Nous cherchons les métriques sur le tore $\Bbb T^2$ qui sont de "complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la complexité "dynamique" des métriques, c'est-à-dire l'entropie du flot géodésique qui leur est associé. Nous verrons d'abord que l'entropie usuelle (topologique) peut s'annuler pour des systèmes géodésiques de complexités a priori non équivalentes sur $\Bbb T^2$ : par exemple les tores plats et les tores de révolution. Nous utilisons donc un outil plus fin - l'entropie polynomiale - pour détecter les métriques de complexité minimale. Nous montrons que celles-ci sont exactement les métriques plates. C'est un travail en collaboration avec Patrick Bernard.

Le problème de la classification locale analytique des champs de vecteurs et des holomorphismes a été considéré dans les travaux de Poincaré, Siegel, Bryuno (Brjuno), Ecalle, Martinet, Yoccoz, Ramis, Malgrange, Voronin et autres auteurs. Dans l'exposé on raconte un article de Voronin sur la classification des applications holomorphes en dimension 2 dites {\em semi-hyperboliques}, c.-à-d. dont l'un des multiplicateurs vaut 1 et le module de l'autre est différent de 0 et de 1.

Est-il possible de faire tourner plusieurs fois une image numérique sans perdre en qualité ? Dans cet exposé, on étudiera ce problème pour l'algorithme le plus naïf de rotation discrète : la discrétisation. Par définition, limage du point x par la discrétisation de l'application linéaire $A\in Gl_n(R)$ est le point de $Z^n$ le plus proche de $Ax$. Cela définit un endomorphisme $\hat A$ de $Z^n$, en général non injectif ; le défaut d'injectivité - i.e. la perte de qualité de l'image numérique - est mesuré par la densité de l'ensemble $\hat A(Z^n)$. Cet exposé sera centré sur le théorème suivant : Lorsque la suite $(A_k)$ est générique parmi les suites de matrices de déterminant $1$, la densité des ensembles $(\hat A_k\circ \hat A_{k-1} \circ\cdots\circ \hat A_1)(Z^n)$ tend vers $0$ lorsque $k$ tend vers l'infini. J'essaierai d'expliquer comment ce résultat peut être utilisé pour étudier les discrétisations de $C^1$-difféomorphisms génériques, et de donner quelques idées de sa preuve, qui utilise le formalisme des quasicristaux.

La notion d'espace métrique grossièrement médian a été introduite par Bowditch pour généraliser à la fois les complexes cubiques CAT(0) et les espaces hyperboliques au sens de Gromov. Lorsqu'un groupe de type fini agit géométriquement sur un espace grossièrement médian (comme par exemple les groupes modulaires de surface), on peut en déduire plusieurs propriétés intéressantes. Bien que l'existence d'une médiane grossière soit une forme de courbure négative, nous montrerons qu'un réseau d'un groupe de Lie simple de rang supérieur n'est pas grossièrement médian. Une conséquence est que les seuls espaces symétriques de type non compact ou immeubles affines quasi-isométriques à un complexe cubique CAT(0) sont ceux de type $A_1^r$.

Dans un exposé très introductif, je définirai la notion de groupoïde de Lie et donnerai des exemples de constructions issues de la géométrie : groupoïde d'holonomie d'un feuilletage, groupoïde d'une action de groupe, espace S-tangent d'une pseudo-variété conique....

Je proposerai ensuite un aperçu de l'utilisation qui est faite de ces groupoïdes dans le cadre de la géométrie non commutative. En particulier, j'expliquerai comment les groupoïdes, associés à d'autres outils d'algèbres d'opérateurs, peuvent être utilisés pour le développement de l'analyse et de la théorie de l'indice sur les espaces singuliers.

Dans cet exposé, on s'intéresse au spectre de corrélation des applications uniformément dilatantes

du cercle. Malgré l'ancienneté de cette théorie (Ruelle '76) et la grande simplicité de cette classe de systèmes dynamiques, bien peu d'information quantitative est connue sur ce spectre. On montrera comment des méthodes de potentiel complexe combinées à des calculs explicites sur des produits de Blaschke conduisent à des résultats de comptage spectral proche d'une loi type Weyl. Travail en collaboration avec O. J. Bandtlow.

Nous considérons un cas spécial de transformation de variétés : le produit croisé. Un produit croisé est une application qui préserve une fibration au-dessus d'une base. Nous construisons un changement de coordonnées qui ramène un produit croisé à une forme plus simple, dite normale. Ce changement a ceci de particulier qu'il préserve la structure du produit croisé.



Il se trouve que ce changement de coordonnées n'est pas différentiable mais hölderien par rapport à la base. L'exposant de Hölder encode le rapport d'hyperbolicité de l'application dans la base et dans la fibre.



Ce travail est une collaboration avec Yulij Ilyashenko.

The restricted planar three body problem models the motion of a massless body under the Newtonian gravitational force of two bodies evolving in Keplerian ellipses. The circular case is a particular case. The possible motions the massless body can perform were already known by Chazy (1922), who gave a complete classification of all possible states that the body $q(t)$ can approach as time tends to infinity. The possible final states are reduced to four~:



*Hyperbolic: $\|q(t)\|\rightarrow\infty$ and $\|\dot q(t)\|\rightarrow c>0$ as $t\rightarrow\pm\infty$.\

*Parabolic: $\|q(t)\|\rightarrow\infty$ and $\|\dot q(t)\|\rightarrow 0$ as $t\rightarrow\pm\infty$.\ *Bounded: $\limsup_{t\rightarrow \pm\infty}\|q\|<+\infty$.\

*Oscillatory: $\limsup_{t\rightarrow \pm\infty}\|q\|=+\infty$ and $\liminf_{t\rightarrow \pm\infty}\|q\|<+\infty$.\

Examples of all these types of motion, except the oscillatory ones, were already known by Chazy.

In this talk, we prove the existence of oscillatory motions for any value of the masses of the primaries assuming they move in ellipses whose exectricity is small enough. The oscillatory motions are a consequence of the transversal intersection of the stable and unstable manifolds of periodic orbits at ``infinity''.



The main achievement is to rigorously prove the existence of these orbits without assuming the mass ratio between the primaries small, since then this transversality is given by an exponentially small quantity and can not be checked by means of classical perturbation theory.



This is a joint work with M. Guardia dn P. Martin.

Plusieurs résultats récents de Pila & WIlkie, Pila, Masser, Boxall & Jones, Binyamini etc... établissent que les ensembles bénéficiant de bonnes propriétés géométriques, modelées sur celles des ensembles analytiques compacts, possèdent peu de points rationnels de hauteur donnée dans leur partie transcendante. J'expliquerai comment dans un travail en commun avec C. Miller nous montrons que certaines courbes oscillantes ou spiralant possèdent elles-aussi peu de points rationnels de hauteur donnée.

On s'intéresse au contrôle optimal de systèmes en dimension finie à dynamique lente-rapide. On montrera comment, selon la fonction coût à minimiser, une moyennisation adaptée permet d'obtenir différents types d'approximations métriques. L'application au contrôle du potentiel Keplerien en mécanique spatiale sera discutée.

Travail en collaboration avec B. Bonnard (Dijon) et J.-B. Pomet (Sophia).

Le lemme de reparametrisation de Yomdin-Gromov borne la complexité différentielle d'un ensemble semi-algébrique. Après interpolation polynomiale cela permet de controler la dynamique locale des systèmes dynamiques C^r, r>1. Nous présenterons comment on peut en deduire certaines propriéte de continuité de l'entropie ainsi que de nouvelles applications, comme une propriété d'équidistribution des points periodiques d'exposants loin de 0.

Etudier des déformations de pavages apériodiques revient à étudier des homéomorphismes entre des laminations particulières, dites "pavables". Dans un travail en commun avec J. Aliste (Univ. A. Bellos, Chili), nous montrons que la composante connexe de l'identité parmi les homéomorphismes préservant chaque feuille d'une telle lamination est ouverte et simple. De plus, nous montrons, en dimension un, que ce groupe est uniformément parfait. Nous présenterons dans cet exposé quelques conséquences de ces résultats.

Consider the completely resonant defocusing non-linear Schrodinger equation on the two dimensional torus with any analytic gauge invariant nonlinearity. Fix s>1. We show the existence of solutions of this equation which achieve arbitrarily large growth of H^s Sobolev norms.

We also give estimates for the time required to attain this growth. This is a joint work with Emanuele Haus and Michela Procesi.

We study the dynamics of a soliton in the generalized NLS with a small external potential $\epsilon V$ of Schwartz class. We prove that there exists an effective mechanical system describing the dynamics of the soliton and that, for any positive integer $r$,

the energy of such a mechanical system is almost conserved up to times of order $\epsilon^{-r}$.

In the rotational invariant case we deduce that the true orbit of the soliton remains close to the mechanical one up to times of order $\epsilon^{-r}$.

I will overview problems related to the equidistribution of Fekete points in a compact complex manifold. These are extremal point configurations defined through sections of powers of a positive line bundle. Their equidistribution is a known result. The novelty of our approach is that we relate them to the problem of sampling and interpolation on line bundles, which allows us to estimate the equidistribution of the Fekete points quantitatively. I will present some random variants of the problem.

Motivated by the so-called Poincaré center problem, we consider normalization of vector fields near equilibria of center type. We are interested in explicit solvability of the normal form and give an alternative proof for holomorphic normalization theorem for completely integrable vector fields. Also, we present a holomorphic normalization theorem for non-commutatively integrable vector fields.

The Bedford-Taylor comparison principle for complex Monge-Ampere measures is a very useful tool in complex analys. I will show a version of the comparison principle for measures that are defined by Bergman kernels which holds also in situations unrelated to complex analys, and which has the Bedford-Taylor theorem as a formal consequence.

Models that describe the behavior of evolving populations and financial markets are usually phrased in the language of stochastic differential equations, which in turn define Markov processes. The underlying variables in these processes are confined to subsets that typically have non-smooth boundaries, like simplices and orthants. The PDEs that generate these processes are degenerate elliptic operators, where the degeneracies reflect important empirical properties of the underlying processes. In this talk I will describe a class of such operators, called Kimura diffusions that are naturally defined on manifolds with corners. I will then detail recent progress on the regularity theory of solutions to the elliptic and parabolic problems, and the tools used to establish these results. This is recent joint work of CE, along with Rafe Mazzeo, Camelia Pop and Jon Wilkening.