Le point de départ de ce travail est l'étude d'une marche aléatoire naturelle sur l'espace euclidien muni d'une densité de probabilité. On s'intéresse à la vitesse de convergence de cette marche vers sa distribution stationnaire. La réponse est donnée par le trou spectral d'un opérateur Markovien que l'on décrit précisément.

Pour y parvenir, on démontre un résultat de super-symétrie sur des opérateurs pseudodifférentiels généraux.

Je présenterai un travail en collaboration avec Frédéric Robert sur l'existence de famille de solutions qui présentent des points d'explosion pour des équations de type courbure scalaire (e.g. Yamabe) sur une variété Riemannienne compacte. Ces résultats, ajoutés aux résultats précédents sur la question, permettent de dresser un panorama assez complet sur la question de compacité/non-compacité pour ce type d'équation.

La solution d'une EDP « grande réaction-petite diffusion » peut exhiber des zones de transition abrupte (entre différents équilibres) dont on souhaite comprendre le déplacement, et si possible, évaluer l'épaisseur. Dans ce contexte, la limite singulière de l'équation d'Allen-Cahn est une interface évoluant par courbure moyenne, au sens classique ou de viscosité. On prouvera des taux de convergence pour ce processus asymptotique et on précisera le profil de la solution dans ses zones de transition.

The present work aims at investigating the effects of a perturbation of the euclidean metric around blow up point on the 2-dimensional \(L^2\)-critical focusing NLS : \(i\partial_tu + \Delta_g u+k(x) |u|^2u = 0\). We prove a stability result for the pseudo-conformal blow up regime, with respect to some geometrical perturbations, embodied by the metric \(g\), and some nonlinear perturbations, embodied by the potential \(k\). We use modulation techniques to treat perturbatively the additional terms, in the very same spirit as in a previous paper from Raphaël and Szeftel (http://arxiv.org/abs/1001.1627, 2010). We will present a quick overview of the adapted method to derive existence and uniqueness.

Soit \(\gamma\) une géodésique plongée de longueur finie dans une variété riemannienne complète. On suppose que l'opérateur de courbure le long de \(\gamma\) (opérateur de Jacobi) est négatif. Pour \(r>0\) réel assez petit, le \(r\)-voisinage de \(\gamma\) est fortement convexe.

L'exposé se veut tout public.

On montrera au travers de quelques exemples comment les mesures de Gibbs peuvent permettre de construire des solutions faibles pour des EDP dispersives a des niveaux de regularité peu élevés (plus bas que les lois de conservation). Les exemples concerneront les équations de Schrödinger non-linéaire, de Benjamin-Ono, et une demie-onde.

L'analyse multifractale consiste à étudier la taille (au sens de Hausdorff) des ensembles de points où une fonction possède une régularité ponctuelle prescrite. On réalise cette tache dans le contexte géométrique anisotrope du groupe de Heisenberg en utilisant des ondelettes. On obtient ainsi des bornes supérieures sur le spectre multifractal des fonctions dans les espaces de Hölder et de Besov et on vérifie leur caractère génériquement optimal.

Une poche de tourbillon est un tourbillon de type indicatrice d'un domaine borné. Ces structures persistent au cours du temps pour les équations d'Euler incompressible dans le plan. La dynamique du bord est très complexe en général à cause d'un effet non local apparaissant dans les équations du contour. L'objet de cet exposé est d'analyser les poches qui sont animées d'un mouvement de rotation uniforme. On discutera d'abord le cadre simplement connexe avec des exemples explicites et implicites. Ces derniers émergent de la théorie de la bifurcation qui nous offre entre autres une réponse positive sur la régularité \(C^\infty\) du bord. On soulèvera également le même problème pour des poches à deux interfaces.

Si le laplacien a été beaucoup étudié sur les espaces localement symétriques riemanniens, on avait jusqu'ici peu d'informations sur son spectre discret dans le cas des espaces localement symétriques non riemanniens, le laplacien n'étant alors plus un opérateur elliptique. Dans un travail en commun avec Toshiyuki Kobayashi, nous montrons pour une large classe d'espaces localement symétriques non riemanniens (non nécessairement de volume fini), le spectre discret du laplacien est non vide, et contient une partie infinie qui est stable par petites déformations de la structure géométrique. J'expliquerai nos résultats dans le cas des variétés anti-de Sitter (c'est-à-dire lorentziennes de courbure -1) en dimension trois.

La méthode de Kashiwara-Vergne ramène la preuve d'un résultat profond d'analyse sur un groupe de Lie (transfert de la convolution des distributions invariantes, entre le groupe et son algèbre de Lie, par l'application exponentielle) à la vérification de deux identités formelles sur les crochets de Lie, liées à la formule de Campbell-Hausdorff.

Nous étudions ici l'extension de cette méthode à un espace symétrique général G/H. Ceci amène à introduire une certaine fonction de deux vecteurs tangents, qui permet de relier l'analyse invariante sur l'espace à sa structure infinitésimale : transfert de convolution, explicitation dans la carte exponentielle des opérateurs différentiels G-invariants, structure de l'algèbre de ces opérateurs, développement de l'opérateur de moyenne et des fonctions sphériques.

Some new results concerning the global well-posedness, asymptotic smoothness, dissipativity and attractors of the damped quintic wave equations in bounded domains of \(R^3\) will be discussed.

Étant donnée une surface riemannienne compacte, on examinera la première valeur propre non nulle du laplacien. On répondra en particulier à une vieille question classique (depuis les travaux de Yang et Yau dans les années 80) : existe-t-il une métrique (régulière) qui maximise cette première valeur propre sur une surface donnée ? On montrera également le lien entre ce problème et les immersions minimales de surfaces dans des sphères.

Le but de cet exposé est d'étudier des problèmes d'optimisation de domaine pour l'équation des ondes, de Schrödinger, ou de la chaleur, sur un domaine \(\Omega\) en dimension quelconque, avec des conditions frontières s'il y a un bord, de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. Étant donné un état initial, on peut observer la solution de l'équation sur un sous-ensemble \(\omega\) de \(\Omega\), ou bien la contrôler vers l'équilibre (par exemple par la méthode HUM), ou encore la stabiliser (par damping linéaire) avec un contrôle de support \(\omega\).

Dans les trois cas on se pose la question de déterminer quel est le « meilleur » domaine possible \(\omega\) parmi tous les sous-ensembles de \(\Omega\) de mesure donnée (disons \(L|\Omega|\) avec \(0 < L < 1\)). Ces questions sont d'abord étudiées à donnée initiale fixée, puis indépendamment des données initiales: par exemple on se pose le problème de maximiser la constante d'observabilité parmi les domaines précédents. Il s'avère que ce problème est lié aux propriétés d'ergodicité quantique du domaine \(\Omega\) et notamment aux propriétés de type QUE (Quantum Unique Ergodicity).

Ce sont des travaux en collaboration avec Y. Privat (CNRS, ENS Rennes) et E. Zuazua (BCAM Bilbao, Spain).

On étudiera un problème d'évolution associé à l'équation des champs moyens. On établira l'existence globale de ce flot et on montrera qu'il converge, sous certaines hypothèses, vers une solution de l'équation des champs moyens.

Nous expliquerons comment peut-on construire et étudier les paraproduits, dans un contexte très général donné par un semigroupe d'opérateurs. A l'aide de ceux-ci, on peut notamment obtenir des propriétés d'algèbres pour les espaces de Sobolev, adaptés au générateur du semigroupe. Nous ferons donc le lien entre des propriétés de régularité du semigroupe et cette propriété d'algèbre.

C'est un travail en collaboration avec T. Coulhon et D. Frey.

Nous nous intéressons à l'étude des résonances semi-classiques d'opérateurs de Schrödinger sur \(L^2(R^N)\), \(N\geq1\). Après avoir rappelé quelques résultats antérieurs (zones sans résonances, cas d'un puit dans un île correspondant aux résonances de forme, cas d'un sommet, d'une trajectoire périodique hyperbolique), nous donnerons l'asymptotique des résonances dans le cas où l'ensemble des trajectoires captées est constitué d'un point fixe hyperbolique et d'un nombre fini d'orbites homoclines. Pour cela, nous établissons des règles de quantification pour les résonances associées et nous décrivons précisément leur position. L'approche utilisée est quelque peu inhabituelle faisant intervenir un problème de Cauchy microlocal qui permet de décrire la fonction résonante associée microlocalement près du point fixe hyperbolique. Au passage, nous obtenons des estimations polynomiales pour la résolvante.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J.-F. Bony (Bordeaux 1), S. Fujiée (Ritsumeikan University) et T. Ramond (Paris sud).

Soit \(M\) une variété hyperbolique de volume infini, un résultat célèbre de Patterson et Sullivan des années 70 montre que le bas du spectre du laplacien sur \(M\) pouvait s'interpréter à partir de la croissance du volume fondamental. La preuve originale repose sur la théorie du potentiel sur ces variétés.

J'expliquerai le résultat de Patterson et Sullivan en en donnant une nouvelle preuve plus élémentaire, qui donne de plus des informations précises sur la première fonction propre. Une variante de cette preuve permet aussi d'estimer le bas du spectre en courbure négative variable, ce que ne permettait l'approche par la théorie du potentiel.

(travail en commun avec Thomas Roblin).

Nous considérons la linéarisée de l'application de Dirichlet-Neumann (DN) comme fonction du potentiel en un point donné par un potentiel analytique. Nous montrons qu'elle est injective pour des mesures faites dans un ouvert où le bord est analytique. Plus généralement, nous lions l'analyticité jusqu'au bord des variations infinitésimales du potentiel à celle des symboles des variations correspondantes de l'application DN (travail avec G. Uhlmann).

Soit P un opérateur linéaire elliptique du second degré, symétrique, sur une variété (ou sur un domaine de \(R^n\)). Nous donnons une réponse à la question de trouver des poids « optimaux » dans l'inégalité de Hardy pour P. Les poids en question sont définis explicitement en terme de la fonction de Green de l'opérateur P. Si le temps le permet, nous considérerons aussi des poids « asymptotiquement optimaux », pour lesquels l'opérateur \(W^{-1}P\) a des propriétés spectrales remarquables.

We consider the wave equation with both a viscous Kelvin-Voigt and frictional damping as a model of viscoelasticity in which we incorporate an internal control with a moving support. Combining new Carleman estimates forthe parabolic and hyperbolic parts of the system, we prove its null controllability.

Je considérerai l'équation de Schrödinger non linéaire focalisante « énergie surcritique » en grande dimension et montrerai le premier résultat de construction de bulle explosive surcritique dans ce régime de paramètres. L'analyse comprend une réinterpretation complète des résultats pionniers obtenus par Herrero-Velasquez (1992) sur l'équation de la chaleur, et montre une profonde unité avec les résultats énergie critique obtenus précédemment pour des modèles dispersifs. A nouveau de nouveaux phénomènes apparaissent en dimension grande (\(d\ge 11\)) comme dans certains modèles géométriques classiques (théorie des surfaces minimales). Je présenterai ces résultats dans la perspective des résultats spectaculaires de classification à la Matano-Merle (2004,2006) pour l'équation de la chaleur. Une étape importante de la démonstration est la compréhension du rôle des normes Sobolev respectivement au dessus et sous le scaling dont les comportements antinomiques caractérisent le régime « type II ». Ce travail est au coeur d'un programme en collaboration avec F. Merle (IHES et Cergy), I. Rodnianski (Princeton) et C. Collot (Nice).

J'expliquerai comment faire l'analyse de la convergence et de la régularité locale de certaines séries de Fourier « historiques ». En particulier, je développerai deux approches pour attaquer ce problème, l'une orientée systèmes dynamiques, l'autre analyse de Fourier, et dans les deux cas nous verrons pourquoi l'approximation diophantienne joue un rôle clé dans notre problème.

We consider the discounted equation

\[\lambda u_{\lambda}(x)+H(x,d_x u_{\lambda})=c\ \textrm{ in }M,\]set on a compact and connected Riemannian manifold \(M\), where \(\lambda\) is a positive parameter, \(H\) is a continuous Hamiltonian, coercive in the momentum, and \(c\) is the associated critical value. Under these assumptions, the corresponding solutions \(u_{\lambda}:M\to\mathbb R\) are equi--bounded and equi--Lipschitz, hence they uniformly converge, along subsequences as the discount factor \(\lambda\) goes to \(0\), to a viscosity solution of the critical equation

\[H(x,d_x u)=c\ \textrm{ in }M.\]Due to the lack of a uniqueness result for the critical equation, it is not clear at this point that the solutions selected along different subsequences are the same. When \(H\) is additionally assumed convex in the momentum, we prove that the \(u_{\lambda}\) uniformly converge to a specific solution of the critical equation, characterized in terms of a class of probability measures introduced in the framework of weak KAM Theory. This is a joint work with A. Fathi, R. Iturriaga and M. Zavidovique.

This joint work with Franck Sueur (Paris 6) deals with weak solutions to the Maxwell-Landau-Lifshitz and Hall-magnetohydrodynamics equations. I shall mainly present the results concerning the Landau-Lifshitz equations from ferromagnetism. We obtain a weak-strong uniqueness result.

We also give suffisant conditions on the regularity of weak solutions ensuring conservation of energy, so that no anomalous dissipation shows up. In addition, when anomalous dissipation is present, we address the question of its sign.

With the point of view of dimensional analysis, a parallel can be established between our regularity conditions and Onsager's conjecture from hydrodynamics.

We consider a variety of geometric flows for hypersurfaces in Rimennian manifolds. They are designed to track corresponding geometric functionals in such way that, along the flow, one geometric functional is invariant and the other is monotone. The convergence of the flow to a equilibrium solution would yield isoperimetric type inequality for the given two geometric functionals. The flows are in general of the form of either mean curvature type or inverse mean curvature type (where higher order curvature functions are involved), with adjusting terms. We use appropriate the geometric settings to ensure longtime existence and convergence of these flows. We will also discuss some related open problems in PDE.

We consider resonances for the operator \(-\Delta +V\otimes

\delta_{\partial\Omega}\) where \(\Omega\subset\mathbb R^d\) is a bounded domain. This operator is a model for quantum corrals as well as other lossy systems. We give a bound on the size of the resonance free region for very general \(\Omega\) and in the case that \(\partial \Omega\) is strictly convex, we give a dynamical characterization of the resonance free region that is generically sharp. We describe how this characterization can be thought of as a Sabine Law in certain cases.