Les équations de contraintes apparaissent en relativité générale, dans l'analyse des équations d'Einstein comme un problème d'évolution. Leur résolution permet de déterminer les données initiales produisant des espaces-temps solutions de l'équation d'Einstein. La méthode conforme - initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York - rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d'un système d'équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé.

Nous étudierons dans cet exposé des propriétés de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l'ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d'espace-temps solutions des équations d'Einstein. L'analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d'étude des défauts de compacité d'équations elliptiques critiques

We consider a class of defocusing energy-supercritical nonlinear Schrödinger equations in four space dimensions. Following a concentration-compactness approach, we show that for \(1< s_c<3/2\), any solution that remains bounded in the critical Sobolev space \(\dot H^{s_c}_x(R^4)\) must be global and scatter. Key ingredients in the proof include a long-time Strichartz estimate and a frequency-localized interaction Morawetz inequality.

This work is jointed with Changxing Miao and Jason Murphy.

Cette présentation portera sur l'équation des ondes semilinéaire focalisante \[\partial_{tt}u=\Delta u +|u|^{p-1}u\] sur \(\mathbb{R}^d\). Variante « simple » de l'équation classique des ondes, elle fait partie des équations fortement étudiées en analyse non linéaire pour mettre au jour les phénomènes nouveaux par rapport au cas linéaire. Notamment, les solutions ne sont plus nécessairement globales: pour certaines données initiales la solution maximale peut être définie sur un intervalle de temps \(]T_-,T_+[\), avec \(T_+<+\infty\) et on dit alors que celle-ci explose au temps \(T_+\). Que se passe-t-il lors d'une explosion?

Le travail que je présenterai portera sur les solutions explosives dites de « type II », pour des nonlinéarités surcritiques pour l'énergie \(p>p(d)>1+\frac{4}{d-2}\). Ce sont des explosions spéciales qui diffèrent de l'explosion « générique » reliée à l'ÉDO \(\partial_{tt}u=u^p\) (dont la solution est sous la forme \(\frac{C}{(T_+-t)^{\frac{2}{p-1}}}\)). En particulier les normes sous-critiques restent bornées.

J'expliquerai comment montrer l'existence de telles solutions qui explosent en concentrant le soliton (état stationnaire) de l'équation. La construction explicite de ces solutions permet l'obtention de plus amples informations: il existe au moins un ensemble dénombrable de vitesses de concentration, pour lesquelles on peut construire une variété localement Lipschitz de codimension explicite de telles données initiales.

I will discuss several problems in knot theory related to embedded and immersed surfaces, and indicate how gauge theory and Floer homology can be applied in some examples.

Programme de la rencontre.

It is shown both locally and globally that \(L_t^{\infty}(L_x^{3,q})\) solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equations are regular provided \(q\not=\infty\). Here \(L_x^{3,q}\), \( 0\lt q\leq\infty\), is an increasing scale of Lorentz spaces containing \(L^3_x\). Thus the result provides an improvement of a result by Escauriaza, Seregin and Sverák, which treated the case \(q=3\). A new local energy bound and a new \(\epsilon\)-regularity criterion are combined with the backward uniqueness theory for parabolic equations to obtain the result.

Le but de mon exposé est de présenter des résultats récents obtenus avec Andrew Comech dans l'analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.

Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l'apparition d'instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.

On étudie l'obtention de systèmes d'équations de KdV dans une limite ondes longues à partir d'équations de Schrodinger non linéaires géométriques (les Schrodinger maps à valeurs dans des variétés Kahleriennes).

La question que nous nous proposons d’étudier est celle-ci : quelles ondes peuvent être générées en soufflant sur une partie localisée de la surface libre d’un liquide. Notre résultat principal affirme que l’on peut générer, en temps arbitrairement court, toute onde de gravité-capillarité 2D, de petite amplitude et périodique en x. Précisément, nous montrons que l’équation d’Euler à surface libre avec tension de surface est localement exactement contrôlable. Travail en collaboration avec Pietro Baldi et Daniel Han-Kwan.

Je présenterai un certain nombre d'évaluations de séries de type polylogarithmiques qui ont une interprétation intéressante en physique en relation avec les diagrammes de Feynman (travaux de Kalmykov et Davydychev). Dans certains cas, je montrerai comment ces séries peuvent être explicitement évaluées en terme de valeurs sur les entiers de la fonction zêta de Riemann et de constantes qui leur sont reliées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec B. Candelpergher.

Let \(\Omega\) be a domain in \(R^N\) with \(N\geq2\) and \(0\in\Omega\). For \(0\lt m \lt 2\), \(q\gt0\) and \(m+q\gt 1\), we obtain a complete classification of the behaviour near 0 (as well at \(\infty\) if \(\Omega=R^N\)) for all positive \(C^1(\Omega\setminus\{0\})\) solutions of the elliptic equation \(\Delta u=u^q|\nabla u|^m\) in \(\Omega\setminus\{0\}\), together with corresponding existence results. We prove that (a) when \(\Omega=R^N\), any positive solution with a removable singularity at 0 must be constant. (b) If \(q_*:=\frac{N-m(N-1)}{N-2}\) for \(N\geq2\) and \(E\) dénotes the fundamental solution of the Laplacian, then for \(0\leq q\lt q_*\), any positive solution has either a removable singularity at 0, or \(\lim_{|x|\to0}u(x)/E(x)\in(0,\infty)\) or \(\lim_{|x|\to0}|x|^\vartheta u(x)=\lambda\) with \(\vartheta\) and \(\lambda\) uniquely determined positive constants. When \(\Omega=R^N\), we establish that any positive solution is radially symmetric and non-increasing with (possibly any) non-negative limit at \(\infty\). (c) If, in turn, \(q\geq q_*\) for \(N\geq3\), then 0 is a removable singularity for all positive solutions.

This is joint work with Joshua Ching (univ. Sydney).

The classical Plateau problem consists in minimizing the area of a 2D surface in R³ under the constraint of fixed boundary. This question can be interpreted in several ways, whose rigorous formulations led to the introduction of integral currents and flat chains with coefficients in a normed group G, starting from the 60's. General tools for the global control of minimizers are mostly limited to the case of rectifiable currents with G = Z, where a duality structure is present and we have the notion of a calibration. In 1D we can interpret this as a Kantorovich duality.

For the 1D case I will describe a recent result obtained in collaboration with Roger Züst where a duality structure appears for chains with coefficients in G=Z/2Z. It can be interpreted as an unoriented analogue of Kantorovich duality or as a maxflow-mincut duality with coefficients taken modulo 2. I will describe the first possible applications.

Regarding for future work I will point out three 1D-problems with three other choices of G which give applications to the theory of branched transport, to the study of dislocations in crystals and to a (new) subject which could be called "optimal data transport". In all these cases finding a (global or local) duality would be desirable.

La méthode des champs de Klainerman joue un rôle essentiel dans l'étude de l'existence de solutions globales pour les équations hyperboliques non-linéaires à données petites, régulières, décroissantes à l'infini. Toutefois, certaines équations de la physique, comme l'équation des water waves en profondeur finie, ne possèdent pas de champ de Klainerman. On montrera dans l'exposé, pour un problème modèle, comment il est possible d'obtenir néanmoins des résultats d'existence globale, en utilisant des opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques et des méthodes de formes normales.

The identification of functionals which vary monotonically as their inputs flow according to a given evolution equation is generally considered to be more of an art than a science. Such monotonicity results have many consequences and, in particular, allow for a deeper understanding of a variety of important inequalities in analysis (via the so-called “semigroup method” or “semigroup interpolation”). The purpose of this talk is to describe a simple framework within which a rich variety of monotone quantities for the heat equation on \(\mathbb{R}^n\) may be “generated”.

Let \((M,g)\) be a compact Riemannian Manifold without boundry of dimension \(n \gt 0\), \(x_0\in M\), and \(s\in(0,2)\). We let \(2^*(s) : = 2(n-s)/(n-2)\) be the critical Hardy-Sobolev exponent. I investigate the influence of geometry on the existence of positive distributional solutions \(u\) in \(C^0(M)\) for the critical equation \[\Delta_g u + a(x) u = \frac{u^{2*(s)-1}}{d_g(x,x_0)^s} \textrm{ in } M.\] Via a minimization method, I prove existence in dimension \(n \gt 3\) when the potential a is sufficiently below the scalar curvature at \(x_0\). In dimension \(n=3\), using a global argument, I prove existence when the mass of the linear operator \(\Delta_g + a\) is positive at \(x_0\).

The aim of this research is to generalize the famous General Theorem of Lyapounov of the stability to the first order degenerate systems in the form:

\[Ax'(t)=Bx(t),\ t\geq0,\]

where \(A\) and \(B\) are bounded operators in Hilbert spaces, using the spectral theory of the corresponding pencil of operators \(\lambda A-B\).

The achieved results can be applied to the stability and stabilization for certain degenerate controlled systems.

We analyze the uniform controllability of the parabolic-parabolic Keller-Segel system of chemotaxis approximating its parabolic-elliptic version. Using sharp Carleman inequalities and and precise estimates on the Liusternik-Graves inverse mapping theorem, we show that this parabolic system is locally uniform controllable around a constant solution of the parabolic-elliptic system when the control is acting on the component of the chemical.

il s'agit d'un travail en collaboration avec Luc Hillairet (Orléans) et Emmanuel Trélat (Paris 6). Dans le cas où où la distribution horizontale de la structure sous-Riemannienne est de contact en dimension 3, nous montrons un théorème du type Schnirelman lorsque le flot de Reeb associé à la métrique est ergodique. Je discuterai aussi des extensions possibles de ce résultat.

La propriété de recouvrement de Besicovitch (BCP) est un outil central en théorie de la mesure. Elle est notamment équivalente à la validité du théorème de différentiation de mesures pour toute mesure de Radon. En lien avec des développements récents de théorie géométrique de la mesure dans les espaces métriques, on s'intéressera dans cet exposé au cas des groupes de Carnot munis de distances homogènes (travail en collaboration avec E. Le Donne (Univ. Jyväskylä)). Il était jusqu'à présent connu que les distances homogènes usuelles sur les groupes de Heisenberg (distance de Koranyi et distance sous-riemanienne) ne satisfont pas BCP. On montrera dans cet exposé que les distances homogènes dont la boule unité coïncide avec une boule euclidienne satisfont BCP dans les groupes de Heisenberg, et plus générallement dans les groupes de Carnot de pas 2. On montrera qu'en revanche aucune distance homogène ne satisfait BCP dès que le pas du groupe est supérieur ou égal à 3. On donnera également quelques conséquences de ces deux résultats.

The Ginzburg - Landau theory was first developed to describe behaviour of superconductors, but had a profound influence on physics well beyond its original area. It had the first demonstration of the Higgs mechanism and it became a fundamental part of the standard model in the elementary particle physics.

The theory is based on a pair of coupled nonlinear equations for a complex function (called order parameter or Higgs field) and a vector field (magnetic potential or gauge field). They are the simplest representatives of a large family of equations appearing in physics and mathematics. Besides of importance in physics, the equations contain beautiful mathematics (some of the mathematics was discovered independently by A. Turing in his explanation of patterns of animal coats).

In this talk I will review recent results involving key solutions of these equations - the magnetic vortices (called Nielsen-Olesen or Nambu strings in the particle physics) and vortex lattices, their existence, stability and dynamics, and how they relate to the modified theta functions appearing in number theory and algebraic geometry. Certain automorphic functions play key role in the theory described.

À la suite des travaux de R. Duran, M.-A. Muschietti, E. Russ et P. Tchamitchian, on sait qu'il est en général impossible, étant donné \(f\in L^\infty(\Omega)\) définie sur un domaine \(\Omega\), de trouver une solution \(v\in L^\infty(\Omega)\) à l'équation \(\mathrm{div}\, v=f\), qui vérifie \(\|v\|_\infty\leq C\|f\|_\infty\) avec \(C\) une constante indépendante de \(f\), mais qu'il existe une condition nécessaire et suffisante de type géométrique sur \(\Omega\) garantissant une estimation semblable dans \(L^\infty(1/w)\), où \(w\) est un poids intégrable dépendant de la géométrie du problème. Motivé par ces travaux, nous étudierons les ensembles de singularités des champs de vecteurs \(L^\infty(1/w)\) vérifiant l'équation \(\mathrm{div}~v=0\), et nous présenterons des analogues à ces résultats dans les espaces \(L^p\). Il s'agit d'un travail en commun avec E. Russ et H. Tuominen.

We study conformal invariants that arise from nodal sets and negative eigenvalues of conformally covariant operators, which include the Yamabe and Paneitz operators. We give several applications to curvature prescription problems. We establish a version in conformal geometry of Courant's Nodal Domain Theorem. We also show that on any manifold of dimension n≥3, there exist many metrics for which our invariants are nontrivial. We prove that the Yamabe operator can have an arbitrarily large number of negative eigenvalues on any manifold of dimension n≥3. We obtain similar results for some higher order GJMS operators on some Einstein and Heisenberg manifolds. This is joint work with Yaiza Canzani, Rod Gover and Raphael Ponge. If time permits, we shall discuss related results for operators on graphs.

À la fin des années 70, Haagerup a prouvé que tout groupe finiment engendré admet une fonction « conditionnellement négative propre ». Cette propriété, qui semblait avoir un intérêt propre pour la théorie des groupes, fut alors nommée « Propriété de Haagerup ». Elle fut redécouverte par Gromov sous un point de vue plus géométrique, comme l'existence d'une action propre par affinités sur un espace de Hilbert. Apparaissant comme un contraire faible de la célèbre « Propriété (T) de Kazhdan », et étant satisfaite par les groupes moyennables elle hérita ainsi l'appellation de « Gromov a-T-menabilité ». Bien qu'elle ait été depuis beaucoup étudiée, très peu de choses sont connues sur sa préservation par extension : on a des exemples de groupes « abélien-par-(libre non abélien) » qui ne la satisfont pas (Burger, de la Harpe-Valette) alors que tout groupe « (a-T-menable)-par-moyennable » la satisfait (Jolissaint). Une question naturelle est ainsi de savoir si le produit semi-direct de deux groupes libres non abéliens est a-T-menable. En utilisant la théorie de Bestvina-Feighn-Handel sur les automorphismes de groupes libres, on tentera d'expliquer pourquoi ce devrait être le cas si l'on ajoute une condition sur la dynamique de l'action d'un groupe libre sur l'autre.

We generalise and sharpen several recent results in the literature by fully classifying the isolated singularities for nonlinear elliptic equations of the form\[-{\rm div} (\mathcal{A}(|x|)|\nabla u|^{p-2} \nabla u)+b(x)h(u)=0

\quad \text{in } B_1\setminus\{0\}\]where \(B_1\) denotes the open unit ball centred at \(0\) in \(\mathbb{R}^N\) with \((N\geq 2)\) and \(1\lt p\lt \infty\). We impose \(\mathcal{A}\), \(b\) and \(h\) to be in the framework of regular variation theory. In presenting our classification, we emphasise that its main novelty and difficulty lie in the explicit formulation of the behaviour of the solutions with strong singularities at \(0\).
This is joint work with Florica-C. Cirstea (University of Sydney).

On introduira brièvement le système elliptique critique (stationnaire) de Schrödinger-Poisson, puis on donnera des résultats récents d'existence, de non-existence, d'unicité et de multiplicité de solutions positives pour ce système. On parlera enfin de la stabilité et de l'instabilité de l'ensemble des solutions de ce système par rapport aux perturbations de la phase.

L'équation de Szegö cubique est un modèle simple d'évolution hamiltonienne non dispersive en dimension infinie. On montrera comment l'usage d'une transformation spectrale inverse permet de montrer que les solutions génériques de cette équation ont des normes de Sobolev croissant plus vite que tout polynôme en temps.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Sandrine Grellier.