Conditions aux bords

suivant: Algorithme 4D-VAR monter: Modèle physique précédent: Équations du modèle Table des matières

Conditions aux bords

La matrice tridiagonale sert à coupler les fonctions de courant des différentes couches. Elle peut être diagonalisée sous la forme :

$\displaystyle W = - P . \left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & & 0 & \ddots & 0 & & \lambda_n \end{array} \right) . P^{-1}$

(5.4)

avec $0 = \lambda_1 < \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$ (la somme des éléments sur une même ligne de

est nulle, donc

est singulière et admet donc 0 pour valeur propre), et

la matrice de passage.

On peut alors définir le vecteur $\Phi$ des modes correspondant aux fonctions de courants $\Psi$ :

$\displaystyle \Phi = \left( \begin{array}{c} \Phi_1 \vdots \Phi_n \end{array} \right) := P^{-1} \Psi.$

(5.5)

Les équations (5.1-5.3) peuvent être réécrites suivant les modes :

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}\left( \Delta \Phi - D \Phi \right) =... ..._n(\Psi)+f\right) -\alpha \Delta\Psi_n +\beta\Delta^2\Psi_n \end{array} \right)$

(5.6)

Nous pouvons alors étudier les conditions aux limites. Il faut exprimer le fait que le bassin est fermé. Il y a donc glissement aux bords et conservation de la masse. On a alors :

$\displaystyle \Psi_k = \textrm{ constante sur } \partial \Omega\times [0,T].$

(5.7)

Exprimée en termes de modes, cette condition s'écrit :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \Phi_1 = 0 \qquad \textrm{... ... d\sigma = 0 \qquad \forall t \in [0,T], \forall k \ge 2. \end{array} \right.$

(5.8)

Il faut ajouter l'équation suivante pour compléter les conditions aux bords :

$\displaystyle \Delta \Psi_k = 0 \qquad \textrm{sur } \partial \Omega \times [0,T], \forall k\in \{1 \dots n\}$

(5.9)

Les équations (5.7-5.9) constituent les conditions aux limites du modèle. Enfin, les conditions initiales (la donnée des $\Psi_k(0)$ ) s'y ajoutent pour compléter le système des équations du modèle.

suivant: Algorithme 4D-VAR monter: Modèle physique précédent: Équations du modèle Table des matières

Retour à la page principale