Pierre Jammes, « Plongements polyédraux tendus et nombre chromatique relatif des surfaces à bord », Canadian Math. Bull., 64 (4), p. 1001-1013, 2021. [doi: 10.4153/S0008439520001010 | pdf]
Résumé :
Le nombre chromatique relatif c0(S) d'une surface compacte
S à bord est défini comme la borne supérieure des nombres chromatiques
des graphes plongés dans S avec tous leurs sommets sur ∂ S.
Cet invariant topologique a été introduit pour l'étude de la multiplicité
de la première valeur propre de Steklov sur S. Dans cet article,
on montre que c0(S) est aussi pertinent pour l'étude des
plongements polyédraux tendus de S en établissant deux résultats.
Le premier est que s'il existe un plongement polyédral tendu de S
dans Rn qui n'est pas contenu dans un hyperplan, alors
n≤c0(S)-1.
Le second est que cette inégalité est optimale pour les surfaces
de petit genre.
Mots clefs :
surfaces polyédrales, nombre chromatique, plongements tendus.
Abstract:
The relative chromatic number c0(S) of a compact surface
S with boundary is defined as the supremum of the chromatic numbers
of graphs embedded in S with all vertices on ∂ S. This
topological invariant was introduced for the study of the multiplicity of the
first Steklov eigenvalue of S. In this article, we show that
c0(S) is also relevant for the study of tight polyhedral
embeddings of S by proving two results.
The first one is that if there is a tight polyhedral embedding of S
in Rn which is not contained in a hyperplane, then
n≤c0(S)-1. The second result is that this inequality
is sharp for surfaces of small genus.
Keywords:
polyheral surfaces, chromatic number, tight embeddings.
MSC2010 : 52B70, 57Q35, 53A05, 55A15, 57M15, 05C10.