Les problèmes de mécanique (le problème des trois corps,
l'équation de Rattleback, etc) conduisent à des exemples non triviaux de
systèmes fuchsiens. La question suivante apparaît souvent dans l'étude de
leur intégrabilité.
On se donne une équation différentielle linéaire d'ordre supérieur à deux
qui contient des paramètres et dont toutes les singularités sont
régulières. On considère le groupe de monodromie (groupe de Galois
différentiel) G associé. Comment détecter des valeurs des paramètres pour
lesquelles G possède un invariant rationnel ou polynomial ?
En général, ce problème n'est pas algorithmiquement résoluble. Néanmoins,
dans les problèmes mécaniques, normalement très riches de symétries, cette
question peut être abordée. L'idée est de "coupler" plusieurs groupes de
monodromie locaux à l'aide des relations entre les éléments du groupe
fondamental de la surface de Riemann de l'équation. On utilise les
relations non-triviales entre les générateurs de G provenant des symétries
discrètes de l'équation elle-même.
Références
[1] On the analytic non-integrability of the Rattleback problem, (avec H.
Dullin), Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 3, 2008, XVII
[2] On some exceptional cases in the integrability of the three-body
problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No. 1,
237-247, 2007
[3] The meromorphic non-integrability of the three-body problem, Journal
für die Reine und Angewandte Mathematik de Gruyter (Crelle's journal), N
537, 2001, 127-149