Abstract

Le problème de Plateau est le suivant : étant donné une courbe fermée connexe de Jordan de l'espace euclidien de dimension trois, montrer qu'il existe une surface minimale régulière, ayant la topologie d'un disque et dont le bord soit la courbe fermée. Les premières résolutions générales reconnues!) sont données au début des années 1930 par Douglas et Rado. Pourtant, en 1928, R. Garnier a proposé une résolution dans le cas d'un bord polygonal qui semble avoir été complètement oubliée. Sa démonstration est très différente de la méthode variationnelle, elle repose sur le fait
qu'on peut associer une équation fuchsienne réelle à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions des côtés du bord polygonal. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert, et à
construire des déformations isomonodromiques d'équations fuchsiennes. Je vais présenter les grandes lignes de la démonstration de Garnier, que j'ai complétée et améliorée, et si le temps le permet, la généralisation que j'en ai donnée au cas où l'espace ambiant est l'espace de Minkowski.