Chapitre 1

Présentation de l’expérience

1.1 Enseigner des mathématiques à de futurs biologistes ?

Voici une question qui m’a souvent été posée et, que je me suis également posée au début de mon expérience. Cette question souligne la perplexité dans laquelle se trouvaient pas mal de mes collègues et moi-même face à cet enseignement. L’enseignement des mathématiques avait disparu pendant un temps de la première année de ce DEUG. Il était ”rouvert” depuis peu lorsque je commençais à coordonner l’enseignement des mathématiques dans ce DEUG, partagé pendant un temps avec les Sciences de la Terre , il y a de cela dix ans. Ce fut l’origine de cette expérience .

Les étudiants concernés par cette expérience sont des étudiants de première année donc de nouveaux bacheliers et l’expérience dont il est question ne concerne que le DEUG .

N’ayant aucune idée de quelles mathématiques de futurs biologistes avaient besoin, ma première équipe enseignante et moi-même continuâmes l’enseignement tel qu’il l’avait été pratiqué durant les deux années précédentes. Mais cet enseignement ne satisfaisait ni les étudiants qui semblaient s’y ennuyer, ni les enseignants qui se retrouvaient confrontés à de grandes différences de niveau entre étudiants.

Une des premières impressions que j’ai recueillie chez mes tous premiers étudiants en biologie en discutant avec eux pour essayer de comprendre ce que ces étudiants scientifiques à la base, pouvaient reprocher à l’enseignement classique des mathématiques tel qu’il était pratiqué à l’époque et qu’ils désertaient massivement, fut :

”Les mathématiques , c’est abstrait et sans vie ”.

suivie de :

” Les mathématiques de la fac servent à rien”

D’un autre coté, j’étais souvent abordée par des enseignants de Chimie qui me demandaient non sans humour : ”Qu’est-ce que vous enseignez en mathématiques ?”

La spécialisation du cours était apparue rapidement comme étant nécessaire par le fait que les mathématiques ne sont plus qu’un outil pour les autres sciences dans cette filière.

Elle s’était caractérisée tout d’abord par un choix de thèmes d’étude en relation avec la physique et la chimie enseignées en DEUG .

Manifestement, cela n’était pas suffisant pour répondre aux besoins et pour interresser les étudiants les plus motivés.

Claude Lobry, alors professeur à l’Université de Nice et qui connaissait bien ce public étudiant et ses besoins, participa une année à cet enseignement. Il me fit remarquer que nous perdions sûrement du temps à faire des études de fonctions demandant de plus en plus de virtuosité mathématique ou à leur enseigner la résolution des équations du second degré à coefficients complexes. C’est là typiquement le genre d’apprentissage très technique que les bons étudiants vont plus ou moins s’approprier (sans y trouver beaucoup d’intérêt) et que les étudiants qui n’ont pas vu les nombres complexes dans le secondaire n’assimileront pas dans les temps (ce qui les lassera en partie des mathématiques) et qui de toutes façons ne va pas beaucoup leur servir même en physique. Une bonne partie de ce temps d’apprentisage pourrait être réutilisé en les faisant travailler par exemple plus sur les courbes logistiques dont l’interprétation les interesserait plus et dont l’étude serait déjà assez complexe pour tous au vu de leurs connaissances.

Parallèlement, j’apprenais que ces étudiants avaient beaucoup de problèmes en physique et que les enseignants de physique réadaptaient déjà leur enseignement en concentrant l’apprentissage sur la reconnaissance de lois et de principes à appliquer et utilisant peu d’outils mathématiques.

1.1.1

Il a fallu accepter le fait que l’enseignement de ces mathématiques n’était plus une matière principale bien qu’intervenant dans un DEUG scientifique et que l’essence propre des mathématiques ne suffisait peut-être plus pour motiver leur enseignement dans cette filière.

Cependant, pour apporter quelque chose d’utile et pour remplir notre fonction d’enseignant, il fallait aussi accepter que les étudiants placés devant nous ne s’extasieraient pas ou très peu souvent devant un beau résultat mathématique et que leur intérêt serait activé plus par autre chose que par la beauté de la fonction exponentielle.

Ces constats furent à l’origine de la démarche choisie pour la suite du cours.

1.2 Descriptif de la situation

1.2.1

Les Sciences de la Vie et de la Terre, dénommées Sciences molles, n’ont pris leurs places dans le monde scientifique au même titre que les mathématiques et la physique que depuis récemment. Mais l’essor que ces sciences connaissent actuellement nous amène à penser que ce sont des sciences de l’avenir.

On ne peut ignorer leurs évolutions durant ces dernières années . Et leurs caractéristiques propres sont à prendre en compte pour enseigner des mathématiques à des étudiants ayant choisi de faire des études dans ce domaine et pour comprendre comment les mathématiques peuvent aider à leur développement .

Ainsi, certaines reflexions d’ordre qualitatif nécessitent de bonnes connaissances globales sur des notions basiques en mathématiques (comme certaines notions sur les courbes, sur les fonctions exponentielles...) qui ne sont cependant pas si faciles que cela à maitriser à la sortie de terminale.

De plus en plus, des résultats quantitatifs , nécessitant aussi des connaissances techniques un peu plus poussées en mathématiques sont recherchés par ces sciences .

1.2.2

1. La filière Sciences de la Vie est totalement separée des autres filières scientifiques dès le DEUG . Officiellement , cette filière ne comporte un enseignement de mathématiques que durant les deux années du DEUG.

Sur Nice , la poursuite des études en biologie au delà du DEUG ne necessite pas de mathématiques d’un niveau supérieur et si des besoins apparaissent dans une matière, les étudiants apprendront les notions nécessaires avec l’aide de l’enseignant de la matière concernée.

2. Ceci explique que cet enseignement de première année se voit attribuer un petit volume horaire étudiant de 36h réparties en 6h de cours en amphithéatre et en 30h de travaux dirigés en salle. Il se retrouve aussi muni d’un faible coefficient par rapport à la moyenne générale : environ 7% de la note finale. En demandant, en moyenne, entre 1h et 1h30 de travail hebdomadaire personnel en dehors des cours et des travaux dirigés, on leur demande déjà beaucoup. L’essentiel de l’apprentissage se fait sur place.

3. D’autre part, nous devons savoir que 80% à 90% des étudiants de ce DEUG ont un bac scientifique S, option Sciences de la Vie et de la Terre ou option Physique (rarement mathématiques), suivent ensuite les étudiants ayant un bac section STL puis un un bac section STT et enfin quelques littéraires. Parmi les étudiants issus de terminales scientifiques, certains ont passé une voire deux années dans des sections dont les mathématiques sont complètement absentes (Fac de Lettres ou Médecine...). Ils ont alors oublié beaucoup de notions mathématiques de terminale.

4. Le partage du programme de mathématiques sur les deux années du DEUG a consacré à la deuxième année les probabilités et les statistiques (tests...) et à la première année ”TOUT LE RESTE” !

1.3 ”TOUT LE RESTE” : C’est bien vague et c’est trop ou pas beaucoup

Que peut-on faire d’utile en 36h pour ce public étudiant assez hétérogène ?

1.3.1

Pour fixer un programme, il a fallu diagnostiquer les besoins de ces étudiants pour le DEUG et au-delà du DEUG aussi. Mais il a fallu aussi tenter de comprendre sous quelle forme les mathématiques serviraient à ces étudiants : Quel niveau de ”virtuosité” dans les calculs devons nous leur demander ? Sous quelle forme devons-nous leur présenter ces mathématiques ?

1.3.2 Mise en œuvre

En essayant de voir quels sont les besoins de ces étudiants , j’ai consulté les livres de la B.U. que les étudiants empruntaient en biologie durant leur DEUG. Deux remarques s’imposèrent alors :

Tout d’abord, une remarque révélatrice de la façon dont les mathématiques sont percues par les étudiants : Il n’était pas rare de trouver des anotations dans les marges et des remarques ou même des corrections gribouillées au crayon gris prouvant l’attention que les étudiants avaient porté à ces lectures . Mais lorsqu’un passage attirait mon attention parce que présentant un aspect plus ou moins mathématique (courbes, relations ...) , je ne voyais plus d’anotations en face. Je gardais l’impression que ces passages étaient systématiquement ignorés ou très peu regardés par les étudiants.

La deuxième remarque concerne la nature du cours : Les courbes que je rencontrais étaient souvent décrites, mais la recherche d’une expression mathématique d’une fonction n’apparaissait pas toujours comme une nécessité et si cela était fait , cette expression n’était pas toujours communiquée et seules les conclusions figuraient dans le livre.

1.3.3 Objectifs

Suite à la première remarque ci-dessus, on constate que ces étudiants vont rencontrer des mathématiques et comme on peut le supposer dans le futur, certains d’entre eux vont non seulement en rencontrer plus mais ils devront aussi penser à demander l’aide des mathématiques pour développer leurs recherches.

Ils ne doivent donc plus fuir ces mathématiques !

L’objectif principal sera donc de rendre ces étudiants indépendants le plus possible dans une démarche d’analyse ou d’utilisation de quelques notions de mathématiques de base . Il s’agira de donner les outils mathématiques de base utiles pour analyser un texte ou une courbe pour extraire et formuler mathématiquement de façon correcte le problème à résoudre et de voir l’intérêt que les mathématiques présentent pour la prévision et la décision : tout ceci pour l’étude de problèmes issus de biologie, de géologie, de physique, de chimie...

Le premier objectif sera en partie atteint si les étudiants n’évitent plus de lire des mathématiques au cours d’un texte. On peut penser que prendre l’habitude de faire des mathématiques présentées en situation , à travers des applications de biologie, de géologie, et bien sûr de physique ou de chimie aiderait à atteindre cet objectif.

Nous devons d’autre part cerner les mathématiques nécessaires pour leurs lectures et études dans les autres sciences dont ils ont besoin.

Enfin, une petite partie du cours devrait permettre de leur raconter et de leur faire raconter des ”phénomènes” et des mathématiques pour les ouvrir aux possibilités que cet outil, qu’ils redoutent parfois, leur ouvre.

La calculatrice est un outil qui bien utilisé va permettre de simplifier les calculs et de gagner en indépendance. Cet outil peut être un réel outil pédagogique pour ces étudiants malgré toutes les réticences rencontrées de part et d’autre vis à vis de son utilisation. Ces étudiants ont l’habitude d’effectuer des démarches expérimentales et effectuer une démarche très semblable à l’aide de la calculatrice pour une activité aide à mieux s’approprier le contenu mathématique de l’activité et de dépasser les blocages calculatoires pour passer aux interprétations. L’introducion des calculatrices pour ce type d’enseignement n’est pas original. Et nous ne poussons pas cet usage comme Yvon Nouaze le propose dans son ouvrage ^{1}

1.3.4 Conclusions :

Si les objectifs de ce cours sont des objectifs communs à beaucoup d’enseignement de DEUG 1^{ière}année, les motivations sont différentes et vont conduire à des démarches différentes. Il est sans doute bon aussi de préciser que cette expérience n’est pas la seule en son genre et qu’elle n’a pas la prétention d’être plus belle ou plus interressante que les autres mais qu’elle a le mérite, comme les autres, d’aider à ouvrir notre enseignement des mathématiques vers d’autres sciences et vers des étudiants très ”expérimentateurs et pragmatiques” mais pas ”matheux”.

1Mathématiques et Calculatrices chez Ellipses

Présentation

2.1 Les exercices

Les exercices proposés à nos étudiants respectent en gros les objectifs décrits dans le chapître précédent.

Je connaissais quatre ouvrages proposant des exercices ciblés pour ces étudiants en biologie, mais de fao̧n différente :

– ... Roger V. Jean

C’est un auteur canadien qui présente des exemples et des exercices d’utilisation de mathématiques de base pour la biologie . Ses exercices sont courts et interessants par leur contenu .

– Mathématiques pour les sciences biologiques et agronomiques chez Armand Colin (Collection U) de Guy Lefort, et Exercices dans la même collection du même auteur

Le contenu mathématique est d’un niveau supérieur par rapport à l’ouvrage précédent. La première partie du livre contient de l’analyse et de l’algèbre alors que la deuxième partie du livre est consacrée aux probabilités et aux statistiques . Les exercices sont partagés entre des exercices aux énoncés classiques de mathématiques et des exercices contenant des questions mathématiques appliquées à de la biologie. Chaque introduction de chapître du cours donne la motivation de l’étude de cette notion par son utilisation en biologie, en agronomie ... et le cours contient des exemples étudiés. L’étendue du cours dépasse de beaucoup ce qui peut-être traité dans le volume horaire que nos étudiants de biologie ont en mathématiques d’autant que nos étudiants n’ont pas dès le début de l’année les compétences requises pour aborder les notions telles qu’elles sont présentées. Le livre date des années 1967 et cette relative ancienneté explique le décalage entre son contenu et la formation de nos étudiants.

– Mathématiques pour les Sciences de la Vie , de la nature et de la santé chez P.U.G. de Jean-Paul et Francoise Bertrandias

L’ouvrage présente une réflexion sur la présentation des notions de base que ces étudiants vont manipuler comme la notion de valeurs, par exemple. Le cours d’analyse et de probabilités-statistiques est présenté sans démonstration et une large part est consacrée à la modélisation . Les exercices sont souvent issus d’articles et sont très interressants tant sur le plan mathématique que pour le lien mathématiques-biologie qu’ils proposent. Un travail algorithmique et de programmation est régulir̀ement traité. Malheureusement, on comprend vite que c’est un ouvrage très riche pour les enseignants découvrant ce type d’enseignement mais pas pour nos étudiants qui ne pourraient pas suivre cet ouvrage , un ”peu abstrait” pour eux . Cet ouvrage se trouvant à la bibliothèque universitaire , j’avais proposé a certains étudiants motivés et de bonne culture mathématique de l’emprunter et de regarder avec eux des chapîtres ou des paragraphes et des bouts d’exercices et malgré mon aide , ils se sont sentis ”lachés” par les mathématiques que nous rencontrions.

– Mathématiques et Calculatrices d’Yvon Nouaze chez Ellipses Le cours est partagé entre de l’analyse et de l’algèbre. Le cours est présenté en s’appuyant sur l’utilisation de la calculatrice . Comme je l’ai déjà dit , cet outil doit aider les étudiants à dépasser les difficultés techniques des mathématiques pour réfléchir à la démarche et à la signification des résultats. Cependant, peu d’exercices melangent vraiment les deux aspects qui nous interessent à savoir l’utilisation de la calculatrice et une étude en biologie.

Je me suis inspirée des trois premiers ouvrages pour choisir la progression du cours de nos étudiants en S.V. . Les exercices de toutes ces références ont souvent servi de base à nos exercices. Les trois premiers ouvrages se trouvent sur les rayons de la bibliothèque universitaire dans la partie biomathématiques mais ils sont fort peu voire pas du tout empruntés par nos étudiants de biologie.

Aucune réelle démonstration ne figure dans le cours et on ne leur demande pas de faire des démonstrations mais de réfléchir pour savoir utiliser les outils mathématiques qu’on leur fournit en cours ou qu’ils connaissent du lycée pour résoudre des problèmes ou comprendre des études déjà faites et arriver peut-être un jour à se poser une question sous une forme ”mathématique” pour analyser un problème de biologie si cela permet de faire progresser les conclusions en biologie.

Pour constituer le matériau de travail, j’ai aussi épluché les livres du secondaire qui présentent de plus en plus d’exercices liés à la biologie ( et aux autres sciences aussi d’ailleurs).

Beaucoup de références d’exercices sont canadiennes car les biomathématiques sont beaucoup plus développées de l’autre coté de l’atlantique. Ainsi, d’autres exercices proviennent de livres anglo-saxons.

Enfin, d’autres exercices sont issus de lectures personnelles d’ouvrages de biologie mis à la disposition des étudiants à la bibliothèque universitaire. Ces exercices sont sans doute ceux le plus en accord avec les objectifs décrits et sans doute ceux qui aideront le plus les étudiants qui seront amenés à consulter des ouvrages de biologie contenant un peu de mathématiques .

N’étant pas une biologiste, je me doute que certains de ces exercices contiennent des simplifications abusives (sur le plan de la biologie) et pire des erreurs : je tiens à m’en excuser et j’espère que la correction donnera de nouveaux énoncés tout aussi interressants, voire plus encore.

2.2 Les thèmes

La liste des domaines dans lesquels les mathématiques apparaissent (et pouvant aider ces étudiants) ne cesse de s’allonger mais à part pour les étudiants qui se dirigeront vers des écoles d’ingénieurs ou d’agronomes, les changements dans l’enseignement de biologie à la faculté des Sciences de Nice n’ont pas donné une place plus importante à la culture mathématique. Aussi, les thèmes abordés en première année sont assez peu nombreux parmi ceux cités ci-dessous :

1. Les statistiques descriptives

2. en analyse :

– Les fonctions à une variable

– Les coordonnées semi-logarithmiques

– les suites

– les fonctions à plusieurs variables

– les équations différentielles

– les systèmes différentiels

3. Les graphes

4. la théorie des jeux

5. l’algèbre linéaire : les matrices , les systèmes linéaires,... les chaînes de Markov,... ...

2.3 La présentation

Lors de mes séances de travaux dirigés, traitant les exercices dans l’ordre de la fiche suivant la progression du cours classique , il m’arrivait de préciser que tel ou tel type de fonction était un modèle utile en écologie, ou en génétique ou qu’on reverrait cette notion dans un autre contexte biologique.

Les étudiants appréciaient ce recul par rapport aux simples exercices car il leur permettait de baliser le parcours qu’ils devaient faire en mathématiques par des repères mathématiques et biologiques.

Ceci explique que dans la présentation choisie des exercices , les titres des rubriques soient souvent ”doubles” : mathématiques et biologie et que certains exercices soient cités dans plusieurs rubriques.

La liste des thèmes de biologie rencontrés n’est pas exhaustive, je ne propose qu’un parcours à travers des domaines de la biologie . Les exercices seront quelques fois commentés par rapport à leurs objectifs et intétrêts et grâce à l’expérience que j’ai eue en travaillant avec les étudiants.

Les fonctions

3.1 Généralités

L’étude générale de fonctions ”complexes” n’apparait pas comme un outil essentiel, sauf exceptions. Pourtant, comme je l’ai déjà dit , les courbes sont tout de même beaucoup utilisées et le vocabulaire lié aux fonctions et aux courbes l’est également. Mais , ce vocabulaire spécifique des fonctions a lui aussi subi des transformations .

L’expression d’une fonction dont la courbe représentative ajusterait la courbe expérimentale n’est pas forcément recherchée et donnée : elle a tendance cependant à l’être de plus en plus dans certains domaines comme en écologie.

Lorsqu’il y a une telle démarche, les fonctions d’ajustement recherchées appartiennent aux fonctions que nous appelons de base, car ”simples” :

– les fonctions affines

– les fonctions parabolesdu second degré

– les fonctions homographiques

– les fonction trigonométriques

– les fonctions polynômiales

– les deux fonctions fondamentales que sont la fonction ”Logarithme” et la fonction ”exponentielle”

La biologie étudie des phénomènes très complexes et a priori les mathématiques devraient aider à faire apparaitre les composants prépondérants , à lisser les composants secondaires en présentant des expressions simples qui ne vont pas contribuer à complexifier l’étude.

Ces fonctions servant de modèles sont ajustées avec le temps , avec le phénomène étudié et ”complexifiées” au fur et à mesure. Il arrive souvent de voir qu’un auteur ”prouve” que le modèle proposé par tel scientifique et qui semblait correspondre à la description d’une situation pour toute une catégorie d’individus ne marche plus pour une sous catégorie qui nécessite alors un nouveau modèle qui non seulement va englober l’ancien modèle mais va aussi entraîner de nouvelles (différentes !) conclusions.

3.2

Pour les cinq premiers types de fonctions cités précedemment (les fonctions affines, les fonctions paraboles, les fonctions homographiques, les fonction trigonométriques, les fonctions polynômiales ), les difficultés liées à l’étude générale des fonctions sont réduites : les domaines de définition sont très simples et systématiques, il en est de même pour le calcul de la dérivée et donc pour le sens de variations (avec si c’est le cas recherche d’extrémum) et surtout la description du comportement de ces fonctions en l’infini (avec équations des asymptotes s’il y a lieu ) est aussi faite ”dans le cours”.

Pour les fonctions logarithme et exponentielle , le travail purement mathématique est à peine plus compliqué. Car les composées faites entre ces fonctions sont là aussi souvent du même type pour aboutir aux mêmes fonctions aux coefficients près : ainsi pour les fonctions exponentielles , les fonctions indispensables sont les fonctions de la forme :

x ↦ e^{ax^{n}} + b

x ↦ \frac{A + e^{ax}}{B + e^{bx}}

Nous nous libérons d’une difficulté mathématique d’un côté , mais nous allons demander à nos étudiants de bien connaître ces courbes , leurs propriétés et de savoir opérer des affinités et des translations des courbes des fonctions de base :

x ↦ x, x ↦ \frac{1}{x}, x ↦ x^{2}, x ↦ cos(x), x ↦ sin(x))

et de traduire ces opérations dans l’expression de cette fonction.

3.3 Des graphes et des questions

Nous commencerons par des questions relatives à des graphes pour lesquels on ne cherchera pas l’expression d’une fonction modélisant la situation. Les notions relatives aux fonctions et à leur signification graphique apparaissent comme utiles à l’étude de la situation . D’après ce que j’ai raconté dans l’introduction, on se doute que ce genre de situations se rencontre assez souvent et les exercices qui suivent ne sont que des exemples proposés pour travailler sur les graphes et approfondir les notions de dérivées et de primitives ou la bonne compréhension et interprétation du vocabulaire relatif aux graphes.

3.3.1 Surveillance d’une rivière

Voici un exemple d’exercice faisant travailler sur le graphe d’une fonction . Le graphe donné est issu de relevés réels et les questions liées à l’étude de ce phénomène sont formulées en langage courant .

Quand la rivière du Connecticut atteint un niveau de 105 pieds au dessus du niveau de la mer, les deux stations de contrôle de Northampton du Massachusetts commencent une surveillance. Toutes les deux heures, elles vérifient la hauteur de la rivière (à l’aide d’une échelle graduée en dixième de pieds) et relève les données. Durant le printemps 1996 , la surveillance commença le 4 Avril lorsque la rivière atteint 105 pieds et augmentait de 0,2 pieds par heure jusqu’au 25 Avril, quand le niveau revint à 105 pieds.

Entre ces deux dates, les relevés montrent que le niveau changea beaucoup et atteint presque 115 pieds (si cette hauteur avait été atteinte, la ville aurait fermé la route Mount Tom Road au sud de Northampton). Le graphe ci-dessous montre les variations du niveau de la rivière durant une période de l’observation.

1. A quelle date le niveau de la rivière monta le plus rapidement ?

A quelle date le niveau de la rivière descendit le plus rapidement ?

2. On a relevé deux dates auxquelles la rivière monta puis descendit , puis remonta durant la journée. Quelles sont ces deux dates ?

3. A minuit une minute, le 14 Avril, le niveau de la rivière était de 111 pieds. Estimer sa hauteur 24 heures plus tard et 48 heures plus tard en utilisant une intégrale (Expliquer)

4. La rivière atteint son maximum de 114,4 pieds.

A quelle date pensez-vous que cela arriva ? Les notions d’extremas , de sens de variations de la courbe prennent ici un sens dans la réalité car elles apparaissent après traduction des termes du langage courant comme ”le plus rapidement” ”monter” , ”descendre” rencontrés dans l’énoncé.

Les liens entre calcul d’aire et calcul de primitives apparaissent naturellement comme une question logique dans l’étude du phénomène.

Le travail sur les courbes fait ici est souvent un travail déjà fait au lycée sur des courbes ”sans réalité” : Cet exercice est présenté aux étudiants comme un simple exercice d’entraînement sur des notions déjà vues dans le secondaire : il ne surprend pas les étudiants mais les questions relatives au calcul de niveau de la rivière donc nécessitant un calcul d’aire demandent plus de réflexions et souvent permettent à l’enseignant de refaire le lien entre les trois notions qui sont en jeu : dérivée, intégrale et calcul d’aire.

Voici quelques exercices du même genre :

3.3.2 Taux de fertilité

Le taux de fertilité total au temps t , désigné par F (t), est le nombre moyen d’enfants par femme (en supposant que le nombre actuel de naissances est constant). Le graphique ci-dessous présente les fluctuations de ce taux entre 1940 et 1990 aux U.S.A.

1. Estimez la valeur de F′(1950). Que signifie ce nombre ?

2. En quelle année la décroissance du taux de natalité fut-elle la plus importante ? Estimez numériquement cette décroissance .

3. En quelle année environ le mini baby-boom commença ? Expliquer votre démarche. Que valait le taux de natalité en cette année ?

4. Quelles raisons peuvent justifier ces trois périodes ?

3.3.3 Ecologie

On a représenté ci-dessous le nombre de baleines bleues capturées entre 1930 et 1970 en fonction du temps :

1. En quelle année a-t-on pêché le plus de baleines ? Préciser le nombre de baleines capturées cette année là.

2. Durant quelle période (historique) a-t-on capturé le moins de baleines bleues ?

3. Quel est le nombre moyen de baleines péchées durant les premières années étudiées ? sur les cinq dernières années de l’étude ?

4. En quelle année la capture s’est-elle le plus accentuée et en quelle année s’est-elle le plus ralentie ?

En 1930, il y avait 300 000 baleines bleues dans le monde, on en dénombrait 2800 en 1974. Même après plusieurs années de protection, les signes de repeuplement ne sont pas visibles.

Au delà de l’intérêt que toute étude en écologie suscite chez nos étudiants , cet exercice permet de revenir sur la représentation de données statistiques. La question 3. permet une réflexion (si on le veut) sur la relation entre le calcul de l’aire des rectangles et le calcul de l’aire sous la courbe.La moyenne demandée est celle qu’ils connaissent en statistiques mais suite à la remarque précédente elle permet aussi de parler de formule de la moyenne (en intégration) qu’ils peuvent rencontrer en physique.

3.4 Des modèles et des fonctions de base

La modélisation est une autre fao̧n, bien sûr, de rencontrer des fonctions . Dans ce paragraphe , nous ne présentons que des modèles utilisant les fonctions de base dejà citées.

3.4.1 Les fonctions affines

Nous commencerons par les fonctions affines. Ces fonctions sont bien connues et elles permettront de se familiariser avec la notion de modèles. D’un autre coté , ces modèles linéaires vont permettre à l’enseignant de rappeler le vocabulaire de base lié aux droites , en particulier les termes : coefficient directeur ou pente. Leur signification géométrique sera revue aussi.

Elles seront très sollicitées pour l’utilisation des coordonnées semi-logarithmiques.

3.4.2 Des cigales et des droites

On observe que le rythme auquel les cigales d’une certaine espèce chantent est lié à la température et que la relation semble être à peu près affine. Un grillon produit 120 chants par minute à 21 et 168 chants par minute à 26.

1. (a) Déterminer la relation affine qui modélise la température T en fonction du nombre N de chants par minute des grillons. Représenter le graphe de cette fonction dans un repère orthonormé.

(b) Quelle est la pente de ce graphique ? Que signifie-t-elle ?

2. (a) Déterminer la relation affine qui modélise le nombre N de chants par minute des grillons en fonction de la température T . Représenter le graphe de cette fonction dans un repère orthonormé.

(b) Quelle est la pente de ce graphique ? Que signifie-t-elle ?

3. Si les grillons chantent 140 fois par minute, déterminer graphiquement la température qu’il fait ? Vérifier votre résultat par le calcul.

Cet exercice présente l’avantage de donner une signification à la pente et de faire comprendre qu’une pente différente signifie un changement. De même, la signification de la pente est différente pour la fonction réciproque.

3.4.3 Des orignaux et des droites

L’énoncé détaillé de cet exercice se trouve dans la partie 3.7 car cet exercice utilise des droites pour étudier le comportement alimentaire des orignaux et pour chercher l’optimisation du rendement énergétique de leur régime alimentaire.

Cet exercice et le suivant ne travaillent pas avec des fonctions ”compliquées” au sens de leur expression ou de leur étude en ”théorie”. Cependant, lorsque ces exercices furent proposés aux étudiants de SV au début de l’introduction de ce genre d’exercices, plusieurs étudiants étaient venus trouver les enseignants et leur avaient déclaré : ”Les mathématiques , cette année, sont étranges.” A notre question : ”Pourquoi ? Elles ne sont pas plus dures que ce que vous faisiez au lycée !”, la réponse fut : ” Oui et non car il faut beaucoup réfléchir avec des fonctions simples.” Cet échange confirme à quel point les mathématiques ”simples” employées dans leurs ouvrages les génaient car leurs connaissances étaient utilisées différemment.

3.5

L’enchaînement avec des fonctions polynômiales était plus ou moins normale (au vu de leurs connaissances et de la présentation adoptée dans le secondaire). Les paraboles sont les premières abordées , les énoncés détaillés n’appraîtront qu’au paragraphe intitulé :”Des gains : des droites, des paraboles et des hyperboles”. Nous commencerons par un exercice d’étude d’une fonction du troisième degré.

3.5.1 Polynômes : La densité de l’eau en fonction de la température

La densité de l’eau est une fonction de la température et peut être représentée de façon empirique par l’équation :

ρ(T) = 0.99987 + 0.69 × 10^{−5}T − 8.89 × 10^{−6}T^{2} + 7.4 × 10^{−8}T^{3}

où ρ et T sont dans les unités S.I Etudier et représenter cette fonction .

ρ est une fonction polynôme avec des coefficients inhabituels dans un tel exercice de mathématiques . Les calculatrices vont être utilisées pour obtenir un tracé de la courbe représentative de la courbe (en plusieurs morceaux !) , qui va demander de savoir choisir les bonnes fenêtres et unités. Les étudiants sont libres de la méthode d’étude . On espère qu’ils ”mélangent” réflexion et calculatrice pour mener à bien cette étude et c’est le cas ! Les changements de signe de la dérivée ont lieu pour de très hautes ou de très basses températures. L’étude de la fonction dérivée comportant des coefficients de l’ordre de 10^{−6}, 10^{−8} n’est pas simple Le sommet de la parabole (courbe représentative de la dérivée) se situe en une température hors des fenêtres classiques des calculatrices . On va devoir compléter le graphe de la fonction en choisissant plusieurs fenêtres.

D’un autre coté, la signification du mot ”empirique” permet d’expliquer que les coefficients obtenus par un traitement de l’information ne sont pas toujours aussi simples qu’on le souhaiterait. Ainsi, si on veut avoir une idée de l’évolution de la densité en fonction de la température (points particuliers, changement de comportement ...) , il faut savoir étudier les fonctions polynômes (car , il y a ici un peu de travail supplémentaire par rapport à ”l’étude classique” du cours) comme il faut savoir utiliser une calculatrice pour faire afficher un graphe d’une telle fonction car cela nécessite aussi un peu de travail supplémentaire.

3.6 Les sinusoïdes

Ces fonctions servent en physique : au moins la connaissance des termes ”amplitude”, ”période”,”fréquence”, ”déphasage”, ... et la lecture des valeurs numériques de ces paramètres sur la courbe (comme dans le cas d’une courbe apparue sur un écran d’oscilloscope) peuvent être utiles en TP de physique.

Il était classique de faire revoir ces termes et d’entrainer les étudiants à lire directement sur la courbe à partir de courbes obtenues sur un écran d’oscilloscope justement. Mais cette présentation des sinusoïdes , bien qu’appliquée et bien que simplifiée (pas de calcul de dérivées , pas de problème avec le domaine de définition...) restreint l’utilité de ces courbes à la physique, et n’ouvre pas le champs d’activités sur ces courbes et fonctions et conduit à des exercices types, de routine. on introduit les modélisations qu’elles permettent dans certains cas en biologie :

Le premier exercice permet de faire la lecture des coefficients sur une courbe donnée :

3.6.1

Nous nous interressons aux mouvements des ailes d’un insecte. Les oiseaux et les insectes sont capables de voler grâce à un procédé compliqué de battements d’ailes. Le graphe suivant représente les oscillations des ailes d’un criquet en vol : Le long de l’axe vertical est mesuré l’angle entre l’aile et l’horizontal, et le long de l’axe horizontal est mesuré le temps en centièmes de seconde. Nous reconnaissons un mouvement oscillant. On remarquera que les deux courbes ne sont pas parfaitement symétriques et que la courbe pour les ailes de derrière est ”en retard ” sur la courbe pour les ailes de devant.

Nous allons modéliser ces mouvements en utilisant les fonctions trigonométriques de base même si un sinus ou un cosinus ne correspond pas exactement à ces courbes. Le fait qu’une fonction mathématique ne décrive pas exactement la réalité arrive souvent en modélisation mais comme il y a beaucoup de caractéristiques de la fonction sinus ou cosinus , on vous demande de les utiliser comme modèles en précisant les paramètres.

Cet exercice présente l’avantage de faire comprendre que la fonction ne colle pas exactement aux données réelles mais permet de décrire ”pas trop mal” le phénomène. Cet exercice est un travail sur un graphe .

3.6.2 Températures

1. Tracer le graphe de la fonction t ↦ max(0, (a + sin(bt))) L’unité de temps est l’heure. Déterminer a et b pour que la courbe représente approximativement l’éclairement à l’équateur, à Nice en été et en hiver , à Oslo en été.

2. La température moyenne mensuelle à Marseille atteint un maximum en Août autour de 72 degré Farenheit et a son minimum en Fevrier autour de 45 degré Farenheit. En supposant que la variation de température est à peu près sinusoïdale , utiliser ce modèle pour prédire la température moyenne en Juin et en Novembre.

Ces questions permettent de présenter deux situations classiques pouvant se modéliser par des fonctions trigonométriques et permettent de discuter avec les étudiants les raisons d’un tel choix. Ici, les paramètres sont déterminés grâce à des valeurs numériques mesurées expérimentalement et non lues sur des courbes.

3.6.3

L’acte de respirer est cyclique et une respiration complète , depuis le début de l’inhalation jusqu’à la fin de l’expiration, dure environ 5s . Le débit de l’air qui entre dans les poumons ne dépasse pas 0, 5L/s.

1. Utiliser une fonction sinus pour modéliser le débit de l’air qui entre ou qui sort des poumons.

2. Représenter le graphe de la fonction modèle obtenue à la question précédente. Déterminez une expression du volume de l’air inhalé par les poumons au moment t = 2s, t = 3s.

3.6.4 Chronobiologie

3.6.5 Taches solaires : Examen Février 2001

Le nombre de taches solaires varie dans le temps selon un cycle solaire plus ou moins régulier qui se répète tous les 11 ans. On se propose d’utiliser un modèle de la forme :

n(t) = n_{0} + asin(ωt + δ) où t est donné en années.

1. On a représenté ci-dessous le cycle autour de 1750. L’origine a été choisie en 1744, date à laquelle un minimum de n s’est produit. Déterminer graphiquement des valeurs de n_{0}, a, ω, δ en précisant le maximum et le minimum de la fonction.

2. Calculer à l’aide cette formule une estimation de n en 1752 puis en 1756 et en 1758.

3. Dans le cycle qui s’est produit autour de 1950, le maximum était de 150 en 1948 et le minimum suivant du cycle était de 20 environ. On prendra cette fois l’origine en 1948 . Déterminer les valeurs de n_{0} , de a et de δ pour ce cycle et estimer la valeur de n en 1951.

Cet exercice est du même type que le précédent mais cette fois une parfaite connaissance des termes et leur interprétation sur la courbe est demandée.

3.6.6 La couleur du crabe violoniste

La couleur du crabe violoniste suit deux rythmes biologiques : l’activité chromatophore qui s’étend sur 24 h et un cycle dû aux marées qui a une période de 24,8 h. La couleur du crabe fonce durant les heures de la journée et plus encore aux marées basses. On suppose que les variations de l’activité chromatophore sont modélisées par l’expression : E_{s} = a sin(2πt − \frac{π}{2} ) où a est une constante positive et t est le temps mesuré en jour (solaire). L’effet E_{t} dû aux marées est modélisé par l’expression : E_{t} = b sin(1.93548πt − 0.14516π), b positif.

1. Donner le déphasage dans la loi de E_{s} . Même question pour E_{t}.

2. Montrer que les effets de l’activité chromatophore sont maximum à midi chaque jour.

3. Montrer que les effets de l’activité E_{t} sont maximum pour le premier jour à 8h du matin.

4. A quelle heure E_{t} atteint son maximum durant le deuxième jour, puis durant le troisième jour ?

5. Quel jour et à quelle heure la couleur du crabe sera -t-elle la plus foncée ?

Cet exercice demande l’utilisation de propriétés différentes des fonctions trigonométriques, plus précisemment, il s’appuie sur une bonne connaissance des points pour lesquels les extrêmas sont atteints .

3.7 Questions de gain : droites, paraboles et hyperboles

En étudiant le comportement de certains animaux , il apparaît que l’animal recherche un équilibre entre le ”gain” (alimentaire , ou autre...) théorique et la perte en énergie qui est liée à l’obtention de ce gain .

Ainsi , très souvent pour décrire et expliquer ces phénomènes, des courbes représentant cette situation servent de support et on voit souvent utiliser des droites, des paraboles ou des hyperboles.

3.7.1 Des orignaux et des droites

Les orignaux vivent sur les rives du lac Supérieur au Michigan. Leur nourriture se compose durant l’été en partie de plantes terrestres et en partie de plantes aquatiques. Ces dernières sont riches en sodium mais pauvres en énergie tandis que les plantes terrestres sont riches en énergie mais pauvres en sodium, or les orignaux ont besoin de sodium et d’énergie. Un adulte pèse environ 360 kg et un mâle de cette taille peut consommer au maximum 32 kg de végétation par jour.

1. Il a besoin de 1,9g de sodium par jour.

La végétation terrestre n’apporte qu’une quantité négligeable de sodium. La végétation aquatique contient, elle, environ 0, 15 g de sodium par kg. Combien de nourriture aquatique l’orignal doit-il consommer au minimum pour obtenir les 1, 9 g de sodium dont il a besoin ?

2. Représentez graphiquement le domaine des valeurs possibles pour la quantité de plantes aquatiques (A) et de plantes terrestres (T) (dans un repère dans lequel A figure en abscisse et T en ordonnée).

3. Pour prédire le régime optimal , il faut optimiser la quantité d’énergie sachant que 1kg de plantes aquatiques fournit 810 kJ et 1kg de plantes terrestres fournit quatre fois plus d’énergie .Optimiser graphiquement la quantité d’énergie dans les conditions décrites. (C’est à dire préciser à quelles quantités de plantes aquatiques et de plantes terrestres correspondraient le régime optimal).

4. Ses besoins en énergie sont de l’ordre de 4, 6 × 10^{4}kJ par jour.

L’orignal est-il en mesure de combler ses besoins ? A partir de données recueillies sur le terrain , on a démontré que le régime alimentaire observé chez l’orignal correspondrait presque exactement au régime optimal prévu. L’orignal cherche à maximiser son apport quotidien d’énergie.

3.7.2 Fonction x ↦ \frac{1}{x} : Etude d’une algue

Globalement, la sélection naturelle a permis de mettre en place deux grands types d’espèces. D’une part, les stratèges de type ”r” qui ont une prolificité et une productivité très fortes. Leur spectre alimentaire est large et leur métabolisme est actif. Leur mortalité est élevée . D’autre part, on trouve les stratèges ”K” qui sont bien adaptés à des conditions précises du milieu.Ils ont une productivité et une prolificité faibles Leur espérance de vie est longue. Nous vous proposons d’essayer d’expliquer pourquoi les stratèges ”r” sont de petites tailles : On considère une algue unicellulaire de forme sphérique de rayon r. Sa zone d’échange avec le milieu , pour la photosynthèse, la respiration ,...est la membrane cellulaire.

1. Donner les formules du volume (V) et de la surface (S) de cette algue.

2. Pour une même forme, étudier le rapport S/V en fonction de r.

3. Conclure en expliquant pourquoi cette algue a intérêt à rester de petite taille.

à utiliser

3.7.3

Malheureusement, les courbes sont rarement accompagnées de données numériques.

A partir de ce principe , on peut tout de même, commencer à travailler sur ce genre de fonctions comme ce fut le cas dans l’exercice qui suit :

3.7.4 Hyperboles

Dans cette expérience, des mouches partagent un territoire (”clos”) avec des mantes religieuses. Dans une telle situation, deux processus se présentent :

– la capture et la consommation des mouches par les mantes religieuses

– la digestion des mouches par les mantes religieuses La situation peut-être représentée par la diagramme suivant :

N + P \begin{matrix}c \\ ⟶ \\ ⟵ \\ a \end{matrix} P′

où N est la densité des proies et P est la densité des prédateurs affamés. P′ est la densité des prédateurs rassasiés. On note P_{T} la densité totale de prédateurs c’est à dire P_{T} = P + P′.

1. Plus il y a de mouches et plus les mantes religiseuse capturent des mouches ! La vitesse de capture des mouches par une mante religieuse s’accroit avec la densité des mouches mais seulement jusqu’à un certain point parce que manger prend du temps et que cela impose une limite à la vitesse de capture. Représenter un graphe de la vitesse de consommation en fonction de la densité des mouches à partir de l’hypothèse précédente.

2. On suppose que la vitesse de capture est proportionnelle à la densité des prédateurs affamés et à la densité des proies d’où on pose : vitesse de capture = N.P.c où c est une constante .

La vitesse de digestion (qui est aussi la vitesse avec laquelle les mantes religieuses rassasiées redeviennent affamées) peut être donnée par l’équation : vitesse de digestion = P′.a où a est une constante.

Le système est stable quand ces deux vitesses sont égales.

Montrer que P′ = \frac{N.P_{T}}{\frac{a}{c} + N} ou encore P′ = \frac{N.P_{T}}{k + N} où k est une constante .

3. Montrer que la vitesse de capture qui est la variation de la densité des mouches due à la

prédation pendant un intervalle de temps Δt est : \frac{ΔN}{Δt} = c.P_{T} .\frac{(k.N)}{k + N} = P_{T} .\frac{(a.N)}{k + N}

4. On pose ΔN = \frac{(A.N)}{k + N} où A est une constante . Que représente la quantité : A pour ΔN ? Que vaut ΔN si N = k? Nous venons de voir la signification des constantes A et k .

5. Dans l’expérience suivante, Holling (1965) exposa dans un récipient clos une mante religieuse adulte femelle à des mouches en densités différentes. Il constata que le nombre de mouches mangées en 8 heures atteignait un ”plateau” au fur et à mesure que N s’accroissait (plus ou moins ) en accord avec l’équation trouvée en 4..

Le tableau ci-dessous donne le nombre de mouches mangées sur 8 heures en fonction de la densité de mouches. (Chaque point représente la moyenne de 3 expériences de conditions identiques).

Nombre de mouches par cm^{2} Nombre de mouches mangées
0.001  10
0.002  19
0.003  14
0.004  15.5
0.005  17.5
0.007  24
0.012  23
0.0175  26
0.03  24

Représenter le nuage de points correspondant à ces données : le nombre de mouches mangées en fonction de la densité de mouches . Déterminer graphiquement des valeurs pour A puis pour k . Etudier la fonction obtenue et tracer son graphe dans le repère précédent.

6. Justifier que pour les faibles valeurs de ΔN , on pourrait ajuster les données par la

relation : ΔN = \frac{A}{k}N. Que représente \frac{A}{k} ?

7. Pour obtenir les valeurs des constantes de façon plus standard , on vous demande d’ex-

primer \frac{1}{ΔN} en fonction de \frac{1}{N}.

De quel type est la relation entre \frac{1}{ΔN} et \frac{1}{N} ? (Quel type de graphe obtient-on si on

représente \frac{1}{ΔN} en fonction de \frac{1}{N} ?)

8. Représenter à l’aide de vos données numériques \frac{1}{ΔN} en fonction de \frac{1}{N}. Déterminer la droite des moindres carrés pour ce nuage de points et donner les valeurs de A et k et donner enfin l’équation de ΔN.

9. Etudier la fonction obtenue et tracer son graphe dans le repère déjà utilisé dans les questions précédentes.

Outre l’utilisation d’une fonction homographique, et même si seulement un ordre de grandeur des coefficients aurait suffi au biologiste pour continuer son étude , une méthode classique de transfomation d’expression est ici utilisée pour obtenir des valeurs des paramètres. Au delà de la méthode même, il faut essayer de faire passer le message que si des coefficients sont à déterminer , on ne le fait pas n’importe comment mais en essayant d’utiliser des méthodes que l’on ”gère” mais il faut compléter cette méthode par un exemple dans lequel bien sûr la méthode est défaillante faute de prise en compte des erreurs de lecture commises et que l’on ne domine pas.

3.7.5 Paraboles

La modélisation par une parabole est aussi souvent rencontrée. Ici, la modélisation par une fonction quadratique nous permet de chercher la valeur maximale d’une grandeur et de comparer cette valeur à la valeur optimale obtenue expérimentalement . Ces deux valeurs optimales sont rarement égales ; l’analyse de cette différence nous conduit à chercher si cette différence est ”raisonnable” dans notre modélisation ou à l’interpréter en vue de mieux comprendre ce qui se passe.

Les mésanges

La taille de couvée optimale chez la mésange charbonnière (Parus ater) est celle qui lui permet de maximiser sa fitness , c’est à dire le nombre de jeunes arrivés à l’âge adulte.

Pour cela , on a effectué des mesures de la taille de couvées et le taux de recapture par couvée nous donne approximativement le taux de survie. Les distributions des tailles de couvées observées et le taux de survie des jeunes en fonction de la taille des couvées sont représentées ci-dessous :

1. Le taux de survie ( ou bénéfice de la couvée ) selon le nombre d’oisillons par couvée donne une courbe qui nous fait penser à une parabole d’équation : f(x) = ax^{2} + bx + c .Que peut-on dire du signe de a?

2. A l’aide de votre calculatrice, donner l’équation d’une fonction quadratique ajustant ce nuage de points.

3. Quelle est la taille de couvée optimale donnée par cette courbe ?

4. Comparer ce résultat avec celui donné par le nombre de couvées observées en fonction du nombre d’oisillons de la couvée.

5. L’optimum théorique est estimé pour une seule couvée et pas sur la vie entière des parents et on sait qu’élever des jeunes demande un gros investissement énergétique et affecte la survie des parents. On décide de représenter ce coût (c’est à dire la mortalité des parents) en fonction de la taille de la couvée par une fonction affine : g(x) = Ax + B, A > 0 La différence f − g représente le bénéfice net. En vous aidant des représentations graphiques de f et de g , tenter d’expliquer ce qui se passe. En étudiant cette différence et en vous aidant des résultats des questions 3. et 4. , déterminer A .

L’interprétation des coefficients A et B nous permet de varier l’exercice en faisant des hypothèses sur ces grandeurs et d’aller plus loin dans la recherche de ces nombres.

3.8 Exponentielles et logarithmes

La fonction exponentielle apparaît souvent comme la réciproque de la fonction logarithme qui a été définie en utilisant la notion de primitive de la fonction x ↦ \frac{1}{x} qui n’a pas d’interprétation immédiate plus concrète que celle mathématique qui la définit. Cependant, pour reprendre une citation de ... ” la fonction exponentielle est une fonction de la nature”, et donc on peut lui donner ”vie” à partir de la modélisation d’un phénomène réel comme celui de la multiplication des cellules , plus proche de l’expérience d’un biologiste et ceci sans utiliser la fonction logarithme.

Un biologiste peut ”voir” apparaître la croissance exponentielle dans son laboratoire :

3.8.1 Les bactéries ...

1. Un biologiste relève toutes les heures le nombre de bactéries présentes dans une solution. On note N(t) le nombre de bactéries dans 1 ml présentes au tième prélèvement et le nombre de bactéries dans 1 ml au début de l’expérience est N(0) = 10.

2. (a) Il semble, en première approximation, que la quantité de bactéries double toutes les heures.

Calculer N(5).

Montrer qu’alors on peut écrire N(t) = 10 × 2^{t} pour t entier .

Mais comment calculer N(0.5) !

Notre biologiste suppose alors que l’ accroissement entre t = 0 et t = 0.5 est proportionnel à N(0) et que l’accroissement entre t = 0.5 et t = 1 est aussi proportionnel à N(0.5) et que les accroissements relatifs sont constants.Sous ces hypothèses , montrer que l’accroissement relatif est égal à \sqrt{2} − 1. Que vaut alors N(0.5) ?

Montrer de même que N(0.25) = N(0) × 2^{0.25}, puis que N(1.75) = N(0) × 2^{1.75}.

Comment peut-il estimer N(t) pour tout nombre réel t (préciser les hypothèses) ?

(b) Il étudie maintenant une population de bactéries qui double en deux heures. Montrer que pour t entier N(t) = N(0) × 2^{t/2} puis comment peut-on estimer N(t) pour t réel ?

3. (a) Notre biologiste etudie l’évolution d’une autre population de bactéries, Son calcul se fait en divisant chaque heure en n parties (égales)(n ∈ N^{∗}) et l’augmentation

relative de la population de bactéries est égale à : \frac{1}{n} , mais elle est répétée n fois dans l’heure. Qu’obtient-il pour N(1).

Montrer qu’il arrive à la formule N(t) = N(0) × (1 + \frac{1}{n})^{nt} pour t entier Expliquer comment il peut estimer N(t) pour tout nombre réel t.

(b) Compléter le tableau suivant : \begin{aligned}n & (1 + \frac{1}{n})^{n} \\ 1 \\ 5 \\ 10 \\ 100 \\ 1000 \\ 10 000 \\ & e = 2.718... \end{aligned} .

On voit apparaître le résultat : lim_{n→+∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} = e d’où N(t) = ...

3.8.2 Croissances

Il est classique de voir apparaître la fonction exponentielle lorsque l’on parle de croissance (et en particulier , bien sûr lorsqu’on parle de croissance de population).

Voici un exemple concernant les pins sylvestres (Pinus sylvestris) qui se sont multipliés il y a 9000 ans. Un biologiste du nom de Keith Bennett étudia un lac dans un bassin du Northfolk ; ce lac asséché contient une suite continue de sédiments qui peuvent être datés par la méthode du carbone 14 et dont la concentration en pollen peut être analysé .

La vitesse avec laquelle le dépôt de pollen se fait indique l’abondance des arbres qui produisent ce pollen.

La période d’étude déterminée par la datation au radiocarbone se situe il y a environ 9550 ans.

1. Soit la fonction : y(t) = 650e^{0.00932t}.

Etudier cette fonction , donner son tableau de variations et ses limites.

2. Tracer la courbe représentative de cette fonction sur le graphe de relevés donné. Que peut-on dire de la qualité de l’approximation par cette fonction de la relation entre le taux d’accumulation du pollen (grains par cm^{2} et par an) et le temps ?

3. Peut-on avoir une approximation du temps qu’il a fallu au taux de pollen pour doubler ? On peut voir que l’approximation tracée donnée par la fonction :

vitesse d’accumulation(grains / cm^{2}par an) = 650e^{0.00932×t}

traduit assez bien la croissance de la courbe et nous donne une idée du phénomène.

3.8.3 Allométrie

Ce terme regroupe plusieurs sens...

W. J. Rees en 1995 travailla sur des octopodes :En principe, le nombre d’espèces ne peut être connu exactement car souvent les limites des espèces sont mal définies ; ceci est lié à l’évolution naturelle des espèces. Le taxonomiste ^{1} a quelque fois du mal à savoir si les spécimens qu’il observe appartiennent à deux espèces différentes car il a trop peu de spécimen : les variations observées peuvent relevées de variations individuelles dans l’espèce.

1

Voici un exemple dans lequel une étude allométrique peut aider à conclure :

W. J. Rees en 1995 travailla sur des octopodes :

Il arriva que plusieurs jeune spécimens répertoriés sous le nom générique de Macrotritopus (à cause de leur troisième long bras) firent douter de leur appartenance à une seule espèce. Vingt-huit spécimen furent examinés (provenant de Méditerrannée et de l’Océan Atlantique). Ils se différentiaient par leurs dimensions relatives , notamment par le rapport de dimension entre la largeur de la tête et la longueur du manteau ventral et par le rapport des longueurs des bras entre eux et aussi par rapport à la longueur du manteau ventral. Cependant, en représentant les mesures obtenues sur sur papier log-log , Rees ne vit pas de raison de distinguer plus d’une espèce :

Ces données ne montrent pas de groupements séparés de points qui indiqueraient la présence de plusieurs espèces. Si on accepte l’hypothèse qu’il n’y a qu’une seule espèce , les graphes montrent trois points à propos des variations :

– la longueur du manteau ventral s’accroit plus vite que la largeur de la tête

– les bras s’allongent poroportionnellement plus vite que le manteau ventral

– le second bras grandit proportionnellement plus vite que le troisième

3.9 Intensité lumineuse

L’intensité lumineuse décroît dans une colonne d’eau selon la quantité de substances absorbantes et particulières qui sont présentes dans l’eau. Cet effet peut être modélisé par la loi de Beer ci-dessous :

I(z) = I_{w}e^{−ηbz}

où I(z) est l’intensité de la lumière à la profondeur z, I_{w} est l’intensité de la lumière entrant dans la colonne d’eau, et b est un facteur dépendant de la réfraction de la lumière par l’eau.

1. On suppose que η = 0, 5 et b = 5%. On prendra I_{w} = 10 kilo − footcandles. Etudiez cette fonction sur [0, +∞[ et représenter son graphe sur [0, 10].

2. On suppose maintenant que la quantité de lumière entrant par le dessus dans la colonne d’eau au cours d’une journée est représentée par la courbe suivante :

(a) Ecrire l’équation d’une fonction sinusoidale s’ajustant à cette courbe.

(b) Représenter la courbe de l’intensité lumineuse dans la colonne d’eau à une profondeur de 2m au cours de la journée.

3. L’intensité lumineuse est interressante pour son effet sur le phénomène de photosynthèse. On peut simuler la production de phytoplancton à différentes profondeurs dans un lac à l’aide de cette équation de Beer en supposant que la lumière entre perpendiculairement par rapport à la surface :

I_{z} = I_{0}e^{−ηz}

où I_{0} est l’intensité à la surface. et en utilisant l’équation de Vollenweider (1965) :

P = \frac{P_{max}I}{\sqrt{1 + (KI)^{2}}}

où P est le taux de production du phytoplancton et P_{max} est le taux maximum possible, K est la constante de saturation. Tracez la courbe de P en fonction de z en prenant I_{0} = 10 kilo − footcandles, η = 0, 69 , K = 4, P_{max} = 100 mgC/m93h. Que signifie le maximum ?

4. Mesure de la transparence : disque de Secchi De façon générale , la décroissance de l’énergie lumineuse avec la profondeur suit la loi :

E(x) = E_{0}e^{−kx}

où E(x) est l’énergie lumineuse à une profondeur x E_{0} est l’énergie lumineuse ayant franchi la surface de l’eau k est le coefficient d’extinction exprimé en m^{−1}. En écologie aquatique , il est important de déterminer la profondeur à laquelle il ne parvient plus que 1% de l’énergie lumineuse de surface. Nous noterons cette profondeur x1%. En effet, on peut définir deux zones au sein d’une colonne d’eau :

– une zone superficielle comprise entre la surface et x1% où le processus de synthèse de matière organique est dominant , c’est la zone qui génère la nourriture.

– une zone profonde allant de x1% au fond où la matière organique est lysée. On obtient une estimation fiable de x1% en utilisant le disque de Secchi : c’est un disque métallique peint en blanc, d’un diamètre de 20 cm ,fixé à une corde graduée. Le disque est lesté pour qu’il s’enfonce verticalement dans l’eau. On note x_{s} la profondeur à laquelle ce disque n’est plus visible. L’expérience montre qu’à cette profondeur, l’intensité lumineuse n’est plus que de 15 à 20% de l’énergie lumineuse de surface.

? Calculer en fonction de x_{s} une fourchette de profondeur au sein de laquelle se situe x1% et vérifier que si x_{s} = 3m alors x1% est compris entre 7, 3m et 8, 6m. ( Vous pourrez exprimer x_{s} en fonction de E_{0} et de E(x_{s}) , de même pour x1% et calculer

les rapports \frac{x1%}{x_{s}} selon les valeurs de x_{s}.)

Cet exercice est constitué autour d’un seul thème : l’énergie lumineuse.Il nous permet à la fois d’utiliser la fonction exponentielle comme modèle d’un phénomǹe de décroissance , de voir l’utilité de ce modèle en pratique avec le disque de Secchi (encore utilisé) . Ce thème nous permet de réinvestir ce que nous avons déjà vu sur les onctions trigonométriques et de voir comment l’intensité lumineuse varie selon deux paramt̀res qui sont la profondeur à laquelle on se place et l’heure à laquelle on étudie cette intensité : ceci peut permettre une introduction aux fonctions de deux variables et la question 2.(b) une introduction à la notion de plan de coupe et de trace ainsi obtenue. Enfin, une conséquence de la variation de l’intensité lumineuse sur la production du phytoplancton nous permet d’étudier une fonction composée d’une exponentielle et d’une fonction exprimée à l’aide radical , plus compliquée que la précédente permettant d’aborder des études de fonction un peu plus délicates. On peut penser qu’avec un outil informatique , on pourrait faire varier I_{0} avec l’heure de l’étude et voir comment à profondeur fixe évolue le production de phytoplancton : l’étude devenant vraiment trop difficile pour nos étudiants.

3.10

On estime qu’une espèce animale A triple en nombre d’individus tous les 3, 7 ans et qu’une autre espèce B quadruple tous les 4, 1 ans.

Si l’espèce A compte initialement 46 individus et l’espèce B en compte 24 , dessinez dans un même repère les courbes de croissance des deux espèces et estimer le temps au bout duquel les deux espèces seront égales.

Les courbes logistiques constituent le modèle classique pour la modélisation de l’évolution d’une population . Plusieurs introductions à ces courbes sont possibles (notamment, en utilisant une équation différentielle) , ce qui explique que nous retrouverons ces courbes plus loin .

3.11 Courbes Logistiques

La population de poissons dans un lac s’accroit selon la ”loi logistique” :

p(t) = \frac{10000}{1 + (\frac{10000}{N(0)} − 1)e^{− \frac{t}{5}}}

où t est donné en mois.

1. On suppose dans cette partie que le lac contient au début de l’étude 500 poissons.

(a) Donner l’expression de p dans ce cas.

(b) Précisez la taille limite de cette population de poissons.

(c) Montrer que la fonction dérivée de p(t) est :

p′(t) = \frac{38000e^{− \frac{t}{5}}}{(1 + 19e^{− \frac{t}{5}} )^{2}}

et qu’on a la relation p′(t) = \frac{1}{5}p(t)(1 − \frac{p(t)}{10000}).

On dit que p vérifie l’équation différentielle : \frac{dp}{dt} = \frac{1}{5}p(t)(1 − \frac{p(t)}{10000})

(d) Etudiez la fonction p et tracez son graphe.

Essayer d’interpréter cette courbe.

(e) A quelle vitesse cette population évolue-t-elle au bout d’un mois ? au bout de 10 mois ?

(f) Après combien de mois s’accroît-elle le plus rapidement ?

(g) Reproduisez le graphe de la fonction p′dans le repère utilisé pour tracer le graphe de p.

(h) Déterminer le point d’inflexion . Que représente ce point pour la croissance de la population de poissons ?

2. En vous aidant de l’étude faite ci-dessus , décrire et tracer le graphe de la fonction p dans les cas suivants :

(a) N(0) = 20000

(b) N(0) = 10000

(c) N(0) = 5000

(d) N(0) = 7500 (Dans les deux derniers cas, vous pourrez expliciter la translation que vous devez faire pour passer du graphe de la fonction p etudiée dans la partie 1. au graphe de la nouvelle fonction à représenter.)

3.12 loi exponentielle et coordonnées logarithmiques

3.12.1 Profondeur des océans et âge de la croûte océanique

Le tableau ci-dessous présente des valeurs moyennes de profondeur de l’océan Atlantique

et d’âge de la croûte océanique : \begin{matrix}A(Ma) & P (m) \\ 1 & 2528 \\ 10 & 3423 \\ 38 & 4567 \\ 53 & 4974 \\ 63 & 5218 \\ 72 & 5437 \\ 82 & 5489 \\ 90 & 5605 \\ 101 & 5713 \\ 109 & 5714 \\ 117 & 5751 \\ 137 & 5897 \\ 143 & 5943 \end{matrix}

1. Représenter le nuage de points (ln(A), ln(P − 2216)) .

2. Déterminer une relation entre P et A.

3.12.2 Richesse spécifique et fonctions puissances

La relation richesse spécifique / surface est une règle empirique qui s’appuie sur de nombreuses études reliant le nombre d’espèces S pour un groupe taxonomique donné et l’aire de la surface A des ”îles” (îles océaniques, lacs, sommets de montagne, clairière en forêt ...). La relation est généralement donnée par : S = CA^{z} où C est une constante et z est compris habituellement entre 0.15 et 0.35.

1. Exemple : Encadrer la variation (relative) de la richesse spécifique lors d’une diminution de superficie à 10% de l’aire originale .

2. (a) En 1972, 1973 le nombre d’espèces d’oiseaux dans les îles autour de la Nouvelle Guinée a été étudié par Jared Diamond. Les données ci-dessous (inspirées de ses résultats) donnent le nombre d’espèces (S) vivant au niveau de la mer sur des îles situées entre 8 et 500 km de la Nouvelle Guinée. Les zones varient d’un facteur de 8 × 10^{6}. Les nombres d’espèces varient entre 10 et 300.

\begin{matrix}A en km^{2} & S \\ 0.12 & 10 \\ 10 & 14 \\ 40 & 17 \\ 10^{2} & 20 \\ 10^{3} & 32 \\ 10^{4} & 70 \\ 10^{6} & 220 \end{matrix}

A l’aide d’un graphe dans un repère en coordonnées Log-Log , déterminer les constantes C et z de cet exemple.

(b) Dans quelle proportion la richesse spécifique s’accroit-elle lors d’un accroissement d’un facteur 10 de la zone ?

On désire maintenant utiliser cette équation pour étudier la réduction de la richesse spécifique entraînée par la déforestation et autres processus similaires qui diminuent la superficie des milieux naturels.

3. On note DA la réduction relative de superficie (exprimée en fraction ou % : \frac{ΔA}{A}). On suppose DA ”très petite” , justifier que la réduction relative correspondante de la richesse

spécifique DS est : DS ≃ zDA (On se rappellera que lim_{ΔA→0} \frac{ΔS}{ΔA} = \frac{dS}{dA} et que A diminue ici.) On peut alors estimer la perte d’espèces résultant de taux annuels particuliers de déforestation.

4. Que signifie DA = −1 ?

5. Si on admet que z est à peu près égal à 0.25 et si les taux actuels de déforestation tropicale varient de 0.8% à 2% par an, donner une fourchette approximative du taux d’extinction annuel.

6. On suppose que le nombre d’espèces représentées dans le groupe considéré est égal à 5 millions d’espèces. En utilisant les résultats de 5., estimer le nombre d’espèces disparues par an, puis la moyenne par heure ! Ce type d’extrapolation pose des problèmes. On ne sait pas dans quelle mesure les effets de la fragmentation du milieu, sous les tropiques, peuvent être déduits d’une relation : aire/espèces issue de la biogéographie insulaire. Au cours de ces deux derniers siècles, on a seulement observé l’extinction de trois espèces d’oiseaux forestiers dans l’est des Etats Unis tandis que les forêts y avaient été réduites à seulement 1 à 2% de leur superficie d’origine.

Des exercices utilisant les coordonnées semi-logarithmiques se recontrent souvent lors d’étude de population (épidémie,... voir les sujets d’interrogation ). Les exercices utilisant les coordonnées log-log sont un peu plus rares, L’étude de la richesse spécifique présente l’avantage d’avoir des données numériques qui nous permettent d’évaluer dans un cas les paramètres d’une loi exponentielle . La suite de l’exercice est plus difficile mais la conclusion étant “impressionante” , nos étudiants ont souvent repris les calculs seuls pour les vérifier et nous demander si les données numériques étaient vraies.

Les suites

Le chapitre des suites est un chapitre délicat. Les premiers exercices simples utilisant des suites géométriques ont souvent permis d’introduire les rappels concernant ce type de suites et les exercices 2. et 3. ont souvent créé de l’animation dans les séances de tds : les és ne sont pas simples et les étudiants s’expliquaient entre eux ce qui se passait pour les populations en question. Quelques exercices se ramenant à l’étude de suites définies par recurrence suivent. Ces suites apparaissent beaucoup lors d’étude en génétique. Les fonctions définissant la suite sont ou bien des fonctions affines ou bien des fonctions homographiques ou bien la fonction exponentielle : c’est à dire des fonctions simples qui ont été déjà beaucoup étudiées dans d’autres domaines.

4.1 L’œuf de Xenopus laevis

Un œuf fécondé de la grenouille Xenopus laevis est une cellule simple d’environ 1 mm de diamètre. Lors de la première scission , cette cellule se divise en deux puis ces nouvelles cellules se divisent en quatre et ainsi de suite. Les cellules se divisent de façon synchrone pendant les 12 premières scissions. Après, la simultanéité est perdue.

1. Un tétard peut contenir environ un million de cellules . Combien de cellules trouve t-on dans l’embryon après les douze premières scissions ?

2. Au bout de combien de scissions a-t-on un million de cellules ?

4.2 En voie d’extinction

La population d’une espèce de mammifères diminue tous les ans de 1%.

On notera u_{0} le nombre actuel d’individus dans la population de mammifères en question.

1. Calculer le pourcentage de diminution de cette population en 5 ans.

2. Dans quel délai cette espèce sera t-elle décimée ? ( c’est à dire qu’il reste moins d’un dixième de la population).

4.3 Population à deux stades d’évolution

On étudie une population qui a deux stades dans son évolution : enfant et adulte. Chaque année est supposée se diviser en deux saisons : l’hiver et l’été. Au début de l’année n, cette population est composée de E_{n−1} enfants et de A_{n−1} adultes. Pendant l’hiver, un sixième des enfants deviennent adultes (les autres périssent) et les deux tiers des adultes survivent. Pendant l’été, chaque adulte donne naissance à quatre enfants. Soit E_{n} et A_{n} les nombres d’enfants et d’adultes au début de l’année n + 1.

1. Reproduisez le schéma suivant :

hiver  été  hiver
E_{n−1}  E  E_{n}
A_{n−1}  A  A_{n}
année n  année n + 1

2. Ecrire une relation entre E_{n−1} et A_{n−1}.

3. E et A représentent respectivement le nombre d’enfants et le nombre d’adultes à la fin de l’hiver de l’année n. Que valent E et A? (en fonction de E_{n−1} et de A_{n−1} ?)

4. Exprimer E_{n} en fonction de A_{n−1}. Prouver que A_{n} = \frac{4}{3}A_{n−1}

5. A_{0} = 1000 .Déterminer A_{n} en fonction de n.

6. Déterminer E_{n} en fonction de n.

7. La population globale est-elle en augmentation ? La suite (A_{n} +E_{n}) est-elle convergente ? L’ exercice suivant essaie de nous faire prendre du recul pour ne pas tirer de

conclusions “hâtives” grâce aux mathématiques concernant ces populations de bactéries.

4.4 Les bactéries

1. On considère deux populations de bactéries en culture dans des cuvettes et on compte ces populations tous les jours . Soit x(n) l’effectif d’une population n jours après le début de l’expérience. x(0) est dans chaque cas l’effectif de la population initiale, x(1) celui au bout d’un jour , etc...et pour chaque population , x(0) = 10^{6}.

– Cas 1 : La probabilité de reproduction durant une période de un jour est de 0,05 (c’est à dire 5 bactéries sur 100 se reproduisent en un jour ) La probabilité que n’importe quelle bactérie meure durant cette période est de 0,049 (c’est à dire 49 bactéries sur 1000 meurent en un jour).. Calculer l ’excès des naissances sur les morts et donner la valeur du terme relatif d’accroissement pendant le nième jour : \frac{x(n+1)−x(n)}{x(n)} . Ecrire la loi de x_{n+1} en fonction de x_{n} puis la loi de x_{n} en fonction de n et de x_{0} .

– Cas 2 : Mêmes questions si la probabilité de reproduction durant une période de un jour est de 0,049 et la probabilité que n’importe quelle bactérie meure durant cette période est de 0,05 .

– Quelle est la nature de la suite (x_{n})_{n} dans chacun des cas précédents ? et preciser la raison et le premier terme dans chaque cas.

– Calculer la limite de la suite (x_{n})_{n} dans chacun des cas.

2. (a) Déduire une valeur de n telle que x_{n} > 2x_{0} dans le cas 1 précédent.

Qu’en déduisez-vous pour la culture de cette population de bactéries ?

(b) Reprenez la question précédente dans le cas où x_{n} = (1 + 10^{−6})^{n}x_{0}.

Cet exercice montre qu’il ne faut pas se laisser abuser par : lim_{n→+∞} x_{n} = +∞ Si théoriquement, la suite peut dépasser tout nombre choisi , pourvu que n soit assez grand, il se peut que pratiquement ce n soit beaucoup trop grand pour être réalisable effectivement.

De même , le deuxième exercice avec le même argument permet de comprendre qu’un modèle n’est pas valide.

4.5 Validité d’un modèle mathématique pour étudier l’évolution d’une population

Soit la suite (P_{n})_{n} définie par récurrence par : P_{n+1} = aP_{n} + b (a > 0, b > 0)

1. Calculer l’éventuelle limite de cette suite : l pour a ≠ 1.

2. Exprimer P_{n+1} − l en fonction de P_{n} − l.

3. Quelle est la nature de la suite (P_{n+1} − l)_{n}?

4. Donner la limite de (P_{n})_{n}.

5. Application On considère une population dont le polymorphisme (qu’est-ce que le polymorphisme ?) est dû à un couple d’allèles autosomal A_{1} − A_{2} de fréquences respectives p_{n} et q_{n} à une génération n. On suppose que la population est illimitée c’est à dire que le nombre de zygotes formés à la génération (n + 1) est grand et que la population n’est soumise à aucune sélection. On remarque que p_{n} + q_{n} = 1.

(a) Exprimer p_{n} et q_{n} à l’aide de p_{0} et de q_{0} dans le cas où A_{1} et A_{2} sont incapables de muter.

(b) Montrer que : p_{n} = (1 − u_{1,2})p_{n−1} + q_{n−1}u_{2,1} dans le cas où A_{1} peut muter vers A_{2} avec un taux de mutation de u_{1,2} et où A_{2} peut muter vers A_{1} avec un taux de mutation de u_{2,1} (On prendra : u_{1,2} = 10^{−4} et u_{2,1} = 3.10^{−4})

(c) Exprimer p_{n} à l’aide de p_{n−1} et de u_{1,2} et de u_{2,1}.

(d) Quelle est la limite de (p_{n})_{n}? (Utilisez la question 4.)

(e) Donner la signification de cette position d’équilibre.

(f) On suppose que p_{0} = 0 . Combien de générations faut-il attendre pour voir diminuer de moitié l’écart entre la fréquence de A_{1} et sa valeur d’équilibre 0,75 ?

(g) Pensez-vous qu’une population réelle peut rester fermer pendant des centaines ou des millions d’années ? Que pensez-vous d’un tel modèle ?

4.6 Un problème de sélection génétique

La couleur du pelage des souris dépend d’un gène. Le caractère dominant de ce gène est le gris, noté G. Le caractère récessif est le blanc, noté B. Les combinaisons des gènes {G,G} et {G,B} donnent des souris grises. La combinaison {B,B} donne les souris blanches. On cherche à sélectionner les souris grises {G,G} à partir d’une population de départ P_{0}. On écarte les souris blanches (il reste donc les souris {G,G} et {G,B}). On les laisse se reproduire et on note P_{1} la population des enfants et on recommence le procédé avec P_{1}...

reproduction reproduction

P_{0} ⟶ G_{0} ⟶ P_{1} ⟶ G_{1} ⟶ ...
B_{0} B_{1}

On note u_{n} la proportion de souris {G,G} dans la population de souris grises de P_{n} :

u_{n} = \frac{nombre de souris\{G, G\}_{n}}{nombre de souris de G_{n}}

1. Dans cette première partie , nous allons trouver l’expression de la suite (u_{n})_{n}.

(a) Si la proportion de mâles est égale par exemple à la proportion de femelles (et vaut \frac{1}{2}), montrer que dans la population G_{n}, la proportion de tous les couples {G,G} possibles est : u_{n}^{2}, la proportion de tous les couples {G,B} possibles est : (1 − u_{n})^{2}, la proportion de tous les couples possibles formés d’une souris {G,G} et d’une souris {G,B} est : 2u_{n}(1 − u_{n}).

(b) On suppose que : Tous les couples possibles donnent naissance à une souris . Tous les enfants survivent. Les couples de souris {G,G} donnent naissance à des souris {G,G}. Les couples de souris \{G,B\} donnent naissance à des souris \{G,G\} en proportion :\frac{1}{4}, à des souris \{G,B\} en proportion \frac{1}{2}, et à des souris \{B,B\} en proportion \frac{1}{4}. Les couples de souris ({G,G} {G,B}) donnent naissance à des souris {G,G} en pro-

portion \frac{1}{2} et à des souris \{G,B\} en proportion \frac{1}{2}. Montrer que : nombre de souris\{G, G\}_{n+1} = \frac{u_{n}^{2} + 2u_{n} + 1}{4}G_{n}

et que nombre de souris\{G, B\}_{n+1} = \frac{−2u_{n}^{2} + 2}{4}G_{n}

(c) Montrer que u_{n+1} = \frac{1 + u_{n}}{3 − u_{n}} (en remarquant que 3 + 2u_{n} − u_{n}^{2} = (3 − u_{n})(1 + u_{n}))

2. Dans cette deuxième partie, on peut admettre que sous certaines conditions la suite (u_{n})_{n}

est une suite récurrente définie de la façon suivante : u_{n+1} = \frac{1 + u_{n}}{3 − u_{n}}.

(a) On suppose qu’au début, il y a un quart de souris {G,G}, la moitié de souris {G,B},

et un quart de souris \{B,B\}. Montrez que u_{0} = \frac{1}{3}

(b) La suite (u_{n})_{n} est désormais définie par u_{n+1} = f(u_{n}) où f(x) = \frac{1 + x}{3 − x} et u_{0} = \frac{1}{3}.

Tracez la suite (u_{n})_{n} .

(c) Calculer l’éventuelle (ou les éventuelles) limite(s) de cette suite.

(d) Montrer que la suite (u_{n})_{n} est croissante puis qu’elle est convergente.

(e) Interpréter ce résultat biologiquement.

(f) Appliquez à la suite (u_{n})_{n} le critère vu en cours pour la convergence des suites récurrentes.Conclusion ?

La deuxième partie de cet exercice se retrouve dans la partie “interrogations et examens” car elle a servi pour l’ examen de Fevrier 1999

4.7 Extraits de l’examen de Septembre 1999

Dans une population isolée, on considère un gène ^{1} d’allèles ^{2}(A, a). Le terme x_{n} désigne la fréquence des allèles recessifs ”a” à la n^{ième} génération. On suppose que la probabilité qu’un gène A se tranforme par mutation en un gène ”a” est p (0 < p ≤ 1) et que les individus ayant le génotype aa ne peuvent pas se développer.

On trouve alors : x_{n+1} = \frac{p + x_{n}}{1 + x_{n}} avec x_{0} > 0. On pose x_{n+1} = f(x_{n}) où f(x) = \frac{p + x}{1 + x}.

1. (a) Etudier la fonction f (Séparer le cas où p = 1). Tracer son graphe.

Calculer l’éventuelle limite l de la suite (x_{n})_{n}.

Représenter et décrire les comportements possibles de la suite (x_{n})_{n} (pour 0 < p < 1), en particulier lorsque n tend vers +∞.

(b) A l’aide du critère du cours sur les suites récurrentes , justifier la convergence de

(x_{n})_{n} en +∞.

2. Dans cette deuxième partie , nous nous plaçons dans la cas où x_{0} > \sqrt{p}.

(a) Montrer que la suite (x_{n})_{n} est strictement décroissante (Vous pourrez montrer que x_{1} − x_{0} est négatif puis , par exemple, montrer par récurrence que x_{n+1} − x_{n} est négatif en utilisant la croissance de f).

(b) Montrer que lim_{n→+∞} x_{n} = \sqrt{p} pour tout x_{0} > \sqrt{p}

(c) Montrer que pour tout x_{0} > \sqrt{p} ,x_{n} > \sqrt{p} pour tout entier n.

3. Cette suite modélise une maladie génétique mortelle : la ”Galactosaemia”. Celle-ci est causée par un allèle recessif ”a” ou lorsque l’allèle dominant A mute vers a avec une probabilité p.

(a) Sachant que la fréquence des homozygotes aa est x(n)^{2}, donnez une approximation de cette fréquence à l’aide de l .

(b) On observe que la fréquence de la Galactosaemia dans la population en général est de 5, 6 × 10^{−5}. Quelle valeur approchée de p peut-on prendre ?

4.8 Consanguinité

Un sujet est en situation de consanguinité si pour un locus donné, il possède deux allèles identiques, par copie d’un seul et même gène ancêtre

Le coefficient de consanguinité d’un individu est la probabilité pour que les deux gènes allèles, à un locus donné soient identiques par descendance. Cela suppose un ancêtre commun aux parents de l’individu étudié.

On se place dans le cas où l’effectif N d’une population est maintenu constant et où N est grand (N >> 1000).. On note F_{n} le coefficient de consanguinité de la population à la n^{ième} génération.

1. Combien d’ancêtres distincts, un individu quelconque de la n^{ième} génération a-t-il , au plus, dans la génération initiale, d’après les hypothèses ?

1gène : fragment d’ADN porteur et transmetteur des caractères héréditaires.

2allèle : caractère héréditaire (qui s’oppose à un autre).

(a) Calculer le nombre d’ancêtres dans la génération initiale pour un individu de cette n^{ième} génération ?

(b) Comment évolue le risque de consanguinité au cours des générations ?

2. On suppose qu’à chaque génération les individus sont obtenus par tirage au sort de deux gamètes dans un réservoir commun auquel contribuent également les N parents. ^{3} On peut montrer qu’alors , la suite (F_{n})_{n} vérifie la relation F_{n} = \frac{1}{2N} + (1 − \frac{1}{2N})F_{n−1} en posant F_{0} = 0.

(a) Quelle est la probabilité pour que les deux gamètes portent chacun la copie d’un même gène présent chez un parent (auquel cas les gènes portés par ces gamètes sont certainenement identiques pour le locus considéré) ?

(Réponse : \frac{1}{2N})

(b) Quelle est la probabilité pour que les gamètes contiennent des gènes d’origine distincte chez les parents ? Avec quelle probabilité sont-ils identiques ? (Réponse : (1 − \frac{1}{2N})F_{n−1})

(c) Montrer que la probabilité totale d’identité est : F_{n} = \frac{1}{2N} + (1 − \frac{1}{2N})F_{n−1}.

(d) Calculer l’eventuelle limite de cette suite.

Montrer que F_{n} − 1 = (1 − \frac{1}{2N})(F_{n−1} − 1). Montrer ensuite en posant F_{0} = 0, que F_{n} = 1 − (1 − \frac{1}{2N})^{n}.

(e) Retrouver la conclusion de la partie 1.

3. (a) Justifier que pour N suffisamment grand,

(1 − \frac{1}{2N})^{n} ≃ e^{− \frac{n}{2N}} .

(b) Justifier ensuite que si n est petit, on peut avoir l’approximation : F_{n} ≃ \frac{n}{2N} (ap-

proximation valable donc sur les premières générations).

4. (a) Si les gènes ont une probabilité u de muter en l’espace d’une génération, quelle est la probabilité de l’identité de deux gènes ? Justifier que la probabilité totale d’identité est :

F_{n} = (\frac{1}{2N} + (1 − \frac{1}{2N})F_{n−1}) × (1 − u)^{2}

(b) Calculer l’énventuelle limite de cette suite. Calculer cette limite pour N = 10^{4} et

u = 10^{−5}. Que peut-on dire si Nu est négligeable avec u petit.

(c) Etudier la convergence de cette suite dans le cas où N = 10^{4} et u = 10^{−5}.

3Cette hypothèse implique la possibilité de tirer au sort 2 gamètes fournis par le même individu et suppose une certaine probabilité d’autofécondation.

4.9 Examen de Septembre 2001

Nous nous interessons ici à un cas particulier de mutation des gènes. Nous supposons que le gène muté, supposé sans aucun avantage ni désavantage sélectif, est transmis à la génération suivante selon une certaine loi de probabilité. On note v_{n} la probabilité de disparition du gène à la génération n. Alors v_{n} est liée à v_{n−1} par la relation

v_{n} = e^{((v_{n−1})−1)}

avec v_{1} = e^{−1}.

1. Etudier rapidement la fonction f définie par f(x) = e^{x−1} . Que vaut f′(1) ? Représenter avec soin son graphe sur [0, 2] ainsi que la droite d’équation y = x. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (v_{n})_{n} en vous aidant du graphe de f. (Remarquer que : f(v_{n−1}) = v_{n}).

2. Vérifier que 1 est une limite éventuelle de cette suite récurrente. Etudier la fonction g(x) = e^{(x−1)} − x (dérivée, tableau de variations), et conclure que la suite n’admet qu’une seule limite éventuelle.

3. S’il y a convergence vers 1, que peut-on conclure à propos de ce gène ?

4. Que peut-on dire quant à la convergence de cette suite à l’aide du critère du cours ?

5. (**)

Montrer que la suite (v_{n})_{n} est croissante, puis qu’elle est majorée par 1. Conclure.

Ce genre de suite définie par recurrence et dont la fonction définissant le terme général est une fonction affine peut également se rencontrer dans des modèles nous permettant de prévoir les effets d’une exploitation sans réflexion de ressources naturelles ; l’extrait du sujet de l’examen de Septembre 2000 qui suit nous en donne un aperçu

4.10 Examen de Septembre 2000

Dans une forêt, on récupère 3 000m^{3} de bois au début de chaque année. Le bois restant augmente de 3% durant le reste de l’année. On note u_{n} la quantité de bois disponible en m^{3} à la fin de la nième année et u_{0} la quantité de bois disponible en m^{3} au début de l’exploitation. On suppose que u_{0} = 100 000.

1. Montrer que pour n ≥ 1, u_{n} = 1, 03.u_{n−1} − 3 090.

2. Vérifier que l’éventuelle limite de cette suite est l = 103 000.

3. Etudier la convergence de cette suite en utilisant le critère du cours sur les suites définies par récurrence.

4. Montrer que la suite est décroissante.

5. Montrer que (u_{n} − 103 000) = 1, 03.(u_{n−1} − 103 000).

En déduire que (u_{n} − 103 000) = 1, 03^{n}.(u_{0} − 103 000) et que u_{n} = −3 000.(1, 03)^{n} + 103 000.

6. D’après le texte, quelle est la condition qui conduira l’exploitation à cesser ses activités ? Au bout de combien de temps l’exploitation devra-t-elle s’arrêter ?

Les systèmes de suites définies par recurrence ne sont représentés que par un seul exercice mais c’est un thème a developper.

4.11 Deux populations :Proies et Prédateurs

On trouve dans une population des proies et des prédateurs . Les prédateurs ne se nourrissent pas exclusivement de ces proies. On note respectivement v_{k} et p_{k} le nombre de victimes et le nombre de prédateurs à la

génération k. On suppose que (v_{k}) et (p_{k}) vérifient les relations suivantes : \{ \begin{matrix}v_{k+1} & = & 4v_{k} − 200p_{k} \\ p_{k+1} & = & 0.01v_{k} + p_{k} \end{matrix}

1. Explicitez ces relations , décrivez l’évolution des populations d’une génération à l’autre.

2. On pose (X_{k})_{k} la suite de terme général défini par : X_{k} = −v_{k} + 200p_{k}.

Montrer que (X_{k})_{k} est une suite géométrique de raison 2.

On pose (Y_{k})_{k} la suite de terme général défini par : Y_{k} = v_{k} − 100p_{k}. Montrer que (Y_{k})_{k} est une suite géométrique dont on précisera la raison.

3. On suppose que v_{0} = 100 , v_{1} = 200. Montrer que (v_{k})_{k} est une suite géométrique de raison 2. En déduire la nature de la suite de (p_{k})_{k} . Conclure quant à l’évolution de ces deux populations. (Les prédateurs déciment-ils les proies ? Pourquoi ?)

Les équations différentielles

Ce chapitre aborde un autre thème délicat par la difficulté que présente le fait que l’inconnue dans une équation différentielle est une fonction et que la relation donnée comporte une (ou des) dérivée(s). L’introduction de la méthode d’Euler pour les équations du premier ordre peut aider à faire comprendre ce que l’on cherche dans une telle équation et utilise justement cette dérivée. Cette démarche fut souvent choisie dans la présentation du cours mais ce n’est pas celle choisie ci-dessous. Nous avons essentiellement travaillé sur les équations différentielles linéaires du premier ordre et les équations différentielles du premier ordre à variables séparées. Les exercices présentés demandent de savoir reconnaître le type d’équation donné et leur résolution comme dans les exercices 5.1 et 5.4 tout en leur demandant d’expliciter les différents termes de l’équation (exercices 5.4 et 5.2). Les exercices 5.3, 5.4 (au début) et l’exercice 5.5 demandent d’écrire une équation différentielle traduisant le phénomène décrit ; ceci concerne des équations différentielles du premier ordre homogènes . Au travers de ces différents exercices, nous pouvons leur faire sentir qu’il est quelque fois plus facile d’écrire une équation différentielle modélisant le phénomène que d’écrire directement une fonction de modélisation ; d’autre part , l’équation comme dans les exercices 5.4 et 5.4 peuvent se modifier facilement pour décrire une modification de l’expérience ou du phénomène alors que la modification de la fonction de modélisation selon les cas n’est pas aussi facile. Les exercices 5.9 et 5.10 concernant la méthode d’Euler proposent de travailler sur des équations différentielles du premier ordre à variables séparées que nous étudiants ne savent en principe pas résoudre tout seul ne sachant pas décomposer les fractions rationnelles en éléments simples. Les équations du second ordre ) sont à peine abordées mais fournissent des sujets de travail riches et sont .evelopper(ainsi que les systèmes du premier ordre .

5.1

En augmentant l’énergie du bruit, on obtient un son plus fort. Mais quelle est la relation quantitative entre la force d’un stimulus sensoriel et l’intensité perçue ? La relation est souvent logarithmique : sensation ∝ Log(force du stimulus)

On note ψ l’intensité subjective d’une sensation (ou ” sensory magnitude”) et I l’intensité du stimulus . L’intensité I est mesurée par la puissance acoustique ayant pour unité le Watt par cm^{2}.

On propose classiquement la relation :

dψ = K \frac{dI}{I}

où K est une constante. (C’est l’équation de Fechner).

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Déterminer la solution sachant que I_{0} est le seuil d’intensité minimale détectable (au delà de I_{0}, on perçoit une intensité).

Ce rapport étant très grand, on préfère en prendre le logarithme décimal et l’unité est le Bel.Pour les différents sons audibles par l’oreille humaine, les rapports peuvent varier

dans un rapport \frac{I}{I_{0}} = 10^{12}.

Ce rapport étant très grand, on préfère en prendre le logarithme décimal et l’unité est le Bel.

3. Montrer que ψ = 2.30KLog(\frac{I}{I_{0}} ). Pour un seuil donné, la magnitude subjective s’accroît comme le log de l’intensité du stimulus.//

Cependant, le décibel représentant le dixième du Bel est d’emploi plus fréquent, d’où on préfère la relation :

ψ(I) = 10 Log_{10}(\frac{I}{I_{0}} ).

1. Déterminer I_{0} sachant que l’intensité ψ pour un murmure est de 20 db et que I est alors de 10^{−14} Watts par cm^{2}. (le tout pour des sons de fréquence de 1000Hz).

2. Calculer ψ pour les valeurs suivantes de I :

I = 10^{−9}W atts/cm^{2} (correspondant à une rue de grande circulation) I = 10^{−6,5}W atts/cm^{2} (motocyclette)

3. La loi de Fechner n’est pas valable pour des valeurs trop grandes de I. Le seuil de douleur est en gros de 120 db (au-delà , il est impossible d’évaluer l’intensité physiologique). Déterminer I.

4. Avec une installation spéciale, le niveau de bruit dans un auditorium est réduit de 93 à 80 db. Quel est le pourcentage de décroissance du niveau de bruit résultant de cette installation pour les bruits des questions 1-2-3 ?

La sensibilité du système auditif humain est limité aux basses fréquences vers : 70 db vers 30 Hz. Les sons de basse fréquence (infrasons) accompagnent certains phénomènes naturels comme le vent, les orages et les tremblements de terre. Certains animaux ont une sensibilité accrue aux infrasons et cela pourrait expliquer le comportement de certains animaux avant certaines catastrophes naturelles génératrices de sons inaudibles pour l’homme, mais pouvant être perçus par eux.

5.2

Des nutriments entrent dans une cellule à la vitesse constante de R molécules par unité de temps et en sortent proportionnellement à la concentration : Si N est la concentration à l’instant t, le processus ci-dessus peut s’exprimer par l’équation :

\frac{dN}{dt} = R − KN

1. De quel type d’équation différentielle s’agit-il ?

2. Y a -t-il une solution stationnaire ?

3. Résoudre (E) et donner l’allure des graphes des solution de (E).

4. Que vaut N(0) ?

5. La concentration tend-elle vers un équilibre ? Est-il stable ?

5.3 Carbone 14 (suite...)

On rappelle que lors de la désintégration du carbone radio-actif C^{14} , sa masse x(t) vérifie l’équation x′(t) = −\frac{x}{8000}.

1. Résoudre cete équation différentielle.

2. Quelle est la demi-vie du carbone C^{14} (c’est à dire le temps au bout duquel la moitié du carbone C^{14} est désintégrée) ?

3. En construisant une voie de chemin ferrée à Cro-Magnon en 1868, on découvrit des restes humains dans une caverne. Si on estime que cet homme vivait entre 30 000 et 20 000 ans avant J.C. , dans quelle fourchette se situe le rapport entre la proportion de C^{14} présent dans ce squelette et celle des os d’un être vivant ?

5.4

Le taux d’accroissement d’une population d’insectes vivants dans des fruits est proportionnel à la taille de la population à chaque instant t. S’il y a 180 mouches après le deuxième jour de l’expérience et 300 après le quatrième jour. Combien de mouches y avait-il au départ ?

5.5 Quantité d’oxygène dissous dans une rivière , en cas de pollution : Examen de Fevrier 1999

Dans cet exercice, on s’intéresse à la quantité d’oxygène dissous dans une rivière, à l’aval d’un point de pollution. On doit tenir compte de deux phénomènes antagonistes : -la consommation biochimique d’oxygène pour dégrader les matières polluantes. -le réapprovisionnement en oxygène par la surface du cours d’eau.

1. Si les micro-organismes sont suffisamment nombreux pour dégrader le substrat polluant, on peut supposer que la vitesse de dégradation des matières polluantes est proportionnelle à la quantité de matière. On appelle M cette quantité. Elle sera exprimée en milligramme d’oxygène par litre (c’est-à-dire en demande d’oxygène nécessaire pour oxyder les substances). Le temps sera exprimé en jour (j).

(a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par M. On notera (−k_{1}) le coefficient de proportionnalité, avec k_{1} = 0, 23. Justifier le signe devant k_{1}.

(b) Résoudre cette équation différentielle sachant que M(0) = 20.

(c) On rappelle que M doit être exprimée en milligramme d’oxygène par litre . Donner l’unité de k_{1}.

2. On note D le déficit en oxygène par rapport à la saturation (c’est à dire par rapport à la quantité maximale de réoxygénation). D sera exprimé en mg de O_{2} par l. On admet qu’il vérifie l’équation différentielle suivante :

\frac{dD}{dt} = −kD + 4, 6e^{−0,23t} (E)

(a) Dîtes à quoi correspondent les différents termes de l’équation (E).

(b) Résoudre (E). (On pourra utiliser la méthode de la variation de la constante)

(c) Vérifier que la solution peut s’écrire sous la forme :D(t) = 40e^{−0,23t} − 37e^{−0,345t} si k = 0, 345j^{−1} et que D(0) = 3 mg O_{2} /l.

(d) Etudier la fonction solution obtenue en (c). Calculer explicitement le temps pour lequel le déficit est maximum, on pourra noter t_{max} ce temps. Tracer la courbe représentative de la fonction D(t).

Ce type d’équation différentielle se retrouve dans l’examen de Septembre 2000

5.6 Etude d’une population d’oiseaux : Examen de Septembre 1999

On étudie l’effectif p(t) d’une population d’oiseaux granivores où t est exprimé en jours.

1. On suppose que la variation de p par rapport au temps est proportionnel à la taille de l’effectif à l’instant t.

(a) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par p. On notera r le coefficient de proportionnalité.

(b) Résoudre cette équation différentielle.

(c) S’il y avait 160 oiseaux le deuxième jour et 640 le quatrième jour, quel était l’effectif de la population de départ (c’est à dire p(0)) ?.

2. En tenant compte des limites qu’impose la région dans laquelle vivent ces oiseaux, on suppose que p est solution d’une équation de Verhuslt :

\frac{dp}{dt} = rp − hp^{2} et p(0) = p_{0} où r et h sont des constantes, h > 0. De quel

type est cette équation différentielle ? Retrouver la solution de cette équation et vérifier que si r = 0, 6, p_{0} = 40 et h = 10^{−3}

alors p(t) = \frac{600}{1 + (14)e^{−0,6t}}. .

(a) Donner rapidement l’allure de la courbe de la fonction p, en donnant la dérivée , son tableau de variations et les asymptotes horizontales.

(b) On suppose à présent , qu’on effectue dans cette population un prélèvement continu d’une fraction de la population égale à k (k > 0). Indiquez la nouvelle équation différentielle vérifiée par p.

(c) Donner la solution de la nouvelle équation différentielle à l’aide de la solution rappelée dans l’énoncé.(Vous n’avez pas à refaire tous les calculs). Quelle est l’influence des prélèvements sur l’évolution de la population ?

(d) Dessiner l’allure de la nouvelle courbe si k = \frac{1}{20} dans le même repère que celui de la question (a).

Cet exercice est issu de l’examen de Septembre 1999

5.7 Utilisation d’une équation différentielle

******************************************** On étudie la croissance d’une culture bactérienne en milieu liquide non renouvelé. On

désigne par N(t) le nombre de bactéries par millilitre à l’instant t (t est exprimé en heures.) On sait que N(0) = 10^{4}. Le nombre de bactéries a augmenté de 10% en une heure. Dans la première partie , on détermine la valeur de N(t) pour t entier (c’est à dire toutes les heures). Dans la deuxième partie, on approche N à l’aide d’une équation différentielle.

1. Détermination de N(t) pour t entier :

(a) En remarquant que N(t) est une suite géométrique, prouver que, pour tout entier t, N(t) = 10^{4}(1, 1)^{t}

(b) Déterminez le nombre de bactéries par millilitre au bout d’une heure, de deux heures et de trois heures . Placer les points (1, N(1)),; (2, N(2)); (3, N(3)) dans un repère orthogonal. (unités : 4cm pour une heure en abscisse, et 5cm pour 10^{4} bactéries en ordonnées ).

{i. \atop 2.} Approximation de N :

(a) Prouver que pour tout t réel strictement positif, N(t) vérifie :

N(t + 1) − N(t) = 0, 1N(t)

Pour t très grand, on approche N(t + 1) − N(t) par N′(t), on constate alors une certaine analogie d’écriture entre la définition de la suite :N(t))_{t} :

\{ \begin{matrix}N(0) donné \\ N(t + 1) − N(t) = 0, 1N(t) \end{matrix}

et l’équation différentielle :

\{ \begin{matrix}y(0) donné \\ y′(t) = 0, 1y(t) \end{matrix}

que nous voyons encore mieux apparaître sous la forme :

\{ \begin{matrix}N(0) donné \\ \frac{N(t + 1) − N(t)}{1} = 0, 1N(t) \end{matrix}

et

\{ \begin{matrix}y(0) donné \\ \frac{y(t + dt) − y(t)}{dt} = 0, 1y(t) \end{matrix}

(b) Déterminer la solution y de l’équation différentielle suivante :

\{ \begin{matrix}y′(t) = 0, 1y(t) \\ y(0) = 10^{4} \end{matrix}

(c) Etudier y et tracer sa courbe représentative dans le repère précédent.

(d) Calculer les quotients \frac{y(1)}{N(1)} , \frac{y(2)}{N(2)}, \frac{y(3)}{N(3)} .

(e) Quel est le poucentage d’erreur commis en estimant N(1) par y(1) ?

(f) Donner une valeur approchée du nombre de bactéries au bout d’un quart d’heure, d’une demi-heure.

3. Donnez l’équation de la tangente à la courbe C_{y} passant par y(0).(Tracez la dans le repère précédent). Donnez les coordonnées du point M_{1} se trouvant sur cette droite pour t = 1.(Représentez ce point toujours dans le même repère) De même , donnez l’équation de la tangente à la courbe passant par y(1).(tracez cette droite) Tracez la parallèle à cette droite passant par le point y(1). Donnez les coordonnées du point M_{2} se trouvant sur cette droite pour t = 2.(Tracez ce point) Que constatez-vous ? Donner le point t_{0} , le pas h et le nombre N de la méthode d’Euler dont sont issus les points M_{1} et M_{2}.

********************************************

Approximation de solutions

********************************************

5.8

Soit l’équation différentielle x′(t) = sin(tx).

1. Calculer les points (t_{i}, x_{i}) de la méthode d’Euler pour (t_{0}, x_{0}) = (0, 3) et pour h = 0, 1 et N = 4.

2. De même pour h = 0, 05 et N = 8.

5.8.1

Soit l’équation différentielle : x′(t) = 3x.

1. Calculer les points (t_{i}, x_{i}) de la méthode d’Euler pour (t_{0}, x_{0}) = (0, 1) et pour h = \frac{1}{5} et N = 5.

2. Représenter ces points dans un repère. De quelle fonction la courbe obtenue en reliant les points est-elle l’approximation ?

3. Calculer les points (t_{i}, x_{i}) pour (t_{0}, x_{0}) et pour h = \frac{1}{n} et N = n.

4. Que retrouve-t-on comme résultat lorsque h tend vers 0 (ou n tend vers +∞ ) en t = 1 ?

5.9 Examen de Mathématiques Appliquées de Février 2001

Sous certaines conditions , la vitesse d’une réaction chimique peut être modélisée par une équation différentielle de la forme :

\frac{dQ}{dt} = −kQ^{r} + b

où Q est la quantité d’un des produits obtenus et b et k sont des constantes.

1. Dans cette première partie , on a r = 1.

(a) Le tableau suivant donne la valeur \frac{dQ}{dt} en fonction du temps t :

t en heures 1  2  3  4
\frac{dQ}{dt} en g/h 1,625 0,22 0,03 0,004

ln(\frac{dQ}{dt})

Recopier puis compléter ce tableau .

Puis tracer le graphe de cette relation en coordonnées semi-logarithmiques. Que peut-on en conclure ? A l’aide de vos calculettes , donnez l’équation de la droite des moindres carrés de

ln(\frac{dQ}{dt}) en fonction de t.

(b) Déterminer \frac{dQ}{dt} au temps t = 0.

(c) En déduire qu’on peut prendre comme expression de \frac{dQ}{dt} en fonction de t: \frac{dQ}{dt} = 12e^{at} en précisant la constante a à l’unité près.

(d) Sachant qu’au temps t = 0 la quantité est égale à 10g, trouver la solution Q(t) .

(e) Déterminer les constantes b et k de l’équation différentielle.

2. (a) Désormais , on suppose que l’équation différentielle est :

\frac{dQ}{dt} = −Q^{2} + 1 = f(t, Q)

Q(0)_{=}0 Calculer les approximations de Q par la méthode d’Euler sur [0, 3] avec h = 1 (et N = 3) en recopiant et en complétant le tableau donné ci-dessous.

t_{(i+1)} = t_{i} + h = ... Q_{(i+1)} = Q_{i} + hf(t_{i}, Q_{i}) = ...

avec t_{0} := 0  Q_{0} := Q(0) = 0  h = 1
i  t_{(i+1)}  Q_{(i+1)}
0 t_{1} =  Q_{1} =
1 t_{2} =  Q_{2} =

2 A quoi est égal Q_{i} pour tout entier i?

(b) Faites de même avec h = \frac{1}{2} (et N = 6) sur [0, 3] avec t_{0} := 0 et Q_{0} := Q(0) = 0. t_{(i+1)} = (i + 1)h Q_{(i+1)} = Q_{i} + hf(t_{i}, Q_{i}) = ...

i t_{(i+1)} Q_{(i+1)}
0 t_{1} =  Q_{1} =

1 2 3 4 5

Quelle valeur trouvez-vous pour Q_{i} pour i supérieur à 6 (et h = \frac{1}{2}) ?

(c) On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé la solution de cette équation sur [0, 3] (Voir page 3). Représenter dans ce repère les points obtenus par la méthode d’Euler pour h = 1 et pour h = \frac{1}{2} sur [0, 3] puis sur [0, +∞[ .

(d) Que proposez-vous comme majorant de Q(t) sur [0, +∞[ ?

5.10 Propagation d’une maladie

1. Une maladie s’est attaquée à une plantation. Les bactéries fabriquent un substrat qui accélère la propagation de la maladie. Aussi, si on note N(t) le nombre de bactéries au temps t (t est en mois), on considère l’équation :

\frac{dN}{dt} = 0.1N^{2}.

(a) De quel type est cette équation différentielle ?

(b) Résoudre cette équation différentielle et vérifier que si N(0) = 10 alors N(t) = \frac{10}{1 − t}

(c) Déterminer lim_{t→1^{−}} N(t)) . Que se passe-t-il au bout d’un mois ?

2. Pour lutter contre ce fléau, on utilise un procédé qui élimine les bactéries d’une quantité proportionnelle au temps :

\frac{dN}{dt} = 0.1N^{2} − 35t = f(t, N)

(a) Calculer les approximations de N par la méthode d’Euler sur [0; 1, 5] avec h = \frac{1}{4}, en recopiant et en complétant le tableau donné ci-dessous.

t_{i+1} = t_{i} + h = ..., N_{i+1} = N_{i} + hf(t_{i}, N_{i}) = ...

On suppose que N(0) = 10 c’est à dire : t_{0} := 0, N_{0} := 10 .

i t_{(i+1)} N_{(i+1)}
0 t_{1} =  N_{1} =

1

2  N_{3} ≃ 14.9

3 4 5

(b) Représenter les points obtenus par la méthode d’Euler dans un repère orthonormé. Décrire ce qui semble se passer pour la population de bactéries.

Equations différentiellles du second ordre (sans second membre)

5.11

Résoudre l’équation différentielle : y′′ + 4y′ = 0.

5.12

Résoudre l’équation différentielle : y′′ + 2y′ + y = 0.

5.13

Dans un milieu, coexistent une population de parasites d’effectif x et une population d’hôtes d’effectif y. Le taux de changement de la population des parasites à chaque instant t, résulte de l’addition de deux termes, l’un proportionnel à leur effectif et l’autre proportionnel à l’effectif des hôtes, les deux constantes de proportionnalité étant 0, 75 et 0, 2 respectivement. Le taux de changement de la population des hôtes est aussi composé de deux termes , l’un proportionnel à son effectif (avec un coefficient de proportionnalité égal à 0, 5. Exprimer les effectifs des deux populations en fonction du temps si à t = 0, il y a 200 hôtes et 20 parasites. Toutes ls constantes de proportionnalité sont exprimées en jour^{−1}.

Fonctions à plusieurs variables

L’étude de ces fonctions correspond plus ȩ que la modélisation de la réalité demande : pplusieurs paramètres interviennent en général dans l’etude d’une grandeur. Et malgré la difficulté réelle que présente la représentation des surfaces à partir d’une expression formelle, les outils des fonctions à plusieurs variables peuvent être abordés dès la première année de DEUG et sont utiles pour entre autre donner une estimation de l’erreur pour ceratines formules (voir les exercices 6.4, 6.5, 6.6, 6.7) .

6.1

On rappelle que les groupes sanguins sont génétiquement déterminés par les allèles A, B, et O . La loi de Hardy-Weinberg établit que la proportion d’individus hétérozygotes dans une population est :

P = 2pq + 2pr + 2qr

où p représente la proportion de l’allèle A dans la population, q la proportion de l’allèle B dans la population et r la proportion de l’allèle O.

1. Justifier la relation p + q + r = 1, et en utilisant cette relation, montrer que P peut s’ écrire comme une fonction de p et de q : P (p, q) = 2p + 2q − 2pq − 2p^{2} − 2q^{2}.

2. Calculer les dérivées partielles : \frac{∂P}{∂p} (p, q) et \frac{∂P}{∂q} (p, q) .

3. Vérifier que le point (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) est solution de \{ \begin{matrix}\frac{∂P}{∂p} (p_{0}, q_{0}) & = & 0 \\ \frac{∂P}{∂q} (p_{0}, q_{0}) & = & 0 \end{matrix} . Calculer la proportion

d’individus hétérozygotes dans la population pour ces valeurs de p_{0} et q_{0}.

Cette valeur est, selon cette loi, la proportion maximale d’individus hétérozygotes dans une population.

6.2 Les fonds marins

Une équipe d’océanographes établit une carte des fonds d’un océan pour retrouver un bateau immergé. En utilisant un sonar, ils établissent le modèle suivant :

D(x, y) = 250 + 30x^{2} + 50sin(\frac{πy}{2} ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

où D est la profondeur en mètres et x et y sont les distances en kilomètres. 1. Dessiner les courbes obtenues dans les plans :

x = 0, y = 0, y = 2, y = 1
D = 0, D ∈^{+}

2. (***) Donner une idée du graphe de la surface.

3. Le graphe obtenu représente la profondeur mais pas la surface des fonds marins. Comment changer le modèle pour obtenir la surface des fonds marins ?

4. A quelle profondeur se trouve le bateau s’il est localisé en x = 1, y = 0, 5 ?

5. Déterminer la pente des fonds marins dans la direction des x positifs à partir du bateau ?

6. Déterminer la pente des fonds marins dans la direction des y positifs à partir du bateau ?

7. Déterminer la direction de plus grand changement de profondeur à partir de la position du bateau.

6.3 En montagne

La surface d’une montagne est modélisée par l’équation :

h(x, y) = 4000 − 0, 001x^{2} − 0, 001y^{2}

1. Représentez les courbes obtenues dans les plans y = 0,x = 0, h ∈^{+} (a) Quelle est l’altitude de l’alpiniste lorsqu’il se trouve en x = 600 et y = 0 ?

(b) Montrer que l’équation de la courbe de niveau z = 0 est l’équation du cercle de centre (0,0), de rayon égal à 2.10^{3} : x^{2} + y^{2} = 4.10^{6} . Représenter cette courbe de niveau dans le plan de base z = 0.

(c) Donner l’équation de la courbe de niveau z = 3640 puis représenter sa projection dans le plan z = 0. Qu’obtient-on pour z = 4000 ? et pour z > 4000 ? Quelles sont les coordonnées du sommet de la montagne ?

(d) Calculer les dérivées partielles \frac{∂z}{∂x}(x, y) et \frac{∂z}{∂y} (x, y) . Calculer les dérivées partielles

\frac{∂z}{∂x}(600, 0) et \frac{∂z}{∂y} (600, 0).

(e) Que valent les dérivées partielles au sommet de la montagne ?

2. Donnez une allure de la surface de la montagne.

3. On suppose qu’un randonneur est au point de coordonnées (500, 300, 3660). Déterminer la direction de plus grande pente pour monter .

6.4 Concentration d’un produit

La concentration C d’un produit donné au cours du temps suit la loi de variation

C = C_{0}e^{kt}

On donne : C_{0} = 20, 0 ± 0, 1 g/L , k = 0, 2 ± 0, 01 min^{−1}, et t = 5, 2 ± 0, 1 min. Calculer C et l’erreur absolue ΔC sur la mesure de C.

6.5

L’équation suivante est utilisée par les géophysiciens pour calculer la vitesse de cisaillement V_{s} dans les minéraux :

V_{s} = \frac{θ}{280}(\frac{A}{ρ})^{\frac{1}{3}}

où θ, A,et ρ sont respectivement la chaleur thermique spécifique, la masse atomique moyenne d’un minéral et la densité moyenne du minéral.

1. Trouver \frac{∂V_{s}}{∂θ} , \frac{∂V_{s}}{∂A} , \frac{∂V_{s}}{∂ρ}. Exprimer la différentielle de V_{s} et la formule de l’erreur pour

V_{s}.

2. Quel est le pourcentage d’erreur maximal qu’on puisse obtenir sur V_{s} provenant des erreurs simultanées suivantes : ±0, 1% en θ, ±0, 2% en A et ±0, 4% en ρ?

6.6 pH

On rappelle qu’au cours de la neutralisation d’un acide faible par une base forte , le pH de

la solution est donné par la formule : pH = pK_{a} + log (\frac{x}{1 − x}) dans laquelle pk_{a} est le pK de

l’acide et x la fraction molaire de base ajoutée à la solution. On suppose Δ(pH) constant et estimé à 0, 1.

1. Déterminer la relation permettant de calculer l’erreur réalisée sur la valeur de la fraction x de base ajoutée.

2. Calculer cette erreur en x = 0, 7.

6.7 Pendule

Pour calculer la pesanteur g, on utilise un pendule réversible dont la période est T. Si l est la distance entre les axes du pendule, la période des oscillations est :

T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}

1. Exprimer g en fonction de T et de l : g(T, l).

On ne connaît que des valeurs approchées de l et de T : l_{1}, T_{1}. L’erreur commise sur la valeur de g en utilisant ces valeurs approchées est :

g(T_{1}, l_{1}) − g(T, l).

2. Ecrire la formule de l’erreur.

3. On suppose que l est peu différente d’un mètre et que T est égale à 2s.

Sachant que la distance l est connue avec une erreur de ±10^{−8}m et que l’incertitude sur le temps est de :±0, 01s , majorer l’erreur commise sur la valeur de g (Vous ferez apparaître la valeur ”exacte”de g ).

4. Exprimer en pourcentage l’erreur maximale possible dans le calcul de g.

5. On suppose maintenant que la période T du pendule est déterminée à l’aide de la période du balancier d’une horloge astronomique . Le pendule et le balancier d’une horloge astronomique oscillent dans des plans parallèles et on a compté n = 4500 ± 15 périodes de l’horloge astronomique entre la première et la quatrième coïncidence du pendule et du balancier. Si T_{0} est la période du balancier de l’horloge astronomique, alors on a :

T = \frac{n}{n + 3}T_{0}.

(On précise que T_{0} est à peu près égal à 2s.) Déterminer l’erreur (c’est à dire l’incertitude) sur g si l’incertitude sur l est de ±10^{−8} m et celle sur T_{0} de ±10^{−7}s. (Commencer par déterminer l’erreur sur T puis déterminer l’erreur sur g)

6.8 Moindres carrés

Un météorologiste mesure la pression atmosphérique P (en kg par m^{2}) à l’altitude h (en km). Les données sont les suivantes :

\begin{matrix}h & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 \\ P & 10 332 & 5583 & 2376 & 1240 & 517 \end{matrix}

1. Représenter ces points dans un repère orthonormé.

2. On propose un modèle exponentiel :P = Ce^{ah}.

Compléter le tableau suivant :

h ln(P)

3. Exprimer la fonction D(a, b) de la méthode des moindres carrés.

4. Calculer les dérivées partielles de cette fonction de (a, b) : \frac{∂D}{∂a}(a, b) , \frac{∂D}{∂b}(a, b) .

5. Chercher le minimum de cette fonction et donner l’équation nde la droite des moindres carrés.

6. Retrouver votre résultat avec votre calculette.

7. Donner la loi exponentielle reliant P à h.

Des thèmes

7.1 les coccinelles et les pucerons

7.1.1

Les pucerons et les coccinelles ont ceci de particulier : ils vivent très rarement les uns sans les autres, ces deux espèces vivent en symbiose. Un savant fou propose lors d’un colloque l’hypothèse suivante : La proportion de coccinelles d’une semaine est égale à 10% de la proportion de coccinelles de la génération précédente plus 20% de la proportion de pucerons présents sur la même période. La proportion de pucerons est égale à 80% de la proportion de pucerons précédente plus 90% de la proportion de cocccinelles déjà présentes la semaine précédente.

1. Représenter cette hypothèse par un graphe probabiliste.

2. Donner la matrice de transition de ce graphe probabiliste.

3. Calculer les trois premiers états probabilistes dans les trois cas suivants :

(a) il y a beaucoup de coccinelles et l’état initial est (0, 9; 0, 1).

(b) il y a beaucoup de pucerons et l’état initial est (0, 1; 0, 9).

(c) Les deux populations sont égales et l’état initial est (0, 5; 0, 5).

4. Lors de ce colloque un savant plus avisé s’est empressé de lui montrer que cette hypothèse n’est pas valable dans au moins deux cas. Quel est l’état suivant l’état initial (1; 0) ?

5. Donner une approximation à l’aide de la calculatrice de l’état limite vers lequel va tendre ce système.

7.1.2 Les coccinelles mangent des limaces !

La consommation de limaces au 3^{ième} stade larvaire de la coccinelle a été étudiée dans un certain périmètre ( contenant un grand nombre de limaces ). Le tableau suivant donne le nombre de limaces consommées par jour (Y) en fonction du nombre de limaces présentes dans le secteur (X) :

X 9 18 35 68 79 132
Y 9 15 25 43 45 52

1. Représenter les points (X, Y) dans un repère orthonormé.

2. Rappeler rapidement l’étude et l’allure du graphe de la fonction Y = \frac{aX}{X + b} avec a et b strictement positifs. Expliquez pourquoi pour modéliser la relation entre X et Y de la question 1. , on propose d’utiliser une fonction homographique du type précédent. On précisera entre autre la signification du coefficient a et la valeur de Y lorsque X = b .

3. On suppose que a est connu et vaut 90, déterminer le coefficient b à l’aide des données.

4. On propose la fonction Y = \frac{90X}{X + 79}. Etudier complètement cette fonction et représenter

son graphe sur [0, +∞[ , dans le repère de la question 1. .

7.1.3

On peut aussi essayer de voir comment les coccinelles peuvent nous aider à protéger notre jardin d’une invasion de pucerons. On peut retrouver le modèle de Volterra-Lokta :

\{ \begin{matrix}x′ & = & ax − bxy \\ y′ & = & −cy + dxy \end{matrix}

où a, b, c, d sont des constantes positives, etx et y sont les effectifs des populations. On peut approcher la solution par la méthode d’Euler , qui fournit deux suites :

( \begin{matrix}x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{n} \\ y_{n} \end{matrix} ) + h ( \begin{matrix}ax_{n} − bx_{n}y_{n} \\ −cy_{n} + dx_{n}y_{n} \end{matrix} )

et en se donnant une condition initiale.

7.2 Poids

7.2.1

Le poids d’une personne dépend à la fois de la quantité de calories consommées et de l’énergie dépensée. De plus, la quantité dépensée dépend du poids de la personne. La quantité moyenne d’énergie dépensée par une personne est de 35 calories par kilogramme et par jour. Plus la personne perd du poids , moins elle consomme d’énergie (si elle maintient un niveau d’activité constant).

Une équation modélisant la variation du poids est la suivante :

\frac{dw}{dt} = \frac{Q}{3500} − \frac{35}{3500}w, (E)

où w est le poids de la personne en kg, t est le temps en jour, Q est la consommation en calories journalières.

1. A quel type d’équation différentielle appartient (E) ? (Selon les notations du cours, on pourra reconnaître les fonctions a(t) et b(t))

2. Résoudre (E).

• Pour les questions suivantes , on considère une personne de 90kg c’est à dire w(0) = 90.

3. Montrer que w(t) = (90 − \frac{Q}{35})e^{− \frac{t}{100}} + \frac{Q}{35}.

4. Cette personne suit un régime de 2500 calories par jour.

(a) Combien de temps faudra-t-il pour que cette personne perde 1 kg ?, 17 kg ?

(b) Etudier la fonction w et tracer son graphe . Quel est le poids ”limite” de cette

personne ?

5. (**) Quelle quantité de calories maximum cette personne peut-elle consommer par jour pour ne pas grossir ?

7.2.2 Indice de masse corporelle

L’obésité est un problème de santé majeure, des études sur ses causes et ses conséquences ont été entreprises. L’indicateur retenu par l’organisation mondiale de la santé est l’ IMC : indice de masse corporelle ou encore indice de Quételet Cet indice se définit comme une fonction de deux variables par :

IMC(T, P) = \frac{P}{T^{2}}

où T est la taille en m et P est le poids en kg.

Un IMC normal est compris entre 18,5 et 25. Un IMC strictement supérieur à 25 traduit un surpoids et un IMC strictement supérieur à 30 traduit une obésité marquée.

1. (a) Calculer l’ IMC pour une personne de P = 48kg mesurant T = 1, 60m. Que peut-on dire pour la personne ? Quel est le poids maximal qu’une personne mesurant 1, 80m peut atteindre tout en ayant un IMC normal ?

(b) Dessiner l’allure de la courbe de niveau définie par IMC = 25.

(c) Donner l’allure de la courbe représentative de l’IMC en fonction de la taille T pour un poids constant égal à 70kg. Comment peut-on déterminer graphiquement la taille critique au dessous de laquelle une personne de 70kg est en surpoids ? Déterminer ensuite cette taille critique par le calcul.

(d) Donner l’allure de la courbe représentative de l’ IMC en fonction du poids P pour une taille égale à 1, 70m.

(e) Calculer les dérivées partielles \frac{∂IMC}{∂T} (T, P), \frac{∂IMC}{∂P} (T, P) . En déduire que l ’IMC croit quand P augmente, ( T etant fixée) et que l ’IMC décroit quand T augmente, (P fixé).

2. (a) Une étude portant sur 97876 garçons a permis de construire les courbes ci-dessous : i. Que signifient les lignes noires pointillées ? ii. Décalquez ces courbes et placer les points correspondant à la personne choisie

en (a)i. Commenter. iii. Interpréter l’allure des courbes.

(b) Etude de la distribution des valeurs de l’IMC à 20 ans

i. Déterminer les quartiles, la médiane, puis estimer les déciles D_{1} et D_{9}.

ii. Faire le diagramme en boîte de cette distribution, en prenant D_{1} et D_{9} comme

limites. iii. Tracer un histogramme utilisant les valeurs fournies par le graphique. iv. Etudier graphiquement si les valeurs de l’IMC sont des données Gaussiennes. v. Comment définir les plages de normalité ?

7.3

On étudie l’évolution dans le temps d’une population formée d’individus susceptibles de se reproduire, de mourir, d’agir les uns sur les autres (migration) . N (le nombre d’individus) est une fonction du temps : \frac{ΔN}{Δt} = naissances - morts + migration

1. Dans un premier temps, on part de l’hypothèse suivante : Pendant un petit intervalle de temps Δt , la variation ΔN du nombre d’individus de la population est proportionnelle à N et à Δt . Alors on a : \frac{ΔN}{Δt} = kN. Si Δt peut prendre des valeurs arbitrairement petites, cela entraîne que N est dérivable et que :

N′ = kN (E)

Résoudre cette équation . Ce modèle exponentiel n’est pas réaliste (bien que lorsqu’on regarde la croissance de la population mondiale entre le 17^{ieme} siècle et le 21^{ieme} siècle, une telle loi paraît moins irréaliste qu’on pourrait le croire ).

2. Un modèle plus réaliste : La loi logistique Plusieurs modèles de croissance d’une population existent mais le plus communément utilisé est celui que Verhulst proposa en 1836 :

\frac{dN(t)}{dt} = rN(1 − \frac{N}{K}) (avecr > 0 cette équation sera notée :(E))

appelé Loi logistique de développement des populations.

(a) Origine de cette loi Le premier modèle proposé ne prend pas en compte les divers facteurs qui peuvent intervenir pour modifier le développement, comme la raréfaction des ressources alimentaires , la diminution de l’espace disponible , l’accumulation des substances toxiques. On part alors de la nouvelle hypothèse de base :

Pendant un petit intervalle de temps Δt , la variation du nombre d’individus de la population est donnée par : ΔN = Nk(N)Δt ,

d’où l’équation différentielle : \frac{dN(t)}{dt} = Nk(N)

Le modèle le plus simple pour k(N) est : k(N) = aN + r = r(\frac{a}{r}N + 1). avec r > 0.

Il doit traduire deux choses : i. Si N est petit, rien n’entrave la croissance de la population , qui est alors

exponentielle. ii. Lorsque N est grand, le milieu est alors saturé (son potentiel ne lui permet pas

d’héberger davantage d’individus).

D’après i., si N est petit, on doit avoir \frac{dN}{dt} proportionnel à N.

D’après ii., si N se rapproche d’une valeur limite K, on a \frac{dN}{dt} = 0 et \frac{a}{r}K + 1 = 0

soit \frac{a}{r} = −\frac{1}{K}

d’où

\frac{dN}{dt} = rN(−\frac{1}{K} N + 1) = rN(\frac{K − N}{K})

(b) Application Résoudre cette équation sachant que ce modèle est bien adapté à l’évolution de la population des Etats-Unis entre 1790 et 1930 avec : K = 197273000, l’origine est choisie en 1913, 25, et N(0) = 5512360, r = 0, 03134. (On rappelle que

\frac{K}{N(K − N)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K − N})

Quelle était la population en 1790 ? En quelle année a-t-elle passé le cap des 50 millions ? des 100 millions ?

7.4 Photosynthèse - Lumière et croissance

7.4.1

A partir de données recueillies par Adams, Guilizzoni et Adams en 1978, concernant le Myriophyllum spicatum poussant dans plusieurs lacs italiens, on peut représenter la vitesse du processus de photosynthèse (en mg de carbone fixé par g de matière sèche par heure à la température entre 22 − 24C en fonction dela concentration de carbone inorganique dissous dans l’eau (exprimé en mg de carbone par l) : Cette courbe fait penser à la courbe d’une fonction homographique de la forme rencontrée dans les équations de Michaelis-Menten : Y = \frac{Ax}{K+x}.

(a) Que suggère cette courbe à propos de la réaction initiale de transformation du carbone ?

(b) Ecrire \frac{1}{Y} en fonction de \frac{1}{x} . Représenter le nuage de points (\frac{1}{x}, \frac{1}{Y}).

(c) A l’aide de vos calculatrices , donner la droite des moindres carrés ajustant ce nuage et en déduire les valeurs de A et de K dans l’équation : Y = \frac{Ax}{K+x}

7.4.2 Influence de la lumière sur la quantité d’auxine

Un scientifique anglo-saxon a remarqué que sous une lumière douce, la quantité d’auxine 1 produit dans les plantes augmentait avec l’intensité lumineuse à laquelle elles sont exposées.

Pour avoir plus d’informations, il fait l’expérience suivante : Il sélectionne des pieds de tobacco (des plants uniformes), et il les place dans une pièce sombre pendant plusieurs jours. Puis, il divise les plantes en 5 groupes de 10 plantes. Chaque groupe est placé sous une source lumineuse d’intensité (lumineuse) différente. Après deux semaines, il détermine la quantité d’auxine dans chaque plante.

Voici les résultats : intensité lumineuse : i(foot-candela) moyenne d’auxine trouvée par plante : a 5  2.2 10  3.1 20  4.5 40  6.4 80  9.2 160  12.0 400  20.5 600  23.9

(a) Placer les points de coordonnées (i, a) dans un repère. Quelle indication la forme de la courbe donne-t-elle à propos de la relation entre la quantité d’auxine et l’intensité lumineuse à laquelle les plantes furent exposées ?

1Hormone végétale qui favorise la croissance en longueur des plantes

(b) Quel accroissement de l’intensité lumineuse est requis pour doubler la quantité d’auxine ?

(c) Pour déterminer la relation entre x et y, on vous propose de représenter dans un repère les points (i, ln(a)), puis les points (ln(i), ln(a)) et de trouver un ajustement affine de ces points, puis d’en déduire la relation.

(d) Que peut-on dire à propos de la formation de l’auxine et de l’intensité lumineuse ? Qu’observe-t-on dans la deuxième partie de la courbe ?

Conclusion

Ce travail a souvent permis des discussions avec les étudiants de biologie qui ne se plus contentés de suivre nos tds mais aussi d’y participer. Il reste cependant encore beaucoup de thèmes à creuser.