1. (11sept)
Objectifs du cours (cf "contenu mathématique" plus bas) ; un exemple
(qui sera repris au cours du cours) : forme d'une corde soumise à son
poids, tenue par les extrémités.
Cours 1 : Géométrie de R
n
(n=1,2,3) : R
n={(x
1,..,x
n), x
i∈R}, somme, multiplication par un scalaire (R espace vectoriel). Représentation graphique d'un point, d'un segment de R
3 via le projeté sur le plan d'un repère de R
3. Produit scalaire, norme, angle non orienté, orthogonalité, distance. Comparaison de R
2 avec le plan du tableau, de R
3 avec l'espace ambiant, où ce qui est bien défini est la translation par un vecteur, le rapport des distances, l'orthogonalité.
Sur le web :
représentation graphique d'un repère de R3 et d'un point donné par ses coordonnées sur la page de G. Tulloue.
2. (18sept) Géométrie de R
n suite : calcul du déterminant de n vecteurs de R
n, produit vectoriel de n-1 vecteurs dans R
n, interprétation géométrique, ex: équation du plan passant par 3 pts de R
3.
Systèmes de coordonnées : cartésienne dans un RON de R
n, caractérisation des RON, expression des coordonnées avec le produit scalaire usuel ; coordonnées polaires dans R
2, coordonnées cylindriques, sphériques dans R
3.
Parties de R
n données implicitement par un système d'équations {f
i(x
1,..,x
n)=0, i=1..d ou d'inégalités {f
i(x
1,..,x
n)≤0, i=1..d, ou explicitement par un paramétrage φ:D⊂R
d→R
n.
Lecture sur le web :
animations de G. Tulloue.
3. (25 sept.) Exemple de partie de R
n et de paramétrage : droite, segment, plan, sphère dans R
n donnés par la propriété les définissant, un système d'équation ou un paramétrage ; ex. paramétrage de la sphère de R
3
en coord. sphérique, paramétrage des hémisphères en coord. cartésiennes
; graphe d'une fonction ex. des hémisphères et d'une droite de R
3.
Rappel sur les fonctions d'un intervalle de R à valeurs dans R : notion
de limite en un point, continuité, dérivabilité en un point, fonction
dérivée, dérivées successives, intégrale sur un segment. ; applications
: thm de Rolles, tableau de variation, pb d'extrémum, accroissements
finis, forme du graphe : tangente en un point, forme convexe ou concave
de la courbe, valeur moyenne sur un intervalle.
4. (2 oct.) Lien entre intégrale et primitive d'une fonction continue R→R, primitive des fonctions usuelles, en particulier de x→e
(α+iβ)x, ex primitive de sin(x)e
αx, primitive d'une somme, intégration par partie, ex primitive de x
2e
x, fonction composée, ex primitive de x.exp(x
2), chgt de variable, ex primitive de 1/sqrt(1-x
2).
Début équations différentielles scalaires d'ordre n.
Sur le web :
Primitives usuelles sur le site les-mathematiques.net, Calcul de primitive avec
wolframalpha ou
sagemath. Essayer
int 1/sqrt(x^2-a) dx, int sin(sqrt(1+x)) dx,
int sin(1+x^3) dx,
int sin(sin(x)) dx,
int sqrt(1+x^3) dx,
int sin(x)/log(x) dx
5. (9 oct.)
Equations différentielles scalaires : on se ramène quand on le peut à
la forme la plus simple : y'=f(x) dont la solution est l'intégrale
indéfinie ∫
xf(t)dt ; ex y''=sin(x) ; comparaison avec la notion de solution d'une équation polynomiale x
n+a
1x
n-1+...+a
n=0.
Pot pourri d'équations. Enoncé du théorème d'existence et d'unicité locale pour une équation de la forme y
(n)=f(x,y,...,y
(n-1)) avec conditions initiales y(x
0)=y
0,...,y
(n-1)(x
0)=y
n-1.
Sur le web :
Animations sur la page de G. Tulloue.
6. (16 oct.) Théorème de Cauchy Lipschitz d'existence et d'unicité locale ; ex. y'=y
2
: les hypothèses du thm sont satisfaites quelles que soient les
conditions initiales, y=0 est la seule solution définie sur R entier ;
ex. y'=3y
2/3 avec condition initiale y(x
0)=y
0 : si y
0=0 il n'y a pas unicité locale (et les hypothèses du thm ne sont pas satisfaites), si y
0≠0 il y a unicité de la solution au voisinage de x
0 mais pas sur R entier.
Cas des équations différentielles linéaires avec second membre y
(n)+a
1(x)y
(n-1)+...+a
n(x)y+b(x)=0 où a
1,...,a
n et b sont des fonctions continues I→R avec I intervalle de R : les solutions sont définies sur I entier.
Quelques méthodes : cas y'f(y)=b(x) (variables séparées), y'+a(x)y=b(x) (linéaire du 1er ordre),
y
(n)+a
1y
(n-1)+...+a
ny=b(x) (linéaire à coefficients constants, recherche des solutions de l'équation homogène sous la forme p(x)e
αx où α est nombre réel ou complexe vérifiant l'équation caractéristique α
n+a
1α
n-1+...+a
n=0
et p(x) est un polynôme de degré < multiplicité de α ; méthode de
variation des constantes pour trouver une solution de l'équation avec
second membre : voir TD).
7. (lun 22 oct.) Limite nulle d'une fonction f:I ⊂ R→R en x
0∈I, notation f(x)=o
x0(1) ("petit o de 1 en x
0") ; continuité de f en x
0 : f(x)=f(x
0)+o
x0(1) ; dérivabilité de f en x
0 : f(x)=f(x
0)+f'(x
0)(x-x
0)+o
x0(x-x
0) ou encore f(x
0+h)=f(x
0)+f'(x
0)h+o
h→0(h).
Limite nulle d'une fonction f: I ⊂ R→R
n en x
0∈I : f(x)=(f
1(x),...,f
n(x)), chaque f
i(x) tend vers 0 en x
0, ou bien d(f(x),0) tend vers 0 qd x→x
0 où d(-,-) est la distance euclidienne usuelle dans R
n
; comparaison des deux notions pour n=2 : comparaison des disques unité
pour les deux normes en jeu ; équivalence des distances issues de
normes dans R
n ; Notation f(x)=o
x0(1).
Continuité, dérivabilité de f:I→R
n en x
0 puis sur I ; notation f C
0, C
1,C
2 ,..., C
∞ sur I. Tangente à la courbe {f(x),x∈I} en x
0 lorsque f'(x
0) n'est pas le vecteur nul.
Limite nulle d'une fonction f: Ω ⊂ R
n→R, continuité de f en x
0. Développement à l'ordre 1 de f en x
0 : f(x
0+h)=f(x
0)+L(h)+o
h→0(||h||) avec L une application linéaire R
n→R.
Sur le web :
notice Wikipedia sur la notation de Landau ox0(f), Ox0(f).
8. (6 nov.)
Recherche des extrema d'une application [a,b]→R via son tableau de
variation (condition suffisante d'existence d'un extremum local) ;
analogue pour les applications Ω ⊂ R
n→R ? Comportement local d'une application γ:I→R
n en t
0∈I via son développement limité à l'ordre 1,2,3.., position de la courbe paramétrée par γ par rapport à sa tangente en t
0. Rq équations différentielles vectorielles γ'(x)=f(x,γ(x)) (en coordonnées : système d'équations différentielles scalaires).
Application linéaire R
n→R, expression en coordonnées, différentielle d'une fonction f:R
n→R en x
0∈R
n, développement à l'ordre 1 en x
0, expression en coordonnées, exemple avec f(x,y)=xy
3 en (1,1), dérivée de f(γ(t)) en t=t
0.
9. (13 nov.) Rq sur les notations o(f) et O(f) : la rigueur voudrait qu'on écrive x
2∈o
x→0(x) plutôt que x
2=o
x→0(x), et o
x→0(x
2)⊂o
x→0(x) plutôt que o
x→0(x
2)=o
x→0(x) ; la relation n'est pas symétrique : on n'a pas o
x→0(x)⊂o
x→0(x
2)
<texte corrigé le 21nov12>.
Rappel : f:R
n→R, DL à l'ordre 1 de f(γ(t)) en t=t
0 et d/dt(f(γ(t)))
t=t0 ; exemple d/dt(||γ(t)||
2) et d/dt(||γ(t)||), exemple avec γ(t)=(cos(t),sin(t),t).
d/dt(f(x
0+te
i))
t=0= dérivée partielle de f par rapport à x
i en x
0 notée (∂f/∂x
i)
(x0), expression de la différentielle de f en x
0 avec les dérivées partielles, gradiant.
Rappel : DL à l'ordre 2 en t
0 d'une fonction R→R admettant une dérivée seconde en t
0, application à la position du graphe par rapport à la tangente et à l'existence d'extrema locaux. DL à l'ordre 2 de t→f(x
0+th) en t=0 pour f:R
n→R : d/dt((∂f/∂x
i)
(x0+th))
t=0 =Σ
i,j(∂
2f/∂x
i∂x
j)
(x0)×h
ih
j. A finir
10. (20 nov.) Suite du DL à l'ordre 2 de f:R
n→R en x
0∈R
n
: formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction 3 fois
dérivable [a,b]→R, formule de la moyenne pour le reste intégral,
application à [0,1]→R, t→f(x
0+th). Hessienne de f en x
0, écriture matricielle (matrice hessienne), exemple avec f(x,y)=exp(-x
2-y
2)cos(xy)
par deux méthodes : dérivées partielles ou DL de exp et de cos en 0,
commentaire sur le signe de f(x,y)-f(0,0) au voisinage de (0,0).
A faire : Dérivées partielles d'une application f: R
n→R
d, matrice jacobienne, différentielle d'une composée.
11. (27nov.) Recherche du maximum ou du minimum d'une fonction f:D⊂R
n→R. Enoncé : si D est fermé borné dans R
n
et si f est continue alors f atteint son max, contre exemple si l'une
des conditions n'est pas rempli, exemple avec l'équivalence des normes
sur R
n.
Rappel : DL à l'ordre 2 de f en x
0 : f(x
0+h)=f(x
0) + Df
(x0)(h) + ½ Hf
(x0)(h) + o
0(||h||
2), expression matricielle de Df
(x0)(h) et de Hf
(x0)(h) (matrice hessienne).
Condition pour que f admette un max ou min local en x
0 : si x
0 est à l'intérieur de D on doit avoir Df
(x0)=0 i.e. les dérivées partielles de f en x
0 sont nulles ; si x
0 est sur le bord ∂D de D on doit avoir Df
(x0)(u)=0 pour tout vecteur u tangent à ∂D, en particulier si ∂D est donné par l'équation g(x)=0 on doit avoir Df
(x0)(u)=0 pour tout u tel que Dg
(x0)(u)=0 (ce qui équivaut à grad(f)
(x0) proportionnel à grad(g)
(x0) <à dire>), exemple avec D=disque de R
2 centré en (a,b) de rayon r. Méthode : DL en 0 de f(γ(t)).
Condition suffisante pour que f admette un max local en x
0 intérieur à D : il existe une constante c>0 telle que Hf
(x0)(h)≤-c||h||
2, voir exercices en TD.
Rq : pour chercher les extrema de f sur le bord ∂D on peut aussi utiliser un paramétrage g: C⊂R
m→∂D de ∂D et se ramener à la recherche des extrema (intérieurs) de la composée fog.
Lecture :
matrice hessienne sur Wikipedia.
12. (4dec.) Récapitulatif sur la recherche d'extremum : f:D⊂R
n→R, x
0∈D, a t-on f(x)-f(x
0) de signe constant pour x proche de x
0 ? Conditions nécessaires si x
0 est à l'intérieur de D : Df
(x0)=0 et Hf
(x0) ne change pas de signe (⇔det(matrice hessienne)≥0 si n=2) ; condition suffisante : Df
(x0)=0 et Hf
(x0)(h)≠0 si h≠0 (⇔det(matrice hessienne)>0 si n=2) ; min local ou max local suivant le signe de ∂
2f/(∂x)
2(x0) lorsque n=2.
Exemple d'utilisation du DL à l'ordre 3 dans la situation n=2, f(x
0+h,y
0+k)=f(x
0,y
0)+h
2+hk
2+o
h,k→0(||h,k||
3) : signe de h
2+hk
2+o
h,k→0(||(h,k)||
3) pour h,k proches de 0.
Exemple avec f(x,y)=xy sur le disque D(0,1) de R
2 :
recherche des extrema de f sur ∂D=cercle C(0,1) par la paramétrisation
(x(t),y(t))=(cos(t),sin(t)) du cercle ou par la condition grad(f)
proportionnel à grad(g) où g(x,y)=x
2+y
2-1 est une équation de ∂D.
Lecture :
multiplicateurs de Lagrange sur Wikipedia.
13. (lundi 10dec.) Réponse aux questions : signe de la hessienne. Etude du signe de h
2+hk
2+2k
4+o
h,k→0(||h,k||
4) et de h
2+hk
2-k
4+o
h,k→0(||h,k||
4) au voisinage de (0,0). DL de √(1+x+y)/√(1+xy) à l'ordre 2 en (0,0)
Au programme : Intégrales multiples, aire, volume ; longueur d'un arc,
aire d'une nappe paramétrée ; ex. Energie potentielle d'une corde
soumise à son
poids.
Sur le web :
coordonnées cylindriques et sphériques sur la page de G. Tulloue.