GeoRiem

Quel est le plus court chemin d'un point à un autre sur une surface, celle de la Terre par exemple ? Peut-on y marcher tout droit ? Pourrait-on pour cela se fier à une boussole ? Une réponse précise à ces questions exige d'étudier d'abord la notion de distance sur la surface, qu'il faut savoir exprimer dans divers systèmes de coordonnées (latitude et longitude par exemple). C'est l'objet de la métrique de la surface, encore appelée première forme quadratique fondamentale, ou ds². Munis de cet outil, les habitants de la surface peuvent y mesurer longueurs, angles et aires (chapitre I).
On peut alors aborder la recherche des "plus courts chemins" et celle des "plus droits chemins", qui conduisent en fait à la même notion, celle de géodésique de la surface. C'est l'analogue pour ses habitants de la classique ligne droite en géométrie plane (chapitre II).
À l'aide des géodésiques on peut dessiner des triangles, mais ceux-ci ont de bien curieuses propriétés, en contradiction avec les théorèmes de la géométrie euclidienne : la somme de leurs angles n'y est, par exemple, plus toujours égale à deux droits. Ce n'est là que l'une des multiples manifestations de la courbure de la surface, une notion introduite par Gauss (1827), étudiée ici en détail au chapitre III. Deux résultats majeurs y sont établis. Le premier, dit Theorema Egregium, entraîne l'équivalence d'une dizaine de définitions différentes de la courbure, les unes extrinsèques (basées sur la variation des normales à la surface, observée dans l'espace ambiant R^3), les autres intrinsèques (liées uniquement au ds² de la surface). Le second théorème est la formule de Gauss-Bonnet, sous forme locale puis globale ; cette dernière établit un lien remarquable entre la courbure d'une surface et sa topologie, qui se manifeste par sa caractéristique d'Euler-Poincaré.

Le pas suivant a été accompli par Riemann qui, dans son mémoire d'habilitation de 1854, a jeté les bases d'une vaste généralisation de la théorie des surfaces, remplaçant la dimension 2 par une dimension quelconque et abandonnant toute référence à un espace ambiant. La géométrie de Riemann est l'objet de la deuxième partie du livre (chapitres IV et V), indépendante de la première, mais motivée bien sûr par l'exemple plus concret des surfaces. Après avoir exposé les notions de base sur variétés, champs de vecteurs et connexions, nous introduisons celle de métrique riemannienne sur une variété, et de connexion associée, qui permet de déterminer les géodésiques. Plus complexe qu'en dimension 2, la courbure est maintenant décrite par le tenseur de Riemann, expliqué en détail à la fin du chapitre IV.

Nous nous intéressons aussi aux propriétés d'homogénéité et d'isotropie des variétés riemanniennes et, plus particulièrement, à la géométrie sphérique et à la géométrie hyperbolique (de dimension quelconque), exemples fondamentaux de variétés riemanniennes à courbure constante (chapitre V).

L'ouvrage est complété par une cinquantaine d'exercices, avec leurs corrigés détaillés. Il s'adresse aux étudiants du master de mathématiques et au-delà, ainsi qu'à tous ceux qui souhaitent s'initier à la géométrie de Riemann en vue de l'étude ultérieure d'ouvrages plus avancés. Nous nous sommes efforcés de limiter les prérequis à une bonne familiarité avec le calcul différentiel et ses théorèmes généraux (inversion locale et fonctions implicites), avec quelques notions sur la topologie générale et les équations différentielles. Aucune connaissance préalable sur les variétés différentiables ni sur les formes différentielles n'est exigée ici, les notions utiles étant introduites au fur et à mesure des besoins.

Initiation à la géométrie de Riemann

F. Rouvière (avec la collaboration d'Alain Debreil)

Table des matières (abrégée) :

Présentation du livre :