ . Les équations du modèle interviennent donc de façon implicite dans la définition de cette fonctionnelle qui ne dépend que de la condition initiale $ x_0$ . Ce sont néanmoins des contraintes fortes.

La minimisation de cette fonctionnelle requiert la connaissance de son gradient. Celui-ci n'est plus évident à trouver, comme dans le cas du 3D-VAR. En effet, comment dépendent les termes $ x(t_i)$ de la condition initiale $ x_0$  ? Il faudrait, par une technique de différences finies, résoudre le système différentiel (2.17) au moins autant de fois que la dimension du vecteur $ x_0$ . Or, celle-ci dépasse souvent $ 10^6$ , et il n'est pas envisageable de résoudre des millions de fois un système déjà coûteux à résoudre une fois. Pour parer à cet inconvénient majeur, Le Dimet et al. [25] ont introduit en 1986 la méthode de l'adjoint qui permet, en une seule résolution d'un système équivalent au système (2.17), de trouver le gradient de la fonctionnelle.


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