Le problème classique des N-corps consiste à trouver une bonne description de la dynamique engendré par la loi de gravitation newtonnienne sur un ensemble fini de masses ponctuelles. Nous montrerons comment l'utilisation de la théorie KAM faible permet d'obtenir l'existence de mouvements complètement paraboliques partant de positions arbitraires des corps.

La résolution des équations des contraintes est liée à la résolution des équations d'Einstein de la Relativité Générale par un célèbre théorème d'Yvonne Choquet-Bruhat. Après une présentation des équations des contraintes nous montrerons comment leur appliquer une méthode de résolution dite de recollement initiée par Corvino en 2000 dans le cas à constante cosmologique strictement positive généralisant un résultat de Chrusciel et Pollack. Nous montrons ainsi l'existence de données initiales non-triviales solutions des équations des contraintes coïncidant en dehors d'un compact avec les données initiales d'espaces-temps de Kerr-de Sitter.

Une structure de contact sur une variété de dimension 3 est un champ de plans qui est aussi loin que possible d'être tangent à un feuilletage. Ces champs de plans sont tous localement isomorphes mais ils peuvent avoir des propriétés globales très différentes. L'étude des liens entre la géométrie riemannienne et ces propriétés globales des structures de contact est encore balbutiante mais le but de cet exposé sera d'expliquer un analogue du théorème de la sphère (de Rauch, Berger et Klingenberg) dans ce contexte. La démonstration de ce résultat utilise des méthodes topologiques, géométriques et analytiques. Il s'agit d'un travail en commun avec John Etnyre et Rafal Komendarczyk.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à certains aspects de la théorie mathématique du transport quantique dans les systèmes de Hall. Ce domaine a reçu un regain d'intérêt depuis l'observation de nouveaux types de systèmes quantiques (le Spin-Hall effet par exemple) obéissant aux mêmes types de règles: quantification du transport par un invariant topologique (caractère de Chern), l'existence d'un courant de bord protégé (i.e. invariant sous des perturbations de type aléatoire (impuretés) ayant même ordre topologique.
Aujourd'hui, les problèmes ouverts sont de donner une classification exhaustive de tels systèmes appelés insulateurs-topologiques (TI) ainsi que d'avoir une meilleure compréhension de la correspondance bulk/edge. Après avoir rappelé les bases mathématiques de cette théorie, nous nous intéresserons à un nouveau type de modèle de bord où le confinement est généré par des variations du champ magnétique préservant les symétries du système. Nous avons prouvé la quantification de ce courant ainsi que sa stabilité. Entre autre chose nous avons mis en évidence un nouveau type d'état de bord avec un ordre topologique propre. Nous allons considérer un modèle assez simple de cette famille et en faire l'analyse dans le but de mettre en avant les différents comportements qui peuvent apparaître, justifiant ainsi la différence des ordres topologiques associés à chacun d'entre eux.

Dans cet exposé, je vais tout d'abord présenter un résultat général de localisation d'Anderson pour un opérateur de Schrödinger aléatoire en dimension \(1\) à valeurs matricielles, agissant sur l'espace des fonctions de carré intégrable à valeurs dans \(\mathbb{R}^N\). Ensuite j'appliquerai ce résultat à un exemple particulier de tel opérateur pour lequel le potentiel se sépare en une partie aléatoire diagonale et un potentiel d'interaction déterministe que l'on pourra choisir génériquement dans l'espace des matrices symétriques réelles d'ordre \(N\). Pour cela, on construit un intervalle compact d'énergies sur lequel il y a séparabilité et stricte positivité des exposants de Lyapounov associés à l'opérateur étudié. La méthode de construction est basée sur le formalisme de Fürstenberg et sur un résultat de densité dans les groupes de Lie dû à Breuillard et Gelander.

Complex projective 2-space with its homogeneous Fubini-Study metric has self-dual Weyl curvature whence it enjoys a twistor space and a classical Penrose transform. I shall explain how this goes and how it generalises to higher dimensions. The method is to work with a complexified version known as the double fibration transform using recent joint work with Joseph Wolf.

Etant donnée une sous-variété de l'espace euclidien ou d'un espace Riemannien complet plus général il s'agit de relier les valeurs propres du Laplacien à des invariants géométriques tels que la courbure extrinsèque la constante isopérimétrique ou le degré d'intersection.

Les séries d'Eisenstein sont les fonctions qui correspondent aux ondes planes en géométrie à courbure négative (non-compacte); dans certains cas on montre l'equidistribution microlocale à haute fréquence de ces fonctions vers des mesures explicites (invariantes par le flot).

We consider a broad class of nonlinear elliptic equations in a punctured domain and give a complete classification of the behaviour near an isolated singularity for all positive solutions. An important feature of our study lies in the incorporation of inverse square potentials and weighted nonlinearities whose asymptotic behaviour is modeled by regularly varying functions. In particular we find sharp conditions such that the singularity is removable for all non-negative solutions thus resolving an open question of Vazquez and Veron (1985).

Sur une variété \(M\) compacte, on s'intéresse aux propriétés locales des solutions de l'équation du second ordre elliptique de la forme suivante \[\Delta u +W u=0.\ \ (E)\] On cherche notamment à obtenir un contrôle de l'ordre d'annulation des solutions non-triviales en fonction du potentiel \(W\). Dans le cas particulier des fonctions propres du Laplacien, i.e. \(W=\lambda=cste\), un celèbre résultat de Donnelly et Fefferman assure que l'ordre d'annulation est partout inférieur à \(c\sqrt{\lambda}\) avec \(c\) une constante dépendant de la géométrie de \(M\). Des critères précis sont déja connus sur \(W\) permettant de garantir que l'ordre d'annulation est partout fini, grossièrement \(W\in L^{\frac{n}{2}}\). On s'attachera ici à obtenir un contrôle explicite et algébrique de l'ordre d'annulation des solutions en fonction de la norme du potentiel \(W\) qu'on supposera dans \(L^\infty\) ou dans \(\mathcal{C}^1\). La méthode que nous présenterons repose essentiellement sur les inégalités de Carleman et s'inspire des travaux de Donnelly et Fefferman. On discutera ensuite brièvement de l'optimalité des résultats obtenus ainsi que de l'équation plus général \(\Delta u +W u+V\cdot u=0.\)
Dans une second partie, on s'interessera aux ensembles nodaux \(\mathcal{N}_u=\{x\in M, u(x)=0\}\) et critiques \(\mathcal{C}_u=\{x\in M, \nabla u(x)=0\}\) des solutions de (E). Dans le cas des fonctions propres du Laplacien, S. T. Yau a conjecturé \[C_1\sqrt{\lambda}\leq \mathcal{H}^{n-1}(\mathcal{N}_u)\leq C_2\sqrt{\lambda}\] où \(\mathcal{H}^{n-1}\) est la mesure de Hausdorff de dimension \(n-1\). Cette conjecture a été résolu par Donnelly et Fefferman dans le cas d'une variété analytique. Après avoir rappelé les développements récents dans le cas d'une variété lisse, on étudiera les possibles généralisations au cas de l'opérateur Schrödinger. On donnera une majoration de la mesure de Hausdorff de dimension \(n-1\) de l'ensemble nodal des solutions de (E), dans le cas où \(M\) est analytique. On étudiera également le cas de l'ensemble critique avec une attention particulière pour les fonctions propres du Laplacien. On évoquera ensuite le cas de certaines équations semi-linéaires.

On considère le problème aux limites non homogènes pour l'équation de Schrödinger linéaire avec pour objectif de répondre aux questions "quel type de condition est acceptable (Neuman Dirichlet absorbantes...)" et "quelle est la régularité naturelle des conditions au bord". On donnera un théorème général d'existence et unicité en dimension arbitraire dont la preuve sera basée sur les techniques classiques issues problèmes aux limites hyperboliques et on indiquera les généralisations possibles ainsi que les limites de ces techniques.

Can two different metrics have the same geodesics? Yes! The first examples were constructed already by Lagrange, and different versions of the question were actively studied by virtually all differential geometers 100 years ago. During my talk I will explain the solution of the Beltrami Problem (which is presicely the question above, my contribution is to solve it on closed manifolds), and of the Lichnerowicz-Obata conjecture (which suggests an answer to Schouten problem), and also touch possible applications in general relativity. There are three main tools of the proof: integrable systems, geometric theory of partial differential equations and singularity theory.

Étant données deux variétés riemanniennes M et N, les applications f-harmoniques de M dans N, introduites par A. Lichnerowicz en 1969, sont définies comme les points stationnaires de l'énergie quand la mesure de volume de M est multipliée par une fonction poids f. En généralisant des travaux de Schoen et Yau dans le cas harmonique, on étudiera certaines propriétés d'existence et de caractérisation pour les applications f-harmoniques dans le cas où la courbure sectionnelle de N est négative. À partir de ces résultats, on déduira des informations topologiques pour des variétés avec une borne inférieure pour le tenseur de Ricci-Bakry-Émery, et notamment pour les solitons de Ricci de type gradient stables et expansifs. Ceci est un travail en collaboration avec Michele Rimoldi.

With Jochen Denzler (UT Knoxville) and Herbert Koch (Bonn), we quantify the speed of convergence and higher asymptotics of fast diffusion dynamics on Euclidean space to the Barenblatt (self similar) profile. The degeneracy in the parabolicity of the equation is cured by re-expressing the dynamics on a manifold with a cylindrical end, called the cigar. The nonlinear evolution semigroup becomes differentiable with respect to Hoelder initial data on the cigar. The linearization of the dynamics is given by Laplace-Beltrami operator plus a drift term (which can be suppressed by the introduction of appropriate weights into the function space norm), plus a finite-depth potential well with a universal profile. In the limiting case of the (linear) heat equation, the depth diverges, the number of eigenstates increases without bound, and the ontinuous spectrum recedes to infinity. We provide a detailed study of the linear and nonlinear problems in Hoelder spaces on the cigar, including a sharp boundedness estimate for the semigroup, and use this as a tool to obtain sharp convergence results toward the Barenblatt solution. In finer convergence results (after modding out symmetries of the problem), a subtle interplay between convergence rates and tail behavior is revealed. The difficulties involved in choosing the right functional analytic spaces in which to carry out the analysis can be interpreted as genuine features of the equation rather than mere annoying technicalities.

Soit \(\Omega\) un domaine du plan sur lequel il existe une solution positive \(u\) au problème elliptique surdéterminé suivant \[\Delta u + f(u) = 0\] sur \(\Omega\) avec condition de Dirichlet nulle au bord et condition de Neumann constante au bord et où \(f\) est une fonction Lipschitzienne. Quelles conditions géométriques et topologiques doit satisfaire \(\Omega\) pour que cette solution \(u\) existe? Dans cet exposé on donnera des conditions nécessaires. Ces conditions démontreront ainsi une conjecture de Berestycki-Caffarelli-Nirenberg en dimension \(2\) pour une classe assez large de problèmes surdéterminés.

Une isométrie Riemannienne qui fixe un point est conjuguée par l'application exponentielle à sa différentielle. Une telle linéarisation n'existe pas en général pour les transformations conformes fixant un point. Le théorème principal de cet exposé dit que, sur une variété Lorentzienne analytique \(M\), un champ conforme qui s'annule en un point génère un flot linéarisable, où \(M\) est conformément plate. Ce résultat conduit à une forme normale pour un tel champ prés de sa singularité (travail en collaboration avec C. Frances).

La dimension conforme d'un espace métrique est un invariant numérique quasi-conforme introduit par P. Pansu. Elle est minorée par la dimension topologique et majorée par la dimension de Hausdorff. On présentera ses liens avec la cohomologie \(L^p\) et on en déduira des applications à la dimension conforme de certains sous-ensembles auto-similaires du plan.

la conjecture isopérimétrique pour les variétés de Cartan-Hadamard prévoit qu'une variété simplement connexe à courbure sectionnelle majorée par un nombre k négatif ou nul vérifie l'inégalité isopérimétrique de l'espace hyperbolique ou euclidien de courbure k. Seuls quelques cas sont résolus : les dimension 2 (Weil et Aubin), 3 (Kleiner) et 4 avec k=0 (Croke), tous avec des méthodes différentes. Dans cet exposé on présentera un travail en commun avec Greg Kuperberg améliorant la méthode de Croke pour obtenir une démonstration unifiée des dimensions 2 et 4, ainsi que plusieurs résultats nouveaux. En particulier, nous obtenons un résultat partiel pour n=4 et k<0, ainsi que dans un cadre adapté le cas n=4 et k>0.

We study the incompressible, gravity-driven Navier-Stokes equations in three dimensional domains with free upper boundaries and fixed lower boundaries, in both the horizontally periodic and non-periodic settings. The effect of surface tension is not included. We employ a novel two-tier nonlinear energy method that couples the boundedness of certain high-regularity norms to the algebraic decay of lower-regularity norms. The algebraic decay allows us to balance the growth of the highest order derivatives of the free surface function, which then allows us to derive a priori estimates for solutions. When coupled with an appropriate local well-posedness theory, our a priori estimates then yield global-in-time solutions that decay to equilibrium at an algebraic rate. This is joint work with Yan Guo.

Soit \(\Omega\subset \mathbb{R}^n\) un domaine borné quelconque. Etant donnée une fonction \(f\in L^p(\Omega)\), on considère l'équation \({\rm div}\, u=f\) dans \(\Omega\) avec diverses conditions sur \(\partial\Omega\). On donnera différents résultats suivant la géométrie de \(\Omega\). On examinera également des cas limites pour cette équation. Il s'agit de travaux en collaboration avec Pierre Bousquet (Aix-Marseille Université), Ricardo Duran (Université de Buenos Aires), Petru Mironescu (Université Lyon I), Maria-Amelia Muschietti (Université de La Plata) and Philippe Tchamitchian (Aix-Marseille Université).

Je décrirai plusieurs problèmes de type elliptique qui font intervenir des puissances du laplacien.

Soit \(D\) un domaine \(J\)-pseudo-convexe de type fini dans une variété presque complexe de dimension 4. J'étudierai le comportement au bord des disques pseudo-holomorphes dans un tel domaine \(D\).

A new, variational approach for studying quantitative isoperimetric inequalities is presented. The method, called "selection principle", is based on a penalization argument and on the regularity theory for quasiminimizers of the perimeter. Some applications will be discussed in detail: a new proof of the sharp quantitative isoperimetric inequality in \(R^n\) and the solution of a conjecture posed by Hall in 1992.

Le Problème de Yamabe:

Soit \(M\) une variété CR compacte de dimension \(2n+1,\) munie d'une forme de contact \(\theta\). On note par \(L=L_{\theta}=(2+\frac{2}{n})\Delta_{b}+R_{\theta }\) le laplacian conforme de \(M,\) où \(\Delta _{b}\) est l'opérateur sous-Laplacien et \(R_{\theta}\) la courbure de Webster scalaire associée à \(\theta\). La Conjecture de Yamabe stipule qu'il existe une forme de contact \(\tilde{\theta}\) sur \(M\), CR conforme à \(\theta\) qui admet une courbure scalaire de Webster constante. Ce problème est équivalent à la résolution du problème différentielle (P):\(L\, u=u^{1+\frac{2}{n}}\), avec \(u>0\) sur \(M\) (équation de Yamabe CR).

D.Jerison et J.M.Lee ont prouvé cette conjecture pour les variétés CR qui ne sont pas localement équivalentes à la sphère de même dimension équipée de sa structure CR standard.
A côté de la preuve de T.Aubin et R.Schoen du probème de Yamabe dans le cas Riemannien, une autre preuve, dûe à A.Bahri, A.Bahri-H.Brézis, du même problème est fournie en utilisant des techniques relatives à la théorie des points critiques à l'infini. Cette preuve est complètement différente dans les techniques et les détails de celle T.Aubin et R.Schoen.
On montre les deux résultats suivants:
Théorème
Soit \((M,\theta )\) une variété CR compacte orientable de dimension \(2n+1\), localement équivalente à la sphère \(S^{2n+1}\), alors (P) admet solution.
Théorème
Soit \((M,\theta )\) une variété CR compacte orientable de dimension 3, qui n'est pas localement équivalente à la sphère \(S^{3}\), alors (P) admet une solution.

Les équations cinétiques inhomogènes sont constitués d'une part d'un drift correspondant à l'équation de Vlasov en position et vitesse, et d'autre part d'un noyau de collision n'agissant qu'en vitesse. Dans le cas d'un noyau diffusif, l'interaction entre les deux termes donne des propriétés de régularisation dans toutes les variables (hypoellipticité). Cet exposé tentera d'expliquer quelques methodes et résultats (de type estimations sous elliptiques) permettant de quantifier cette régularisation pour quelques modèles (Fokker-Planck, Landau linéarisé, Boltzmann linéarisé sans troncature angulaire).

On s'intéresse ici à la densité (bornes de Weyl fractales) et à la localisation (trou spectral, bandes avec une infinité de résonances) des résonances du Laplacien hyperbolique sur les surfaces convexes co-compactes.
On montrera une borne supérieure de type Weyl dont l'exposant dépend de la taille de la bande qui précise des travaux précédents de Guillopé et Zworski. Ce résultat confirme ce que diverses expérimentations numériques dans divers cadres de théorie des résonances en présence d'un flot classique chaotique ont pu montrer. Il est également à rapprocher des déviations spectrales pour l'équation des ondes amorties obtenues par N. Anantharaman.

Nous exposerons un résultat sur les inégalités de type Melin-Hörmander en grandes dimensions et caractéristiques multiples obtenu en collaboration avec B. Lascar et J.Sjostrand.

The \(L^p\) Strichartz type bounds for spectral clusters \(C^2\) metrics on compact manifolds are a well understood object. However, the case of \(C^1\) metrics allows for a complicated picture of focusing and refocusing of waves at multiple scales and locations. In this talk I will present a new wave packet based method which is strong enough to give sharp estimates in two space dimensions. This is joint work with Herbert Koch and Hart Smith.

Les équations de type Monge-Ampère apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes d'analyse et géométrie. Dans cet exposé, je décrirai des résultats récents sur la régularité Sobolev pour ce type d'équations, ainsi que des applications.

I will begin by discussion a few problems where the difficulty in characterizing the long time behavior of the problem is in demonstrating the long time stability of the system.

Examples will include chains of oscillators connected with establishment of Fourier's law, a Hamiltonian particle subject to heat bath and interacting with the origin by a singular Lennard-Jones potential, and a simple complex ODE which is clearly unstable without noise but provably stable with noise.

My point of view will oscillate between the SDE/particle point of view and the PDE/density point of view. I will use the stability results to obtain unique ergodicty results for the systems.