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\title{Int\'egration et probabilit\'es\\ L3 MASS, Universit\'e de Nice-Sophia Antipolis}           % Les paramtres du titre� titre, auteur, date
\author{Sylvain Rubenthaler}
% \date{}                     % La date n'est pas requise (la date du
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%SUR LE MAC 
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%SUR LA STATION
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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{notations}[theorem]{Notations}
\newtheorem{hypothesis}{Hypoth\`ese}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{assumption}{Hypoth\`ese}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
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\begin{document}

 \maketitle                  % Faire un titre utilisant les donnes
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\frontmatter                  % Prologue

\tableofcontents 

\chapter{Introduction}
Le but de ce cours est d'introduire les notions de th\'eorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilit\'es et en analyse. Il est destin\'e aux \'etudiants qui veulent poursuivre leurs \'etudes dans un master \`a composante math\'ematique. Pour un cours plus complet, se reporter \`a la bibliographie.

Informations utiles (partiels, bar\^emes, annales, corrig\'es,  \dots)~:\\  \href{http://math.unice.fr/~rubentha/cours.html}{http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html}.


PR\'EREQUIS~: Pour pouvoir suivre ce cours, l'\'etudiant doit conna{\^\i}tre les d\'eveloppements limit\'es, les \'equivalents, les \'etudes de fonction, le d\'enombrement, les nombre complexes, la th\'eorie des ensembles. 



%\chapter{Remerciements}

%\chapter{Introduction}

\mainmatter                   % On passe aux choses srieuses
\pagestyle{headings}

\chapter{D\'enombrement (rappels)}


\section{Ensembles d\'enombrables}

\begin{definition}\index{Injection}Injection.\\
Soit $E,F$ des ensembles, $f:E\rightarrow F$ est une injection si $\forall x,y \in E$, $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Surjection}Surjection. \\
Soit $E,F$ des ensembles, $f:E\rightarrow F$ est une surjection si $\forall z \in F$, $\exists x \in E$ tel que $f(x)=z$.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Bijection}Bijection. \\
Soit $E,F$ des ensembles, $f:E\rightarrow F$ est une bijection si $f$ est une injection et une surjection.
\end{definition}

\begin{proposition} \label{prop:inj}
Soient $E,F,G$ des ensembles. Soient $f:E\rightarrow F$, $g: F \rightarrow G$. Alors [$f$ et $g$ injectives] $\Rightarrow$ [$g\circ f$ injective]. \index{$\circ$}
\end{proposition}

\begin{proof}
Soient $x,y$ tels que $g\circ f(x)=g\circ f(y)$. L'application $g$ est injective donc $f(x)=f(y)$. L'application $f$ est injective donc  $x=y$.
\end{proof}

\begin{definition}\index{Ensemble d\'enombrable}
On dit qu'un ensemble $E$ est d\'enombrable s'il existe une injection de $E$ dans $\N$. On d\'emontrer qu'il existe alors une bijection de $E$ dans $\N$.\\
({\em Cela revient \`a dire que l'on peut compter un \`a un les \'el\'ements de $E$.})
\end{definition}

\begin{example}
Tout ensemble fini est d\'enombrable.
\end{example}

\begin{example}
$\Z$ est d\'enombrable car l'application 
\begin{eqnarray*}
f: \Z &\rightarrow& \N\\
 k &\mapsto& 
 \begin{cases}
 2n & \text{ si } n \geq 0\\
 -2n+1 &  \text{ si } n <0
 \end{cases}
 \end{eqnarray*}
 est bijective (donc injective).
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig7.eps}}    
\caption{\'Enum\'eration des \'el\'ements de $Z$.}    
\end{figure} 
\end{example}

\begin{example}
$\N \times \N$ est d\'enombrable car l'application
\begin{eqnarray*}
f: \N \times \N &\rightarrow& \N\\
(p,q) &\mapsto& \frac{(p+q)(p+q+1)}{2}+q
\end{eqnarray*}
est bijective (donc injective).
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=6cm\epsfbox{fig-poly/fig8.eps}}    
\caption{\'Enum\'eration des \'el\'ements de $\N\times\N$.}    
\end{figure} 
\end{example}

\begin{example}
L'ensemble $\Q$ est d\'enombrable. L'ensemble $\R$ n'est pas d\'enombrable.
\end{example}

\begin{proposition}
Si on a $E_0$, $E_1$, \dots, $E_n$, \dots des ensembles d\'enombrables alors $E=E_0\cup E_1 \cup E_2 \cup \dots=\underset{n\geq 0}{\cup}E_n$ est un ensemble d\'enombrable.\\
({\em En d'autres termes, une r\'eunion d\'enombrable d'ensembles d\'enombrables est d\'enombrable.})
\end{proposition}


\begin{proof}S
Pour tout $i\geq 0$, $E_i$ est  d\'enombrable donc $\exists f_i: E_i \rightarrow \N$ injective. Soit 
\begin{eqnarray*}
F: \underset{n\geq 0}{\cup}E_n & \rightarrow& \N \times \N \\
x &\mapsto& (i,f_i(x)) \text{ si } x \in E_i
\end{eqnarray*}
Cette application $F$ est injective. 
L'ensemble $ \N \times \N$ est d\'enombrable donc il existe $g: \N \times \N \rightarrow \N$ injective. Par la proposition \ref{prop:inj}, $g\circ F$ est injective. Donc $ \underset{n\geq 0}{\cup}E_n$ est d\'enombrable. \index{$\circ$}
\end{proof}

\section{Exercices}
Tous les exercices de ce chapitre n'ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils constituent  des r\'evisions n\'ecessaires \`a la suite du cours.

\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item \underline{Rappel~:} \index{$f^{-1}(A)$} Si $f:E \rightarrow F$ et $A\subset F$, $f^{-1}(A)=\{x\in E : f(x)\in A\}$.  Si $C\subset E$,
$f(C)=\{f(x), x\in C\}$. \\
On consid\`ere l'application $f:\R \rightarrow \R$, $x \mapsto x^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $f([-3,-1])$, $f([-3,1])$, $f(]-3,1])$.
\item  D\'eterminer $f^{-1}(]-\infty,2])$, $f^{-1}(]1,+\infty[)$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)$.
\end{enumerate}

\item Calculer les limites suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{\sin(x)}{\log(1+x)}$
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty} \left( 1+ \frac{2}{x} \right)^{x}$
\item $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}$
\item $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-(1+x)^\alpha}{1-(1+x)^\beta}$ pour $\alpha,\beta>0$.
\end{enumerate}

\item Calculer les int\'egrales suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} dx$
\item $\int_{e^1}^{+\infty} \frac{1}{(\log(z))^2 z} dz$
\item $\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(1+x)} dx$
\item $\int_0^{\pi/4} \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} dx$.
\end{enumerate}

\item Int\'egrales de Wallis\\
Pour tout $n \in \N$, on pose~:
$$ I_n=\int_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx    \ .$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item Donner une relation de r\'ecurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.
\item En d\'eduire que~:
$$
 \forall p \in \N,\ I_{2p}=\frac{(2p-1)(2p-3)\dots1}{2p(2p-2)\dots2}\frac{\pi}{2} \text{ et } I_{2p+1}=\frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p+1)(2p-1)\dots1}\ .
$$
\item Montrer que $\forall p\in \N, I_{2p+1}\leq I_{2p}\leq I_{2p-1}$. En d\'eduire que $\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}=1$.
\item En d\'eduire la formule de Wallis~:
$$
\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{1}{p}\left[ \frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p-1)(2p-3)\dots1}\right]^2=\pi \ .
$$
\item Montrer que $\forall n\in \N$, $I_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item
\begin{enumerate}
\item $f([-3,-1])=[1,9]$, $f([-3,1])=[0,9]$, $f(]-3,1])=[0,9[$.
\item $f^{-1}(]-\infty,2])=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, $f^{-1}(]1,+\infty[)=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)=\{0\}\cup]-\sqrt{2},-1]\cup[1,\sqrt{2}[$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\frac{\sin(x)}{\log(1+x)} \underset{x\rightarrow 0+}{\sim} \frac{x}{x} = 1 \underset{x\rightarrow 0+}{\rightarrow} 1$
\item $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}$ et $x\log\left(1+\frac{2}{x}\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{2x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\rightarrow} 2$ donc par continuit\'e de la fonction $\exp$~: $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x \underset{x\rightarrow }{\rightarrow} e^2$
\item $ \frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}=\frac{(x^2/2)+o(x^2)}{x^2+o(x^2)} \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2x^2} =1/2$
\item  $\frac{1-(1+x)^\alpha}{1-(1+x)^\beta} =\frac{\alpha x +o(x)}{\beta x+o(x)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{\alpha x}{\beta x}=\frac{\alpha}{\beta}$
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item on int\`gre par parties~:
\begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty}  x^2 e^{-x} dx & = & [ - x^2 e^{-x} ]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} 2x e^{-x}dx\\
& = & 0 + [-2x e^{-x} ]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} 2 e^{-x}dx \\
& = & [-2e^{-x} ]_0^{+\infty} = 2
\end{eqnarray*}
\item changement de variable ~: $t=\log(z)$, $z=e^t$, $dz=e^t dt$
\begin{eqnarray*}
\int_{e^1}^{+\infty} \frac{1}{(\log(z))^2 z} dz & = & \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt\\
& = & [ -1/t]_1^{+\infty} = 1
\end{eqnarray*}
\item on d\'ecompose $ \frac{1}{(2-x)(1+x)} = \frac{1/3}{2-x} + \frac{1/3}{1+x}$ (toujours possible pour une fraction rationelle \`a p\^oles simples) et donc~: $$\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(1+x)} dx = \left[ -\frac{1}{3}\log(2-x)+\frac{1}{3}\log(1+x) \right]_0^1=\frac{1}{3}\log(4)$$
\item changement de variable ~: $t=\tan(x)$, $x=\arctan(t)$, $dx=\frac{1}{1+t^2} dt$
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} dx & = & \int_0^{\pi/4} 1+\tan^2(x) dx\\
& = & [\tan(x)]_{0}^{\pi/4} =1
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $I_0=\int_0^{\pi/2} 1 dx=\frac{\pi}{2}$, $I_1=\int_0^{\pi/2}  \sin(x) dx=[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=1$.
\item On int\`egre par parties pour tout $n\geq 2$~:
\begin{eqnarray*}
I_{n+2} & = & \int_0^{\pi/2} \sin^{n+1}(x)\sin(x)dx \\
& = & [-\sin^{n+1}(x)\cos(x)]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\cos^2(x)dx\\
& = & (n+1)(I_n - I_{n+2})
\end{eqnarray*}
d'o\`u $I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2} I_n$.
\item D\'emonstration par r\'ecurrence de la formule pour $I_{2p}$ (d\'emonstration similaire pour $I_{2p+1}$)~:
\begin{itemize}
\item c'est vrai en $p=0$
\item si c'est vrai jusqu'au rang $p$ alors $I_{2p+2}=\frac{2p+1}{2p+2} I_{2p}=\frac{(2p+1)(2p-1)\dots 1}{(2p+2)(2p) \dots 2}\frac{\pi}{2}$
\end{itemize}

\item $\forall p \in \N$, $\forall x \in [0,\pi/2]$, $0\leq \sin^{2p+1}(x)\leq \sin^{2p}(x)\leq \sin^{2p-1}(x)$ donc par int\'egration $\forall p \in \N$, $I_{2p+1}\leq I_{2p}\leq I_{2p-1}$, donc $1\leq\frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}\leq\frac{I_{2p-1}}{I_{2p+1}} = \frac{2p+1}{2p}$, donc $$\lim_{p\rightarrow +\infty}\frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}=1$$

\item on d\'eduit de la question pr\'ec\'edente~: $\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{\pi}{2}\left[\frac{(2p-1)(2p-3)\dots 1}{2p(2p-2)\dots2}\right]^2(2p+1) = 1$, d'o\`u la formule de Wallis

\item On fait la d\'emonstration pour $n$ impair . Soit $n=2p+1$~:
\begin{eqnarray*}
I_{2p+1} & = & \frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p+1)\dots1}\\
& = & \frac{\sqrt{p}}{2p+1}\sqrt{\frac{1}{p} \left( \frac{2p(2p+2)\dots 2}{(2p-1)\dots 1}\right)^2}\\
& \underset{p\rightarrow +\infty}{\sim} & \frac{1}{\sqrt{2(2p+1)}}\sqrt{\pi}\ .
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\chapter{Th\'eorie de la mesure}

La th\'eorie de la mesure est l'outil utilis\'e pour \underline{mod\'eliser} le hasard. \index{Modelisation@Mod\'elisation}

\section{Tribus et mesures}
\subsection{Tribus}
Dans la suite, on utilisera un ensemble  $\Omega$  que l'on appellera \og univers \fg. Il contient tous les al\'eas possibles. \index{$\Omega$} \index{Univers} \index{aleas@al\'eas}

\begin{definition}\index{Tribu}
Une famille $\mathcal{A}$ de parties de $\Omega$ est une tribu (sur $\Omega$) si elle v\'erifie
\begin{enumerate}
\item $\Omega \in \A$
\item $A \in \A \Rightarrow A^c \in \A$ (stabilit\'e par passage au compl\'ementaire)
\item $A_0,A_1,A_2,\dots \in \A \Rightarrow \cup_{n\geq 0} A_n \in \A$ ({\em une r\'eunion d\'enombrable d'\'el\'ements de $\A$ est dans $\A$})
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
On rappelle que :
\begin{itemize} 
\item $ A^c := \{ x \in \Omega:x \notin A \}$ \index{$A^c$}
\item Une tribu est un ensemble de parties. Ces parties sont appel\'ees \og \'ev\'enements \fg. \index{Evenement@\'Ev\'enement}
\end{itemize}
\end{remark}

\begin{proposition}
Stabilit\'e par intersection d\'enombrable.\\
Soient $\A$ une tribu et $A_0,A_1,A_2,\dots \in \A$, alors $\underset{n\geq 0}{\cap} A_n \in \A$.
\end{proposition}

\begin{proof}
On note pour tout $n$, $B_n=A_n^c$. Donc, par d\'efinition d'une tribu,  $B_n \in \A, \forall n$ et $  \underset{n\geq 0}{\cup} B_n \in \A$.
\begin{eqnarray*}
\underset{n\geq 0}{\cap} A_n  & = & \underset{n\geq 0}{\cap} B_n^c \\
& = & \left( \underset{n\geq 0}{\cup} B_n \right)^c\\
(\text{ par d\'efinition }) & \in & \A\ .
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{example}
Pour n'importe quel ensemble $\Omega$, $\A=\{ \emptyset, \Omega \}$ est une tribu.
\end{example}

\begin{example}\label{ex:par}
Pour n'importe quel ensemble $\Omega$, , $\A= \mathcal{P}(\Omega)$ (les parties de $\Omega$) est une tribu.
\end{example}

\begin{proposition}\index{Tribu engendr\'ee}\index{$\sigma(.)$}
Soit $\A \subset \mathcal{P}(\Omega)$, il existe une tribu not\'ee $\sigma(A)$ telle que si $\B$ est une tribu telle que $\A \subset \B$ alors $\sigma(A) \subset \B$.\\
{\em On dira que $\sigma(\A)$ est la plus petite tribu contenant $\A$, \index{Tribu, plus petite} ou encore que $\sigma(\A)$ est la tribu engendr\'ee par $\A$.}
\end{proposition}

\begin{definition}
Soit l'ensemble de parties de $\R$ suivant : $$\A=\{ ]a,b[ : a,b \in \R\cup \{+\infty, -\infty\}\}$$ (c'est l'ensemble des intervalles ouverts). La tribu $\sigma(\A)$ s'appelle la tribu des bor\'eliens et se note $\mathcal{B}(\R)$.
\end{definition}

\begin{example}\index{Bor\'eliens}\index{Tribu des Bor\'eliens}
Soit $[a,b]$ intervalle ferm\'e de $\R$. Les intervalles $]-\infty,a[$, $]b,+\infty[$ sont dans $\B(\R)$. La famille $\B(\R)$ est une tribu donc $]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[ \in \B(\R)$ (stabilit\'e par r\'eunion d\'enombrable), et donc aussi $(]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[)^c=[a,b] \in \B(\R)$ (stabilit\'e par passage au compl\'ementaire).\\
De m\^eme, on peut montrer que tous les intervalles de $\R$ sont dans $\B(\R)$, ainsi que tous les singletons (les ensembles de la forme $\{x\}$, $x\in \R$). \index{Singleton}
\end{example}

\section{Mesures}
\begin{notation}
Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) : $\forall x \in \R$, $x+\infty=+\infty$, $0\times \infty=0$.
\end{notation}

\begin{definition}\index{Mesure}\label{def:mesure}
Soit $\Omega $ un ensemble muni d'une tribu $\A$. On dit que $\mu $ est une mesure (positive) sur $(\Omega,A)$ si :
\begin{enumerate}
\item $\mu : \A \rightarrow [0,+\infty]$ (elle peut prendre la valeur $\infty$)
\item $\mu(\emptyset)=0$
\item \label{sommation} si $A_0,A_1,A_2,\dots \in \A$ et sont \underline{deux \`a deux disjoints} alors $\mu(\underset{n\geq 0}{\cup} A_n )=\sum_{n\geq 0} \mu(A_n)$.
\end{enumerate}
\end{definition}


Quand $\mu$ est une mesure sur $(\Omega,A)$ est telle que $\mu(\Omega)=1$, on dit que $\mu$ est une \underline{mesure de probabilit\'e} \index{Mesure de probabilit\'e} (cette d\'efinition  sera rappel\'ee plus tard dans le cours). La tribu $\A$ contient tous les \'ev\'enements possibles et, pour $A \in \A$, $\mu(A)$ est la probabilit\'e que $A$ se produise. 

\begin{definition}
Quand $\mu$ est telle que $\mu(\Omega)<\infty$, on dit que $\mu$ est une mesure finie.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Espace mesurable}\index{Espace mesur\'e}
Quand on a un ensemble $\Omega$ avec une tribu $\A$ sur $\Omega$, on dit que $(\Omega,\A)$ est un espace mesurable. Si on a de plus, une mesure $\mu$ sur  $(\Omega,\A)$, on dit que  $(\Omega,\A,\mu)$ est un espace mesur\'e.
\end{definition}

\begin{example}
Le triplet $(\N,\mathcal{P}(\N),\text{card})$ est un espace mesur\'e. Nous avons vu (exemple \ref{ex:par}) que $\mathcal{P}(\N) $ est une tribu sur $\N$. De plus :
\begin{enumerate}
\item Pour $A\in \mathcal{P}(\N)$, $\text{card}(A)$($=$ le nombre d'\'el\'ements de $A$) est bien dans $[0,+\infty]$.
\item La partie $\emptyset$ est de cardinal $0$.
\item Si $A_0,A_1,\dots \in \mathcal{P}(\N)$ sont deux \`a deux disjoints, $\text{card}(\underset{n\geq 0}{\cup} A_n )=\sum_{n\geq 0} \text{card}(A_n)$.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}\label{ex:comp} Croissance et mesure d'une diff\'erence\\
Soit  $(\Omega,\A,\mu)$  un espace mesur\'e. Soit $A,B \in \A$ tels que $\mu(A)<+\infty$ et $B\subset A$. 
\begin{itemize}
\item Alors $\mu(B)\leq\mu(A)$. 
\item Si, de plus $\mu(A)<+\infty$, alors $\mu(A\backslash B)= \mu(A) - \mu(B)$.
\end{itemize}
 (Rappel : $A\backslash B=\{ x : x \in A, x \notin B \}$.)
\end{proposition}

\begin{proof}
On a  $\mu(A)=\mu(A\backslash B)+\mu(B)$ (car $ A\backslash B$ et $B$ sont disjoints). Donc $ \mu(B)\leq \mu(A)$.  Si $\mu(A)<+\infty$, nous avons alors $\mu(A\backslash B)= \mu(A) - \mu(B)$. 
\end{proof}

\begin{proposition} \label{prop:union} Sous-additivit\'e.\\ 
Soit  $(\Omega,\A,\mu)$  un espace mesur\'e. Si $A_0,A_1,A_2,\dots \in \A$ (pas forc\'ement deux \`a deux disjoints). Alors $\mu(\underset{n\geq 0}{\cup} A_n )\leq \sum_{n\geq 0} \mu(A_n)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
On pose pour tout entier $k\geq 1$, $B_k=A_k \backslash \cup_{0\leq i \leq k-1} A_i$ (et nous avons alors, par convention, $B_0=A_0$). Les ensembles $B_0,B_1,B_2,\dots$ sont deux \`a deux disjoints. Nous avons
\begin{eqnarray*}
\mu(\underset{n\geq 0}{\cup} A_n) & = & \mu(\underset{n\geq 0}{\cup} B_n) \\
\text{ (car $B_0,B_1,B_2,\dots$  deux \`a deux disjoints) }& = & \sum_{n\geq 0} \mu(B_n)\\
\text{  (car $\forall n$, $B_n\subset A_n$)} &\leq &  \sum_{n\geq 0} \mu(A_n)
\end{eqnarray*}
\end{proof}


\begin{proposition}\label{prop:croi}\index{Reunion@R\'eunion croissante} Mesure d'une r\'eunion croissante.\\ \index{Mesure d'une r\'eunion croissante}
Soit $(\Omega,\A,\mu)$  un espace mesur\'e. Soient $A_0,A_1,\dots \in \A$ tels que $A_0\subset A_1 \subset \dots \subset A_n \subset A_{n+1} \subset \dots$. Alors $\mu(\underset{k\geq 0}{\cup} A_k) = \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A_n)$
\end{proposition}

\begin{proof}
Posons pour tout $k\geq 1$, $B_k=A_k \backslash A_{k-1}$($=\{x:x\in A_k, x \notin A+{k-1}\}$) et $B_0=A_0$. 
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig9.eps}}    
%\caption{Dessin de la densit\'e de  $X$.}    
\end{figure} 
Les ensembles $B_0,B_1,B_2,\dots$ sont deux \`a deux disjoints.  Donc
\begin{eqnarray*}
\mu(\underset{k\geq 0}{\cup} A_k)  & = & \mu(\underset{k\geq 0}{\cup} B_k)\\
& = & \sum_{k\geq 0} \mu(B_k)\\
& = & \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \mu(B_k)
\end{eqnarray*}
On a $\forall n$, $\sum_{k=0}^n \mu(B_k)= \mu(A_n)$. Donc $\mu(\underset{k\geq 0}{\cup} A_k) =  \lim_{n \rightarrow +\infty}  \mu(A_n)$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{prop:dec}\index{Intersection d\'ecroissante} Mesure d'une intersection d\'ecroissante.\\ \index{Mesure d'une intersection d\'ecroissante}
Soit $(\Omega,\A,\mu)$  un espace mesur\'e. Soient $A_0,A_1,\dots \in \A$ tels que 
$A_0\supset A_1 \supset \dots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \dots$ et tels que $\mu(A_0)<+\infty$.  Alors $\mu(\underset{k\geq 0}{\cap} A_k)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_n)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Posons pour tout $k$, $B_k=A_k\backslash A_{k+1}$. Les ensembles $B_0,B_1,B_2,\dots$ sont deux \`a deux disjoints. 
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig11.eps}}    
%\caption{Dessin de la densit\'e de  $X$.}    
\end{figure} 
Nous avons $\underset{k\geq 0}{\cap} A_k = A_0 \backslash \underset{k \geq 0}{\cup} B_k$, donc (par la proposition \ref{ex:comp})
\begin{eqnarray*}
\mu(\underset{k\geq 0}{\cap} A_k) & = & \mu(A_0) - \mu( \underset{k \geq 0}{\cup} B_k)\\
\text{ (mesure d'une r\'eunion disjointe) } & = &  \mu(A_0) -  \sum_{k\geq 0} \mu(B_k)\\
& = &   \mu(A_0)  - \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \mu(B_k)\\
& = &  \lim_{n\rightarrow +\infty} (   \mu(A_0) - \mu(B_0) - \dots - \mu(B_n))\\
\text{ (mesure d'une r\'eunion disjointe) } & = & \lim_{n\rightarrow +\infty} (   \mu(A_0) - \mu(\underset{0\leq k \leq n}{\cup} B_k))\\
\text{ (cf. Prop. \ref{ex:comp}) }& = & \lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_{n+1})\ .
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{theorem}Mesure de Lebesgue.\\ \index{Mesure de Lebesgue}
Il existe une  mesure $\lam$ sur $(\R,\B(\R))$ v\'erifiant
\begin{enumerate}
\item pour tout intervalle  $]a,b[$, $\lam(]a,b[)=b-a$
\item $\forall A \in \B(\R)$, $\forall x \in \R$, $\lam( \{y:y-x \in A\})=\lam(A)$\ .
%\item $(\R,\B(\R),\lam)$ est complet (voir th\'eor\`eme \ref{theo:completion} pour la d\'efinition de \og complet \fg,  qui n'a pas d'importance pour le moment).
\end{enumerate}
Cette mesure $\lam$ s'appelle la mesure de Lebesgue.
\end{theorem}


\begin{example}
 Mesure de Lebesgue  d'un intervalle quelconque.\\
  Soient $a\leq b$ des \'el\'ements de $\R$. Nous avons 
\begin{eqnarray*}
 \lam([a,b]) &=& \lam(]a-1,b+1[\backslash ]a-1,a[ \cup ]b,b+1[)\\
 \text{ (par Prop. \ref{ex:comp}) } & =&  \lam(]a-1,b+1[) - \lam( ]a-1,a[ \cup ]b,b+1[)\\
 \text{ (r\'eunion disjointe) } &=&  \lam(]a-1,b+1[) - \lam( ]a-1,a[) - \lam( ]b,b+1[)\\
 &=& (b+1-(a-1))- (a-(a-1))-(b+1-b)\\
 &=&b-a\ .
 \end{eqnarray*}
 De m\^eme, $\lam([a,b[)=\lam(]a,b])=b-a$.
\end{example}

\begin{example}
 Mesure de Lebesgue  d'un singleton.\\
  Soit $x\in \R$, $\forall n \geq 1$, $\{x\} \subset  [x-1/n,x+1/n]$. Donc  $\forall n \geq 1$, $\lam(\{x\})\leq \lam ([x-1/n,x+1/n]) =2/n$. Donc $\lam(\{x\})=0$.
\end{example}

\begin{example} Mesure de Lebesgue de $\Q$.\\
On sait que $\Q$ est d\'enombrable. Donc on peut num\'eroter ses \'el\'ements : $\Q=\{u_0,u_1,u_2,\dots \}$. Pour tout entier $n\geq 1$, on d\'efinit $A_n=\underset{i\geq 0}{\cup} \left[  u_i - \frac{1}{n 2^i}, u_i +\frac{1}{n 2^i}  \right]$. On a pour tout $n$,  $\Q \subset A_n$ et $\lam(A_n)\leq \sum_{i\geq 0} \lam \left(\left[  u_i - \frac{1}{n 2^i}, u_i +\frac{1}{n 2^i}  \right]  \right)=\frac{2}{n}$. Et donc $\lam(\Q)=0$.
\end{example}

\section{Int\'egrales des fonctions \'etag\'ees mesurables positives.}
On se donne un espace mesur\'e $(\Omega,\A,\mu)$. 

\begin{definition} \index{Fonction \'etag\'ee}
Soit $f:\Omega \rightarrow \R^+$. On dit que $f$ est \'etag\'ee (positive) s'il existe une famille finie $A_1,\dots,A_n$ de $\A$ telle que 
\begin{itemize}
\item les $A_i$ forment une partition de $\Omega$ (ce qui veut dire que $A_1,\dots,A_n$  sont deux \`a deux disjoints et que $\Omega=\underset{1\leq i \leq n}{\cup} A_i$)
\item $\forall i \in \{1,\dots n\}$, $\exists a_i$ tel que $f(x)=a_i$, $\forall x \in A_i$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark}
Si $f$ est une fonction \'etag\'ee d\'efinie avec une partition $A_1,\dots,A_n$, il peut exister une autre partition $B_1,\dots,B_m$ (diff\'erente de  $A_1,\dots,A_n$) telle que $f$ est constante sur chacun des $B_i$.
\end{remark}

\begin{definition}\index{Fonction indicatrice}\index{$\1$}
 Soit $A\subset \Omega$. La fonction indicatrice de $A$ est la fonction
$$
\begin{array}{rcrcl}
 \1_A &:& \Omega &\rightarrow& \{0,1\}\\
&& x &\mapsto& 
\begin{cases}
 1 & \text{ si } x \in A\\
0 & \text{ si } x\notin A\ .
\end{cases}
\end{array}
$$
Il existe d'autres notations. Par exemple si $A=[0,1]\subset \R$, on peut \'ecrire $\1_A(x)=\1_{x\in[0,1]}=\1_{0\leq x \leq 1}$.
\end{definition}


\begin{example}
La fonction
\begin{eqnarray*}
f: \R & \rightarrow & \R \\
x &\mapsto& 
\begin{cases}
0 & \text{ si } x<0\\
\lfloor x \rfloor & \text{ si } x \in [0,2]\\
0 & \text{ sinon }\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}
est une fonction positive \'etag\'ee ($\lfloor x \rfloor$ signifie \og partie enti\`ere \fg). En effet, elle est constante sur $]-\infty,0[$, $[0,1[$, $[1,2[$, $\{2\}$, $]2,+\infty[$.

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig10.eps}}    
\caption{Dessin de $f$.}    
\end{figure} 

Avec des fonctions indicatrice, nous pouvons \'ecrire $f$ de mani\`ere plus compacte~: $$f(x)=\lfloor x \rfloor \1_{[0,2]}(x)=\1_{[0,2[}(x) + 2 \times \1_{\{2\}}(x)=\dots\ .$$
\end{example}

\begin{definition}\label{def:intetagee} \index{Integrale@Int\'egrale!d'une fonction \'etag\'ee positive}\index{Fonction int\'egrable}
Soit $f$ une fonction positive \'etag\'ee associ\'ee \`a une partition $A_1,\dots,A_n$ (avec $f(x)=a_i$ si $x\in A_i$).  On appelle int\'egrale de $f$ par rapport \`a $\mu$ le nombre suivant 
$$
\int_\Omega f(x) \mu(dx) := \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i)\ .
$$
Ce nombre peut \^etre $+\infty$. Une fonction positive \'etag\'ee $f$  est dite int\'egrable si $\int_\Omega f(x) \mu(dx) <+\infty$. 
\end{definition}

\begin{remark}
La valeur de  $\int_\Omega f(x) \mu(dx) $ est ind\'ependante de la partition associ\'ee \`a $f$.
\end{remark}



\section{Fonctions mesurables et int\'egrales}
\subsection{Int\'egrales des fonctions mesurables positives}

\begin{definition} Application mesurable.\\ \index{Application mesurable}\index{Mesurabilite@Mesurabilit\'e}
Soient $(\Omega,\A)$, $(\Omega',\A')$ deux espaces mesur\'es. On dit qu'une application $f:\Omega\rightarrow \Omega'$ est mesurable (par rapport aux tribus $\A$, $\A'$) si $\forall B \in \A'$, $f^{-1}(B):=\{x \in \Omega:f(x)\in B\} \in \A$. \index{$f^{-1}(A)$}
\end{definition}

\begin{proposition}\label{prop:stabmesurabilite}
\qquad
\begin{itemize}
\item Toute fonction continue $f:(\R,\B(R)) \rightarrow (\R,\B(R))$ est mesurable.
\item Si $f$ et $g$ sont des fonction mesurables $(\Omega,\A) \rightarrow (\R, \B(\R))$ alors $f+g$, $f\times g$, $\frac{f}{g}$ sont mesurables.
\item Si $f : (\Omega,\A) \rightarrow (\Omega',\A')$ est mesurable et  $g : (\Omega',\A') \rightarrow (\Omega'',\A'')$   est mesurable alors $g\circ f :  (\Omega,\A) \rightarrow (\Omega'',\A'')$   est mesurable. \index{$\circ$}
\end{itemize}
\end{proposition}
De mani\`ere g\'en\'erale, toute fonction $(\R,\B(\R)) \rightarrow (\R,\B(\R))$ d\'efinie par une formule est mesurable. 

\begin{proposition}\label{prop:mesureimage} Mesure image.\\ \index{Mesure image}
Soit $(\Omega,\A,\mu)$ un espace mesur\'e. Soit $(\Omega,\B)$ un espace mesurable. Soit $f:\Omega \rightarrow \Omega'$ mesurable. L'application $\nu: \B \rightarrow [0,+\infty]$ d\'efinie par $\nu(B)=\mu(f^{-1}(B)) $ est une mesure appel\'ee mesure image de $\mu$ par $f$. \\
(Rappel : $f^{-1}(B):= \{x \in \Omega:f(x) \in B \}$.)
\end{proposition}

\begin{proof}
V\'erifions d'abord que $\nu$ est bien d\'efinie : $\forall B \in \B$, $f^{-1}(B) \in \A$ car $f$ est mesurable, donc $\nu(B)$ est bien d\'efini. On a donc $\nu: \B \rightarrow [0,+\infty]$.

 Puis $\nu(\emptyset)=\mu(f^{-1}(\emptyset))=\mu(\emptyset)=0$ car $\mu$ est une mesure. 
 
 Enfin, si $B_0,B_1,B_2,\dots \in \B$ sont deux \`a deux disjoints, $\nu(\underset{n\geq 0}{\cup}B_n)=\mu(f^{-1}(\underset{n\geq 0}{\cup}B_n))=\mu(\underset{n\geq 0}{\cup}f^{-1}(B_n) )$. En effet $f^{-1}(\underset{n\geq 0}{\cup}B_n)=\{x \in\Omega: f(x) \in \underset{n\geq 0}{\cup}B_n\}=\underset{n\geq 0}{\cup}\{x \in\Omega:f(x)\in B_n\}$. Soient $m\neq n$, si $x\in f^{-1}(B_n)$, $f(x) \in B_n$, donc $f(x)\notin f(B_m)$ (car $B_0,B_1,B_2,\dots $ sont deux \`a deux disjoints), donc $x \notin f^{-1}(B_m)$, donc $f^{-1}(B_n)\cap f^{-1}(B_n)=\emptyset$. Donc, puisque $\mu$ est une mesure, 
 \begin{eqnarray*}
 \nu(\underset{n\geq 0}{\cup}B_n)&=&\mu(\underset{n\geq 0}{\cup}f^{-1}(B_n) )\\
 &=& \sum_{n\geq 0} \mu(f^{-1}(B_n))\\
 &=& \sum_{n\geq 0} \nu(B_n)\ .
\end{eqnarray*}
Donc $\nu$ est une mesure.
 \end{proof}
 
 \begin{definition} \label{def:intpos}\index{Integrale@Int\'egrale!d'une fonction mesurable positive}
 Soit $(\Omega,\A,\mu)$ un espace mesur\'e. Si $f:\Omega \rightarrow [0,+\infty]$ est mesurable (par rapport aux tribus $\A$ et $\B(\R)$) positive, l'int\'egrale de $f$ sur $\Omega$ par rapport \`a la mesure $\mu$ est d\'efinie par 
 $$
 \int_{\Omega} f(x) \mu(dx):= \sup_{\phi \in \mathcal{E}(f)} \int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx)
 $$
 o\`u $\mathcal{E}(f):=\{\phi \text{ \'etag\'ee positive}:\phi(x)\leq f(x), \forall x \in \Omega\}$. Cette int\'egrale peut prendre sa valeur dans $[0,+\infty]$.
 
 Pour $B\in \A$, on note
 $$
 \int_B f(x) \mu(dx)= \int_\Omega f(x) \1_B(x) \mu(dx)\ .
 $$
 \end{definition}

%\begin{remark}\label{rem:intfinie}{Une fonction positive d'int\'egrale finie est finie p.p.}\\
%Si $f$ est une fonction mesurable positive $\Omega \rightarrow \R^+$ telle que $\exists A\in \A$, $\mu(A)>0$ et $f(x)=+\infty$ si $x\in A$, alors $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=+\infty$. En effet, la fonction $\phi(x)=+\infty \times \1_{A}(x)$ est une fonction \'etag\'ee v\'erifiant $\phi\leq f$, $\int_\Omega \phi(x) \mu(dx) = +\infty$. D'o\`u $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=+\infty$ par la d\'efinition ci-dessus.

%Nous avons donc que si $\int_\Omega f(x) \mu(dx) <+\infty$ alors il n'existe pas d'ensemble $A$ ayant les propri\'et\'es ci-dessus, ce qui veut donc dire que $f$ est finie presque partout.
%\end{remark}


\begin{definition}\label{def:integrabilite}\index{Fonction int\'egrable} \index{Integrabilite@Int\'egrabilit\'e}
Une fonction mesurable positive $f$ est dite int\'egrable si $\int_{\Omega} f(x) \mu(dx) < \infty$.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{prop:croissance} Croissance de l'int\'egrale.\\
Soient $f,g$ deux fonctions positives mesurables sur $(\Omega,\A,\mu)$. Si $f\leq g$ (ce qui veut dire $f(x) \leq g(x), \forall x$) alors $ \int_{\Omega} f(x) \mu(dx) \leq  \int_{\Omega} g(x) \mu(dx)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Nous avons $\mathcal{E}(f) \subset \mathcal{E}(g)$ car $f\leq g $.  Donc $$ \sup_{\phi \in \mathcal{E}(f)} \int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx) \leq  \sup_{\phi \in \mathcal{E}(g)} \int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx)\ .$$
\end{proof}
Cette proposition admet comme corollaire le th\'eor\`eme suivant.

\begin{theorem}\label{theo:comp}Th\'eor\`eme de comparaison.\\ \index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de comparaison}
Soient $f,g$ deux fonctions positives mesurables sur $(\Omega,\A,\mu)$. Si $f\leq g$ et $g$ est int\'egrable alors $f$ est int\'egrable.
\end{theorem}

\begin{definition}\index{Densit\'e}\label{def:dens1}
Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\B(\R))$. La mesure $\mu$ est dite avoir pour densit\'e la fonction $f\geq 0$ sur $\R$ (par rapport \`a $\lam$) si $\forall \phi$ mesurable positive $\R \rightarrow \R$,
$$
\int_{\R} \phi(x) \mu(dx) = \int_\R \phi(x) f(x) \lam(dx)\ .
$$
Ceci implique, en particulier, que $\forall B \in \B(\R)$, 
$$
\mu(B) = \int_B  \phi(x) f(x) \lam(dx)\ .
$$
\end{definition}

\begin{theorem}\label{theo:linearite}Lin\'earit\'e de l'int\'egrale.\\
Soient $f,g$ deux fonctions positives mesurables sur $(\Omega,\A,\mu)$ et $a\geq 0$, alors :
$$
 \int_{\Omega} f(x) + g(x) \mu(dx) =  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx) +  \int_{\Omega} g(x) \mu(dx)
$$
et 
$$
 \int_{\Omega}a f(x) \mu(dx) = a  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)\ .
$$
En particulier, si $f$ et $g$ sont int\'egables alors $f+g$ aussi. 
\end{theorem}
% 
% \begin{definition}Fonction indicatrice.\\ \index{Fonction indicatrice}
% Soit $\Omega$ ensemble quelconque et $A\subset \Omega$. La fonction indicatrice de $A$ est la fonction suivante
% \begin{eqnarray*}
% \1_A : \Omega & \rightarrow & \R \\
% x & \mapsto& 
% \begin{cases}
% 1 & \text{ si } x \in A\\
% 0 & \text{ si } x \notin A\ .
% \end{cases}
% \end{eqnarray*}
% \end{definition}

\begin{theorem}In\'egalit\'e de Markov.\\  \index{Inegalite@In\'egalit\'e!de Markov}
Soient $f,g$ deux fonctions positives mesurables sur $(\Omega,\A,\mu)$. Soit $a>0$. Alors : 
$$
\mu(\{  x\in \Omega:f(x)\geq a\}) \leq \frac{1}{a}  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
On a $a \1_{\{y:f(y)\geq a\} } \leq f$ donc par th\'eor\`eme de comparaison (th\'eor\`eme \ref{theo:comp}) :
\begin{eqnarray*}
   \int_{\Omega}a \1_{\{y:f(y)\geq a\} } (x) \mu(dx) &\leq & \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)\ .
\end{eqnarray*}
La fonction $a \1_{\{y:f(y)\geq a\} }$ est une fonction \'etag\'ee et on calcule son int\'egrale :
$$
  \int_{\Omega}a \1_{\{y:f(y)\geq a\} } (x) \mu(dx)  = a \times \mu(\{y:f(y)\geq a \}) + 0  \times  \mu(\{y:f(y)< a \})\ .
$$
D'o\`u le r\'esultat.
\end{proof}

\subsection{Int\'egrales des fonctions mesurables de signe quelconque.}
Soit une espace mesur\'e $(\Omega, \A,\mu) $. Soit $f:\Omega \rightarrow \R$ mesurable. Elle peut toujours s'\'ecrire $f=f^+-f^-$ avec $f^+$ et $f^-$ mesurables positives :

$$
f^{+}(x)=
\begin{cases}
f(x) & \text{ si } f(x) \geq 0\\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$

$$
f^{-}(x)=
\begin{cases}
0 & \text{ si } f(x) \geq 0\\
-f(x) & \text{ sinon. }
\end{cases}
$$

\begin{definition}\label{def:integrale}\index{Fonction int\'egrable}\index{Integrabilite@Int\'egrabilit\'e}
Une fonction $f$ mesurable sur un espace mesur\'e $(\Omega, \A,\mu) $ est dite int\'e\\ -grable si $f^+$ et $f^-$ le sont (voir d\'efinition \ref{def:integrabilite} de l'int\'egrabilit\'e des fonctions mesurables positives) et dans ce cas, on d\'efinit l'int\'egrale de $f$ (sur $\Omega$ par rapport \`a $\mu$) par 
$$
  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx) :=   \int_{\Omega} f^+(x) \mu(dx) -   \int_{\Omega} f^-(x) \mu(dx)\ 
$$
et, $\forall A \in \A$,   l'int\'egrale de $f$ sur $A$ par 
$$
\int_{A} f(x) \mu(dx) := \int_{\Omega} f(x) \1_A(x) \mu(dx)\ .
$$
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:valabsolue}
Soit $f$ une fonction  mesurable sur un espace mesur\'e $(\Omega, \A,\mu) $ et int\'egrable. Alors 
$$
\left | \int_\Omega f(x) \mu(dx) \right| \leq \int_\Omega |f(x)| \mu(dx)
$$
\end{lemma}

\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
\left | \int_\Omega f(x) \mu(dx) \right| & = & \left|  \int_{\Omega} f^+(x) \mu(dx) -   \int_{\Omega} f^-(x) \mu(dx)  \right| \\
& \leq  & \leq \left|  \int_{\Omega} f^+(x) \mu(dx) \right| + \left|    \int_{\Omega} f^-(x) \mu(dx)  \right|  \\
& = &  \int_{\Omega} f^+(x) \mu(dx) +    \int_{\Omega} f^-(x) \mu(dx)  \\
&= &  \int_{\Omega} | f(x) | \mu(dx) \ .
\end{eqnarray*}
\end{proof}
Ce lemme peut aussi \^etre vu comme une cons\'equence  de l'in\'egalit\'e de Jensen (cf. exercice 4 du chapitre \ref{chap:theolimit} et  th\'eor\`eme \ref{theo:jensen}).

\begin{theorem}\label{theo:propintegrale}Lin\'earit\'e et croissance. \\
Pour l'int\'egrale d'une fonction de signe quelconque, on a encore la lin\'earit\'e et la croissance comme dans la proposition \ref{prop:croissance} et le th\'eor\`eme \ref{theo:linearite}.
\end{theorem}

\begin{remark}\label{rem:lienriemann}Lien int\'egrale de Lebesgue/int\'egrale de Riemann.\\ \index{Integrale@Int\'egrale!de Lebesgue} \index{Integrale@Int\'egrale!de Riemann}
Quand  $(\Omega, \A,\mu) = (\R,\B(\R),\lam_)$, l'int\'egrale $ \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)=\int_{\R} f(x) \lam(dx)$ que nous venons de d\'efinir s'appelle l'int\'egrale de Lebesgue sur $\R$. Vu la d\'efinition \ref{def:integrale},  l'int\'egrale de Lebesgue sur un intervalle $[a,b]$ est donn\'ee par

$$
\int_{[a,b]} f(x) \lam(dx) := \int_{\R} f(x) \1_{[a,b]}(x) \lam(dx)\ .
$$
L'int\'egrale de Riemann est celle qui se calcule avec la primitive. Si $f$ admet une primitive $F$ alors son int\'egrale de Riemann est
$$
\int_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)
$$
avec la convention que si $F$ n'est pas d\'efinie en $a$ (et pareil en $b$), par exemple parce que $a=-\infty$,  alors $F(a)=\lim_{x\rightarrow a, x \in [a,b]} F(x)$. On parle alors d'int\'egrale g\'en\'eralis\'ee (ou d'int\'egrale de Riemann g\'en\'eralis\'ee). L'int\'egrale de Riemann n'est d\'efinie que si $F(a)$ et $F(b)$ sont finis.
 
On a les r\`egles de  signe suivantes :

$$
\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx
$$
$$
\int_{[a,b]} f(x) \lam(dx) = \int_{[b,a]} f(x) \lam(dx)\ .
$$
Dans le cas o\`u $f$ a une int\'egrale de Riemann, nous avons l'\'egalit\'e suivante entre les deux types d'int\'egrales si $a \leq b$
$$
\int_{[a,b]} f(x) \lam(dx) = \int_a^b f(x) dx \ .
$$
C'est en g\'en\'eral avec cette formule que l'on calculera les int\'egrales. On \'ecrira parfois~:
$$
\int_{[a,b]} f(x) \lam(dx) = \int_{[a,b]} f(x) dx \ .
$$
\end{remark}

\section{Fonction de r\'epartition}\label{def:fonctionrepartition}\index{Fonction de repartition@Fonction de r\'epartition}
L'\'etude de la fonction de r\'epartition d'une mesure va nos permettre de mettre en {\oe}uvre les th\'eor\`emes de ce chapitre.
\begin{definition}
Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\B(\R))$ telle que $\mu(\R)<+\infty$. On d\'efinit la fonction de r\'epartition de $\mu$ par :
\begin{eqnarray*}
F_\mu: \R &\rightarrow& [0,+\infty[\\
x &\mapsto& F_\mu(x)=\mu(]-\infty,x])\ .
\end{eqnarray*} 
\end{definition}

\begin{proposition}\label{prop:proprepartition}\index{cadlag@c\`adl\`ag}
Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\B(\R))$ telle que $\mu(\R)<+\infty$. La fonction $F_\mu$ est croissante, c\`adl\`ag (continue \`a droite avec une limite \`a gauche), $\lim_{x\rightarrow +\infty} F_\mu(x) = \mu(\R)$, $\lim_{x\rightarrow -\infty} F_\mu(x) = 0$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Soient $x\leq y$. Nous avons $]-\infty,x]\subset ]-\infty,y]$ donc, par la proposition \ref{ex:comp}, $F_\mu(x)=\mu(]-\infty,x])\leq \mu(]-\infty,y]) = F_\mu(y)$.

Soit $x\in \R$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ suite de $\R$ telle que $u_n \geq x$ et $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n = x$. Pour tout $n$, $]-\infty, u_{n+1}] \subset ]-\infty, u_{n}]$,  $\underset{n\geq 0}{\cap} ]-\infty, u_n]=]-\infty,x]$ et $\mu( ]-\infty, u_0])\leq \mu(\R)<\infty$, donc, par la propostion sur l'intersection d\'ecroissante (prop. \ref{prop:dec}) $\lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(]-\infty, u_n])=\mu(\underset{n\geq 0}{\cap} ]-\infty, u_n])=\mu(]-\infty,x])$. En d'autres termes : $\lim_{n\rightarrow +\infty} F_\mu(u_n) = F(x)$. Ceci prouve que $F$ est continue \`a droite. 

Soit  $x\in \R$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ suite de $\R$ telle que $u_n < x$ et $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n = x$.  Pour tout $n$, $]-\infty, u_{n+1}] \supset ]-\infty, u_{n}]$,  $\underset{n\geq 0}{\cup} ]-\infty, u_n]=]-\infty,x[$, donc par la propri\'et\'e de r\'eunion croissante (prop. \ref{prop:croi}), $\lim_{n\rightarrow +\infty} F(u_n) = \mu(]-\infty, x[)$. Ceci prouve que $F_\mu$ a une limite \`a gauche (\'egale \`a $\mu(]-\infty, x[)$).

On trouve \'egalement la limite de $F_\mu$ en $+\infty$ en utilisant la propr\'et\'e de r\'eunion croissante et la limite de $F_\mu$ en $-\infty$ en utilisant la propri\'et\'e de r\'eunion d\'ecroissante. 
\end{proof}

\begin{remark}
Dans la proposition pr\'ec\'edente, la limite \`a gauche en $x$ de $F_\mu$ est $\mu(]-\infty, x[)$ et $F_\mu(x)=\mu(]-\infty, x])$. Par la proposition \ref{ex:comp}, $\mu(]-\infty, x])-\mu(]-\infty, x[)=\mu(\{x\})$. Donc $F_\mu(x)=\mu(]-\infty, x[)$ si et seulement si $\mu(\{x\})=0$.
\end{remark}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item \underline{Rappel~:} Pour une famille d'ensemble $(A_n)_{n\in \N}$, on note $\bigcap_{n\geq 0} A_n =\{x: \forall n, x\in
A_n\}$ et $\bigcup_{n\geq 0} A_n=\{x:\exists n \text{ tel que } x\in A_n \} $

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)] $.
\item  D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1,2+1/(n+1)]$.
\item  D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1-1/(n+1),2]$.
\item Soit $f: \R \rightarrow \R$, $x\mapsto x^2$.  D\'eterminer $f^{-1}(\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[)$.
\end{enumerate}

\item Soit $\Omega$ un ensemble et soient $A_0,A_1,\dots$ des parties de $\Omega$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $A_0\subset A_1 \subset \dots \subset A_n \subset A_{n+1} \subset \dots$. Posons pour tout $n\geq 1$, $B_n=A_n\diagdown A_{n-1}$
(\underline{rappel~:} $A\diagdown C =\{x\in A : x\notin C\}$). Montrer que les ensembles $B_n$ sont deux \`a deux disjoints.
\item On note~: $\forall A \subset \Omega$, $A^c=\{x\in \Omega : x\notin A\}$. Montrer que $\underset{_n\geq0} {\cup} A_n^c = (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
\item    Montrer que $ ( \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c)^c  = \underset{n\geq 0 }{\cap} A_n$.
\end{enumerate}

\item Soit $A_1,...,A_n$ une partition de $\R$.
Montrer que $\mathcal{A}= \{ \bigcup_{i \in I} A_i : I \subset \{1,...,n\} \}$ est une tribu. ($\mathcal{A}$ est constitu\'e de toutes les r\'eunions possibles d'ensembles $A_i$.)



\item Soit

\begin{eqnarray*}
\text{Card} : \mathcal{P}(\N) & \rightarrow & [0,+\infty]\\
A& \mapsto &\text{Card}(A)= \text{ le nombre d'\'el\'ements de } A\ .
\end{eqnarray*}
Montrer que Card est une mesure sur $(\N,\mathcal{P}(\N))$.

\item On se donne un espace mesurable $(E,\mathcal{A})$.

\begin{enumerate}
\item Soit $x \in E$, on note
\begin{eqnarray*}
\delta_x : \mathcal{A} &  \rightarrow &  [0,+\infty]\\
B & \mapsto & \delta_x(B)\begin{cases} =1 & \text{ si } x
\in B\\ =0 & \text{ sinon .} \end{cases}
\end{eqnarray*}
 Montrer que $\delta_x$ est une mesure sur $(E,\mathcal{A})$.
\item Soient $x_1,...,x_k $ des \'el\'ements distincts de $E$ et $p_1,...,p_k \in \R_+^{*}$. On note

\begin{eqnarray*}
 \mu : \mathcal{A} & \rightarrow &
[0,+\infty]\\
B & \mapsto  &\mu(B) =  \sum_{1 \leq i \leq k} p_i \delta_{x_i}(B)
\end{eqnarray*}
 Montrer que $\mu$ est une mesure sur $(E,\mathcal{A})$.
\end{enumerate}


\item Soit $A=\cup_{n\geq 0} [n,n+\frac{1}{2^n}[$. Calculer $\lambda(A)$. (On se servira du fait que $A$ est r\'eunion d'ensembles disjoints et on utilisera la propri\'et\'e d'additivit\'e.)

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$, calculer $\lambda(\{x\})$ (utiliser la propri\'et\'e de croissance).
\item Soit $x_0,x_1,x_2,\dots \in \R$, calculer $$\lambda(\cup_{n\geq 0} \{x_n\})$$ (utiliser la propri\'et\'e de sous-additivit\'e).
\item En d\'eduire que $\lambda(\Q)=0$. Calculer $\lambda([0,1]\backslash \Q)$.
\end{enumerate}




\item Un ensemble de Cantor.\\
 Pour $n\geq 1$, on note~: 
 \begin{eqnarray*}
 A_n&=&\{x\in [0,1[, x \text{ n'a que des $1$ ou des $5$ dans son d\'eveloppement d\'ecimal }\\
 &&~~~~~~\text{jusqu'\`a l'ordre $n$} \}
 \end{eqnarray*}
  $A_n$ est donc l'ensemble des $x\in [0,1[$ qui s'\'ecrivent $x=0,u_1u_2\dots u_nu_{n+1}\dots$ avec $u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lambda(A_n)$ pour tout $n$.
\item Soit $B=\cap_{n\geq 1} A_n$, calculer $\lambda(B)$ (utiliser la propri\'et\'e d'intersection d\'ecroissante).
\end{enumerate}


\item Mesures \`a densit\'e.
\begin{enumerate}
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{[0,1]}(x)$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu([0,1]),\mu([0,2])$, $\mu([0,1/2])$, $\mu(\{1/2\})$.
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{x>0}e^{-x}$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu(\R),\mu(\{1\}),\mu([0,1]),\mu([1,+\infty[)$.
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{x>0} xe^{-x^2/2}$  par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu([0,1])$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item
\begin{enumerate}
\item $ \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)]=\emptyset$ car $1 \notin \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)] $ et $\forall x \neq 1$, $\exists n$ tel que $x\notin  ]1,1+1/(n+1)]$ et donc $x \notin  \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)]$
\item $\bigcap_{n\geq 0} ]1,2+1/(n+1)]=]1,2]$
\item $\bigcap_{n\geq 0} ]1-1/(n+1),2] =[1,2]$
\item $\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[ = ]0,+\infty[$ donc $f^{-1}(\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[)=f^{-1}(]0,+\infty[)=\R \diagdown \{0\}=\R^*$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soient $k\neq n,k<n$. $A_k\subset A_{n-1}$ donc $\forall x \in A_k$, $x\notin B_n$. Comme $B_k\subset A_k$, alors $B_k\cap B_n =\emptyset$
\item
 \begin{itemize}
 \item Si $x \in (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$ alors $x\notin \underset{_n\geq0}{\cap} A_n$ donc $\exists n$ tel que $x \notin A_n$. Donc $\exists n$ tel que $x \in A_n^c$. Donc $x \in \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c$.
 \item Si $x \in \underset{_n\geq0} {\cup} A_n^c$ alors $\exists n$ tel que $x \notin A_n$. Donc $x\notin \underset{_n\geq0}{\cap} A_n$. Donc $x \in (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
 \end{itemize}
Conclusion~: $\underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c=(\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
\item Par passage au compl\'ementaire dans le r\'esultat pr\'ec\'ecent~: $ ( \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c)^c  = \underset{n\geq 0 }{\cap} A_n$.
\end{enumerate}

\item On rappelle que "$A_1,\dots,A_n$ partition de $\R$" signifie que les ensembles $A_i$ sont 2 \`a 2 disjoints et que $A_1\cup \dots \cup A_n=\R$.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\R=A_1\cup \dots \cup A_n\in \mathcal{A}$
\item[(ii)]  Soit $\underset{i\in I}\cup A_i \in \mathcal{A}$, $(\underset{i\in I}\cup A_i)^c=\underset{i\notin I}\cup A_i \in \mathcal{A}$.
\item[(iii)] Si on fait une r\'eunion d\'enombrable d'\'el\'ements de $\mathcal{A}$~: $$\underset{n\geq 0}\cup (\underset{i\in I_n}\cup A_i)=\bigcup_{\left[i\in \underset{n\geq 0}\cup I_n\right]} A_i \in \mathcal{A}\ .$$
\end{itemize}

\item Fait en cours

\item
\begin{enumerate}
\item Remarque~: $\delta_x$ s'appelle la mesure de Dirac en $x$.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\delta_x$ est bien une fonction de $\mathcal{A}$ dans $[0,+\infty]$
\item[(ii)] $\delta_x(\emptyset)=0$ car $x\notin \emptyset$
\item[(iii)] Si on a des \'el\'ements 2 \`a 2 disjoints de $\mathcal{A}$~: $A_0,A_1,\dots$.
\begin{eqnarray*}
\delta_x(\underset{n\geq 0}\cup A_n)  & & \begin{cases} =1 & \text{ si } x
\in \underset{n\geq 0}\cup A_n\\
 =0 & \text{ sinon }\end{cases}\\
 & &  \begin{cases} =1 & \text{ si } \exists n \text{ tel que } x \in A_n\\
=0 & \text{ sinon }\end{cases}\\
& & = \sum_{n\geq 0} \delta_x(A_n)
\end{eqnarray*}
car les $A_n$ sont 2 \`a 2 disjoints (et donc au plus un seul d'entre eux contient $x$, c'est \`a dire au plus un seul d'entre eux est tel que $\delta_x(A_n)=1$).
\end{itemize}
\item On remarque que $\forall i$, $\delta_{x_i}$ est une mesure par la question pr\'ec\'edente.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\mu$ est bien une fonction de $\mathcal{A}$ dans $[0,+\infty]$
\item[(ii)] $\mu(\emptyset)=\sum_{1\leq i\leq k} p_i \delta_{x_i}(\emptyset) =0$
\item[(iii)] Si on a des \'el\'ements 2 \`a 2 disjoints de $\mathcal{A}$~: $A_0,A_1,\dots$~:
\begin{eqnarray*}
\mu(\underset{n\geq 0}\cup A_n) & = & \sum_{1\leq i\leq k} p_i \delta_{x_i}(\underset{n\geq 0}\cup A_n)\\
& = &\sum_{1\leq i\leq k}p_i \sum_{n\geq 0} \delta_{x_i}(A_n)\\
& = &\sum_{n\geq 0}\sum_{1\leq i\leq k}p_i \delta_{x_i}(A_n)\\
& = &\sum_{n\geq 0} \mu(A_n)\ .
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item Les ensembles $[n,n+\frac{1}{2^n}[$ sont 2 \`a 2 disjoints donc $\lambda(A)=\sum_{n\geq 0} \lambda([n,n+\frac{1}{2^n}[)=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}=2$.

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall \epsilon >0$, $\{x\}\subset [x,x+\epsilon]$ donc $\lambda(\{x\})\leq \lambda( [x,x+\epsilon])=\epsilon$. Donc $\lambda(\{x\})=0$.
\item $\lambda(\cup_{n\geq 0} \{x_n\})\leq \sum_{n\geq 0} \lambda(\{x_n\})=0$ par la question pr\'ec\'edente.
\item $\Q$ est d\'enombrable donc on peut \'ecrire $\Q=\{x_0,x_1,\dots,x_n,\dots\}$ donc $\lambda(\Q)=0$ par la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On remarque que
\begin{eqnarray*}
A_n & = & \{[x,x+10^{-n}[: x=0,u_1\dots u_n \text{ avec } u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}\}\\
& =  & \underset{x\in B_n}\bigcup [x,x+10^{-(n+1)}[
\end{eqnarray*}
o\`u $B_n=\{x=0,u_1\dots u_n \text{ avec } u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}\}$. On remarque que $B_n$ est fini et que les intervalles $([x,x+10^{-n}[)_{x\in B_n}$ sont 2 \`a 2 disjoints. Donc~:
\begin{eqnarray*}
\lambda(A_n) &=& \sum_{x\in B_n}\lambda([x,x+10^{-n}[)\\
&=&\text{Card}(B_n) \times 10^{-n}=2^n \times 10^{-n}\ .
\end{eqnarray*}
\item $\forall n$, $A_n\subset A_{n+1}$ donc par intersection d\'ecroissante~: $\lambda(B) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \lambda(A_n) =0$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\mu([0,1])=\int_\R \1_{[0,1]}(x)  \1_{[0,1]}(x) dx= \int_0^1 1 dx =1$\\
 $\mu([0,2])=\int_\R  \1_{[0,2]}(x) \1_{[0,1]}(x) dx = \int_0^1 1 dx=1$\\
 $\mu([0,1/2])=\int_\R \1_{ [0,1/2]}(x)  \1_{[0,1]}(x) dx=\int_{0}^{1/2} 1 dx=1/2$\\
 $\mu(\{1/2\})=\int_\R \1_{\{1/2\}}(x) \1_{[0,1]}(x) dx = \int_\R \1_{\{1/2\}}(x) dx = 0$ car $\lambda(\{1/2\})=0$
 \item $\mu(\R)=\int_{\R} \1_{x>0}(x)e^{-x} dx =1$\\
 $ \mu(\{1\})=\int_{\R}\1_{\{1\}}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx=\int_{\R}\1_{\{1\}}(x) e^{-1} dx=0$ car $\lambda(\{1\})=0$\\
 $ \mu([0,1])=\int_{\R} \1_{[0,1]}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx =\int_0^1 e^{-x}dx=1-e^{-1}$\\
 $ \mu([1,+\infty[)=\int_{\R} \1_{[1,+\infty]}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx =\int_1^{+\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$
 \item $\mu([0,1])=\int_{\R}\1_{[0,1]}(x)\1_{x>0}(x){xe^{-x^2/2}} dx= \int_0^1 x {e^{-x^2/2}} dx = \left[ -{e^{-x^2/2}} \right]_0^1=(1-e^{-1/2})$
\end{enumerate}



\end{enumerate}




\chapter{Ensembles n\'egligeables}

\begin{definition}\index{Ensemble negligeable@Ensemble n\'egligeable}
Soit $(\Omega, \A, \mu)$ un espace mesur\'e. Un \'el\'ement $A$ de $\A$ est dit n\'egligeable (pour la mesure $\mu$) si $\mu(A)=0$. 

Soit $f:\Omega\rightarrow \R$ une fonction mesurable. Elle est dite $\mu$=presque partout nulle si $\exists A\in \A$ n\'egligeable tel que $x\in A^c \Rightarrow f(x)=0$. On dira aussi que $f$ est : presque partout nulle, $\mu$-presque s\^urement nulle, presque s\^urement nulle, p.p. nulle, p.s. nulle.
\index{p.p}\index{p.s.}\index{presque partout}\index{presque s\^urement}
\end{definition}

\begin{remark}\label{rem:intfinie}{Une fonction positive d'int\'egrale finie est finie p.p.}\\
Si $f$ est une fonction mesurable positive $\Omega \rightarrow \R^+$ telle que $\exists A\in \A$, $\mu(A)>0$ et $f(x)=+\infty$ si $x\in A$, alors $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=+\infty$. En effet, la fonction $\phi(x)=+\infty \times \1_{A}(x)$ est une fonction \'etag\'ee v\'erifiant $\phi\leq f$, $\int_\Omega \phi(x) \mu(dx) = +\infty$. D'o\`u $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=+\infty$ par la d\'efinition ci-dessus.

Nous avons donc que si $\int_\Omega f(x) \mu(dx) <+\infty$ alors il n'existe pas d'ensemble $A$ ayant les propri\'et\'es ci-dessus, ce qui veut donc dire que $f$ est finie presque partout.
\end{remark}


\begin{theorem}\label{theo:completion} Espace complet.\\ \index{Espace complet}
Soit $(\Omega, \A, \mu)$ un espace mesur\'e. Il existe une tribu $\B$ sur $\Omega$ et une mesure $\nu$ sur $\B$ telles que
\begin{itemize}
\item $\A\subset\B$
\item $\forall N \subset \Omega$ tel que $N\subset A$ avec $A\in \A$, $\mu(A)=0$, on a $N \in \B$ et $\nu(N)=0$.
\end{itemize}
La tribu $\B$ est alors appel\'ee tribu compl\'et\'ee \index{Tribu compl\'et\'ee} de $\A$ et $\nu$ est appel\'ee mesure compl\'et\'ee de $\mu$. Un espace mesur\'e $(\Omega, \A, \mu)$ pour lequel 
$$
[N\subset A \text{ avec } A\in \A,\ \mu(A)=0] \Rightarrow [N\in \A]
$$
est appel\'e un espace mesur\'e complet. 
\end{theorem}



\begin{theorem}\label{theo:int-nulle}
Soit  $(\Omega, \A, \mu)$ un espace mesur\'e et $f$ fonction mesurable  sur cet espace. Alors $f$ est p.p. nulle si et seulement si $\int_\Omega f(x) \mu(dx)=0$.
\end{theorem}

\begin{proof} Nous ne faisons la d\'emonstration que dans le cas $f\geq 0$.
\begin{itemize}
\item Si $f$ est p.p. nulle alors $\exists A \in \A$  tel que $\mu(A)=0$ et $f$ est nulle sur $A^c$.  Soit $\phi \in \mathcal{E}({f})$ et $B_1,\dots,B_p$ partition associ\'ee \`a $\phi$. On note $B_i'=B_i \cap A$ et $B_i''=B_i\cap A^c$, $\forall i \in \{1,\dots,p\}$. Les ensembles $B_1',\dots,B'_p,B''_1,\dots,B''_p$ sont deux \`a deux disjoints et $\phi$ est constante sur chacun d'entre eux. Pour $x\in B_i'$, on note $\phi(x)=c_i$. 
 Pour tout $x$ dans $B_1'',\dots,B_p''$, $f(x)=0$. Pour tout $i\in \{1,\dots p\}$, $\mu(B'_i)\leq \mu(A)$ (par proposition \ref{ex:comp}) donc  $\mu(B'_i)=0$. Donc 
$$
\int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx) = 0 \times \mu(B_1'') +\dots + 0 \times \mu(B_p'')+ c_1 \times \mu(B_1') + \dots + c_p \times \mu(B_p') = 0 \ .
$$
Cela est vrai pout toute $\phi \in  \mathcal{E}({f})$ donc $\int_{\Omega} f(x) \mu(dx) = 0$.
\item Si $\int_{\Omega} f(x) \mu(dx) = 0$. Soit $\epsilon > 0$, soit $A_\epsilon=\{ x \in \Omega: f(x) \geq \epsilon \}=f^{-1}([\epsilon,+\infty[)$. L'ensemble $ [\epsilon,+\infty[ $ appartien \`a $\B(\R)$ car c'est un intervalle. La fonction $f$ est mesurable donc $A_\epsilon \in \A$.  Soit $\phi$ \'etag\'ee telle que 
$$
\phi(x)
\begin{cases}
= 0 & \text{ si } x \in A_\epsilon^c\\ 
= \epsilon & \text{ si } x \in A_\epsilon\ .
\end{cases}
$$
L'ensemble $A_\epsilon^c$ appartient \`a $\A$. Pour tout $x$, $\phi(x) \leq f(x)$ donc
$$
0\leq \int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx)  \leq \int_{\Omega} f(x) \mu(dx) 
$$
donc $ \int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx)=0$. Par ailleurs, 
$$
\int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx)  = 0 \times \mu(A_\epsilon^c) + \epsilon \times \mu(A_\epsilon)
$$
donc $ \mu(A_\epsilon)= 0$. Les ensembles $A_{1/n}$ pour $n\in \N^*$ v\'erifient $A_{1/n} \subset A_{1/{n+1}}$. Donc par la proposition sur la r\'eunion croissante (proposition \ref{prop:croi}), $\mu(\{ x\in \Omega:f(x)>0\})= \mu(\cup_{n\geq 1} A_{1/n})=\lim_{n\geq +\infty} \mu(A_{1/n})=0$. Donc $f$ est nulle p.p.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{proposition}\label{prop:ensnegligeable}Int\'egrale sur un ensemble n\'egligeable.\\ 
Soit $(\Omega, \A, \mu)$ un espace mesur\'e. 
Soit $A \in \A$ n\'egligeable. Soit $f,g:\Omega \rightarrow \R$ mesurables. On suppose que $\int_{\Omega} f(x) \mu(dx)$ est d\'efinie (ce qui a lieu, par d\'efinition, quand $f^+$ et $f^-$ sont d'int\'egrales finies) ainsi que $\int_{\Omega} g(x) \mu(dx)$. On suppose que $f(x)=g(x)$ si $x\notin A$ (donc $f$ et $g$ sont preque partout \'egale). 
Alors
$$
\int_{A} f(x) \mu(dx) = 0\ ,
$$
$$
\int_{\Omega} f(x) \mu(dx) = \int_{\Omega} g(x) \mu(dx)\ .
$$
\end{proposition}

\begin{proof}

\begin{itemize}
\item Par d\'efinition, $$\int_{A} f(x) \mu(dx) = \int_\Omega f(x) \1_A(x) \mu(dx)\ .$$ Donc par le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, $\int_{A} f(x) \mu(dx) = 0$.
\item Par lin\'earit\'e, $\int_\Omega f(x) \mu(dx) - \int_\Omega g(x) \mu(dx) = \int_\Omega (f(x) - g(x)) \mu(dx)$. La fonction $f-g$ est nulle presque partout donc, par le th\'eor\`eme  pr\'ec\'edent $ \int_\Omega (f(x) - g(x)) \mu(dx) = 0 $. 
\end{itemize}
\end{proof}

On retient de la proposition pr\'ec\'edente que deux fonctions \'egales presque partout ont la m\^eme int\'egrale.




\chapter{Th\'eor\`emes limites}\label{chap:theolimit}

On se donne $(\Omega, \A,\mu)$ un espace mesur\'e complet. On supposera \`a partir de maintenant, pour des raisons techniques, que $\Omega$ est r\'eunion d\'enombrable d'\'el\'ements de $\A$ de mesure finie. On dit alors que $\Omega$ est $\sigma$-fini. 
\index{$\sigma$-fini}

\section{Stabilit\'e de la mesurabilit\'e par passage \`a la limite.}

\begin{theorem}\label{theo:stab}
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $\Omega \rightarrow \R$ une suite de fonctions mesurables positives. Alors $\sup_n f_n$ et $\inf_n f_n$ sont des fonctions mesurables.
\end{theorem}

\begin{proof}[D\'emonstration partielle]
On pose $f(x)=\sup_n f_n(x)$. Nous allons montrer que $\forall a \in \R$, $f^{-1}(]-\infty, a]) \in \A$. Cela est en fait suffisant pour montrer que $f$ est mesurable mais nous ne d\'emontrerons pas ce point.

Fixons donc $a \in \R$ et prenons $A=f^{-1}(]-\infty,a])$. On remarque que 
\begin{eqnarray*}
A&=&\{x\in\Omega : f(x) \leq a\}\\
&=&\{x\in\Omega : f_n(x) \leq a, \forall n\}\\
&= & \cap_{n\geq 0} \{x\in\Omega : f_n(x) \leq a\}\ .
\end{eqnarray*}
Pour tout $n$, $\{x\in\Omega : f_n(x) \leq a\}= f_n^{-1}(A) \in \A$ car $f_n$ est mesurable. La famille $\A$ est une tribu, elle est donc stable par intersection d\'enombrable donc $A \in \A$.
\end{proof}

\begin{definition}\index{Convergence!presque s\^ure}\label{def:convps}
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $\Omega \rightarrow \R$. On dit que $(f_n)$ convergence presque s\^urement vers $f$ (et on note  $f_n \convps f$) s'il existe $A$ n\'egligeable tel que $[x\notin A] \Rightarrow [f_n(x) \convn f(x)]$. 
\end{definition}

\begin{definition}\index{Convergence!simple}
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $\Omega \rightarrow \R$. On dit que  $(f_n)$ convergence simplement vers $f$ si $\forall x$, $f_n(x) \convn f(x)$. 
\end{definition}

\begin{remark}
La convergence simple implique la convergence presque s\^ure.
\end{remark}

\begin{corollary}\label{cor:stab}\index{Mesurabilite@Mesurabilit\'e}
Si on a une suite $(f_n)$ de fonctions $\Omega \rightarrow [0,+\infty[$ mesurables (positives) telle que  $f_n \convps f$ alors $f$ est mesurable.
\end{corollary}

\begin{proof}
On ne va faire la d\'emonstration que dans le cas o\`u $(f_n)$ converge simplement vers $f$. Pour tout $x$ et pour tout $n$, on pose $v_n(x)=\sup\{f_n(x),f_{n+1}(x),f_{n+2}(x),\dots\}$. Par le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, les fonctions $v_n$ sont mesurables. Pour tout $x$, \\
$f(x)=\inf \{ v_0(x), v_1(x), v_2(x),\dots  \}$. Donc par le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, $f$ est mesurable.
\end{proof}

\section{Th\'eor\`emes de convergence pour les int\'egrales.}

\begin{theorem}{Th\'eor\`eme de convergence monotone}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de convergence monotone}\\
Soit $(f_n)$ une suite croissante (c'est \`a dire que $\forall x$, $\forall n$, $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$) de fonctions mesurables positives $\Omega \rightarrow [0,+\infty[$ convergeant presque s\^urement vers une fonction $f$. Alors
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_\Omega f_n(x) \mu(dx) = \int_\Omega f(x) \mu(dx)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Soit $\alpha \in ]0,1[$. La suite $(\int_\Omega f_n(x) \mu(dx))$ est croissante (par 
 croissance de l'int\'egrale) donc elle a une limite $l \in [0,+\infty]$. Soit pour tout $n$, $A_n=\{ x \in \Omega: f_n(x) \geq \alpha  f(x) \}$. Pour tout $n$ et pour tout $x$, $f_n(x) \geq f_n(x) \1_{A_n}(x)$ donc
  \begin{equation}\label{eq:encadrement1}
 \int_\Omega f_n(x) \mu(dx) \geq  \int_\Omega f_n(x) \1_{A_n}(x)  \mu(dx) = \int_{A_n} f_n(x) \mu(dx) \geq \alpha \int_{A_n} f(x) \mu(dx)
 \end{equation}

  Montrons que 
  \begin{equation}\label{eq:convcroi}
  \int_{A_n} f(x) \mu(dx) \convn \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)\ .
  \end{equation}
   Soit $\epsilon >0$. Soit $\phi$ une fonction \'etag\'ee telle que $\phi \leq f$, $\int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx) \geq \int_\Omega f(x) \mu(dx) - \epsilon$ (il en existe par d\'efinition de l'int\'egrale).  Nous avons
  \begin{equation}\label{eq:int3}
  \int_\Omega \1_{A_n}(x) \phi(x) \mu(dx) \leq \int_\Omega f(x) \1_{A_n}(x) \mu(dx) \leq \int_\Omega f(x) \mu(dx)\ .
  \end{equation}
On suppose que $\phi$ se d\'ecompose sur une certaine partition $B_1,\dots,B_p$ : $$\phi(x)=\sum_{1\leq i \leq p} b_i \1_{B_i}(x)\ .$$ Alors $\forall n$,  $\phi \1_{A_n}$ est une fonction \'etag\'ee qui se d\'ecompose en 

$$
\phi(x)\1_{A_n}(x)=0 \times \1_{A_n^c}(x)+  \sum_{1\leq i \leq p} b_i \1_{B_i\cap A_n}(x)\ .
$$
 Et donc
\begin{equation}\label{eq:int1}
\int_\Omega \phi(x) \1_{A_n}(x) \mu(dx) = 0 \times \mu(A_n^c) + \sum_{1 \leq i \leq p} b_i \times \mu(B_i \cap A_n)
\end{equation}
   Pour tout $n$, nous avons $A_n\subset A_{n+1}$ et donc $\forall i$, $B_i\cap A_n \subset B_i \cap A_{n+1}$. Par la propri\'et\'e de convergence croissante de la mesure, 

   \begin{equation}\label{eq:int2}
   \mu(B_i \cap A_n) \convn \mu(\cup_{n\geq 0} (B_i \cap A_n))=\mu(B_i \cap \cup_{n\geq 0}A_n) \ .
   \end{equation}
   On remarque que $ \cup_{n\geq 0}A_n = \{ x \in \Omega : \exists n , f_n(x) \geq \alpha f(x) \} \supset \{ x\in \Omega : f_n(x) \convn f(x) \}$. Donc $ \{ x\in \Omega : f_n(x) \convn f(x) \}^c \supset ( \cup_{n\geq 0}A_n)^c$. Donc $0=\mu( \{ x\in \Omega : f_n(x) \convn f(x) \}^c ) \geq \mu( ( \cup_{n\geq 0}A_n)^c  ) $. Donc $ \mu( ( \cup_{n\geq 0}A_n)^c )=0$, $\mu(B_i \cap (\cup_{n\geq 0} A_n)^c)\leq \mu( ( \cup_{n\geq 0}A_n)^c)=0$. Puis $\mu(B_i) = \mu(B_i\cap  ( \cup_{n\geq 0}A_n)^c)+\mu(B_i\cap ( \cup_{n\geq 0}A_n))$ donc $ \mu(B_i)=\mu(B_i\cap  \cup_{n\geq 0}A_n)$. On d\'eduit donc de (\ref{eq:int1}) et (\ref{eq:int2})
   $$
   \int_\Omega \phi(x) \1_{A_n}(x) \mu(dx) \convn  \sum_{1 \leq i \leq p} b_i \times \mu(B_i ) = \int_\Omega \phi(x) \mu(dx)\ .
   $$
   Donc par (\ref{eq:int3})
   \begin{eqnarray*}
    \int_\Omega f(x) \mu(dx) - \epsilon & \leq &  \int_\Omega \phi(x) \mu(dx) \\
    &\leq& \liminf_{n\rightarrow +\infty}  \int_{A_n} f(x) \mu(dx) \\
    &\leq& \limsup_{n\rightarrow +\infty}  \int_{A_n} f(x) \mu(dx)\\
    & \leq&  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)
   \end{eqnarray*}
  Cela est vrai pour tout $\epsilon >0$ donc nous avons donc montr\'e (\ref{eq:convcroi}). Alors, par (\ref{eq:encadrement1}), 
  \begin{equation}\label{eq:int4}
  l\geq \alpha \int_\Omega f(x) \mu(dx)\ .
  \end{equation}
   Pour presque tout $x$, $f_n(x) \underset{n\rightarrow +\infty}\nearrow f(x)$ donc $f_n(x) \leq f(x)$. Soit $\forall n$, $\bar{f}_n$ d\'efinie par
  $$
  \bar{f}_n(x)
= 
  \begin{cases}
  f_n(x) & \text{ si } f_n(x) \leq f(x)\\
  0 & \text{ sinon }
  \end{cases}
  $$
  Les fonctions $f_n$ et $\bar{f}_n$ sont \'egales presque partout donc leurs int\'egrales sont \'egales. La fonction $\bar{f}_n$ v\'erifie $\bar{f}_n(x) \leq f(x)$ ($\forall x$) donc en particulier
   $$
   \int_\Omega f_n(x) \mu(dx) = \int_\Omega \bar{f}_n(x) \mu(dx) \leq \int_\Omega f(x) \mu(dx)\ .$$ Donc
  $$
  \int_\Omega f(x) \mu(dx)\geq l \ .
  $$
  Et comme l '\'equation (\ref{eq:int4}) est vraie pour tout $\alpha \in ]0,1[$, ceci finit la d\'emonstration.

\end{proof}

\begin{theorem}{Lemme de Fatou}\index{Lemme de Fatou}\\
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions mesurables positives. On note $f=\liminf_{n\rightarrow +\infty} f_n$. Alors $f$ est mesurable positive et 
$$
\int_{\Omega} f d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow +\infty}  \int_{\Omega} f_n d\mu
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Par d\'efinition de la $\liminf$, nous avons pour tout $x$, $$f(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left( \inf_{k\geq n} f_k(x) \right)$$ (cette limite existe dans $[-\infty,+\infty[$ car c'est la limite d'une suite d\'ecroissante). Par le th\'eor\`eme \ref{theo:stab}, les fonctions $x \mapsto  \inf_{k\geq n} f_k(x)$ sont mesurables pour tout $n$. Par le corollaire \ref{cor:stab}, la fonction $f$ est mesurable. 

Soit $m\geq 1$. Soit pour tout $n$, $A_n=\{ x: \forall p \geq n, f_p(x) \geq (f(x)-\frac{1}{m})_+\}$. Pour tout $x$, $\exists N\in \N$ tel que $n\geq N \Rightarrow f_n(x) \geq f(x) -\frac{1}{m}$. Nous avons donc $\underset{n\geq 1}{\cup}A_n=\Omega$. On remarque que pour tout $n$, $A_n\subset A_{n+1}$. Et donc pour tout $x$, 
$$
\left(f(x) -\frac{1}{m}  \right)_+ \1_{A_n}(x) \underset{n\rightarrow +\infty}{\nearrow} \left( f(x)-\frac{1}{m} \right)_+\ .
$$
Donc, par th\'eor\`eme de convergence monotone, $$\int_{\Omega} \left( f(x) -\frac{1}{m}\right)_+ \1_{A_n}(x) \mu(dx)  \convn \int_{\Omega} \left( f(x)  -\frac{1}{m}\right)_+  \mu(dx)\ .$$
Pour tout $n$, nous avons 
$$
\int_{\Omega} f_n(x) \mu(dx) \geq \int_{\Omega} f_n(x) \1_{A_n}(x) \mu(dx) \geq \int_{\Omega} \left( f(x) -\frac{1}{m}\right)_+ \1_{A_n}(x) \mu(dx)
$$
et donc 
$$
\liminf_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} f_n(x) \mu(dx) \geq  \int_{\Omega} \left( f(x)  -\frac{1}{m}\right)_+  \mu(dx)\ .
$$
Nous avons pour tout $x$, $\left( f(x)-\frac{1}{m}\right)_+ \underset{m\rightarrow _\infty}{\nearrow}f(x)$. Donc, par th\'eor\`eme de convergence monotone, $\int_{\Omega} \left( f(x)-\frac{1}{m}\right)_+  \mu(dx) \underset{m\rightarrow _\infty}{\longrightarrow} \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)$. Et donc
$$
\liminf_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} f_n(x) \mu(dx) \geq  \int_{\Omega} f(x) \mu(dx)\ .
$$

\end{proof}


\begin{theorem}{Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee (appel\'e aussi th\'eor\`eme de Lebesgue)} \index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de convergence domin'ee}
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions mesurables sur $\Omega$. Si~:
\begin{itemize}
 \item il existe $g$ positive mesurable et int\'egrable telle que $\forall n\in \N$, $\forall x\in \Omega$, $|f_n(x) |\leq g(x)$
\item et $f_n \convps f$ 
\end{itemize}
alors 
\begin{itemize}
 \item $\int_{\Omega} |f(x)| \mu(dx) <\infty$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} |f_n(x)-f(x)| \mu(dx) =0$\ .
 \end{itemize}
Ce qui implique en particulier
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega } f_n(x) \mu(dx) = \int_{\Omega}f(x) \mu(dx)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
 Pour simplifier la d\'emonstration, nous allons suppose que $(f_n)$ converge simplement vers $f$. Nous avons alors pour tout $x$, $|f(x)|\leq g(x)$, donc $\int_{\Omega} |f(x)| \mu(dx) <\infty$. Pour tout $x$, $2g(x)-|f(x)-f_n(x)|\geq 0$ et $\liminf_{n\rightarrow +\infty} (2g(x)-|f(x)-f_n(x)|)= 2g(x)$ donc par le lemme de Fatou
\begin{eqnarray*}
 \liminf_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} (2g(x) - |f(x)-f_n(x)|) \mu(dx) &\geq& \int_{\Omega} 2g(x) \mu(dx)\  .
\end{eqnarray*}
Mais par lin\'earit\'e de l'int\'egrale, $$\liminf_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} (2g(x) - |f(x)-f_n(x)|) \mu(dx)= \int_{\Omega} 2g(x) \mu(dx) - \limsup_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} |f(x)-f_n(x)|\mu(dx)\ .$$ Donc
\begin{eqnarray*}
 \limsup_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} |f(x)-f_n(x)|\mu(dx) &=& 0\\
\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{\Omega} |f(x)-f_n(x)|\mu(dx) &=& 0\ .
\end{eqnarray*}
Puis
\begin{eqnarray*}
\left|   \int_{\Omega } f_n(x) \mu(dx) -  \int_{\Omega}f(x) \mu(dx)  \right| & = & \left| \int_\Omega f(x) - f_n(x) \mu(dx) \right|\\
\text{ (par lemme \ref{lem:valabsolue}) } & \leq & \int_\Omega |f(x) - f_n(x) | \mu(dx) \convn 0 \ .
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{example}\index{Integration@Int\'egration sur $\N$}\label{ex:intdiscrete}
 Soit l'espace mesur\'e $(\N,\mathcal{P}(\N),\text{card})$. Soit $f(k)=\frac{1}{(k+1)^2}$ et pour tout $n\geq 0$, $f_n(k)=\frac{1}{(k+1)^2}\1_{k\leq n}$. Pour tout $k$, $f_n(k) \underset{n\rightarrow +\infty}{\nearrow} f(x)$. Fixons $n\geq 0$, la fonction $f_n$ est \'etag\'ee et son int\'egrale vaut
\begin{eqnarray*}
\int_{\N} f_n(x) \text{card}(dx) &= &\frac{1}{1} \times \text{card}(\{0\}) +\frac{1}{2^2} \times \text{card}(\{1\}) + \dots \\
&& \dots + \frac{1}{(n+1)^2} \times \text{card}(\{n\}) + 0 \times \text{card}(\{n+1,n+2,\dots\})\\
&=& \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^2}\ .
\end{eqnarray*}
Par th\'eor\`eme de convergence monotone, 
$$
\int_{\N} f_n(x) \text{card}(dx) \convn \int_{\N} f(x) \text{card}(dx)
$$
et donc
$$
\int_{\N} f(x) \text{card}(dx) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^2}\ .
$$
On peut ainsi montrer que pour n'importe quelle fonction $g:\N \rightarrow \R^+$,
$$
\int_{\N} g(x) \text{card}(dx) = \sum_{k=0}^{+\infty} g(k)
$$
et donc, pour l'espace mesur\'e $(\N,\mathcal{P}(\N),\text{card})$, calculer une int\'egrale d'une fonction positive  revient \`a faire la somme d'une s\'erie.
\end{example}

\begin{example}
  Soit l'espace mesur\'e $([0,1], \mathcal{B}([0,1]),\lam)$. Soient les fonctions (pour $n\geq 1$)
$$
\begin{array}{rcrcl}
 f_n&:& [0,1] &\rightarrow& \R^+\\
&& x &\mapsto& 1-x^{1/n}
\end{array}
$$
Pour tout $x\in ]0,1]$, $\lim_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) = 0$ et $f_n(0)=1$ pour tout $n\geq 1$. Donc $f_n \convps f$ (sur $[0,1]$) avec $f$ la fonction nulle. Pour tout $n\geq 1$, $|f_n(x)| \leq 1$ qui est une fonction int\'egrable sur $[0,1]$. En effet
$$
\int_{[0,1]}1 dx = 1 <\infty\ .
$$
 Donc, par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, 
$$
\int_{[0,1]} f_n(x) \mu(dx)  \convn 0\ .
$$
\end{example}

\section{Int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre}\index{Integrale@Int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre}

Soit $f:\R\times \R \rightarrow \R$, on d\'efinit une fonction $F(u)=\int_{\R} f(u,x) \lam(dx)$. Cette fonction $F$ s'appelle, suivant les auteurs, une \og int\'egrale \`a param\`etre \fg, \og int\'egrale d\'ependant d'un param\`etre \fg , \dots \quad Dans cette partie, nous allons d\'emontrer diverses propri\'et\'es  des int\'egrales \`a param\`etre \`a l'aide du th\'eor\`eme de convergence domin\'ee.

\begin{theorem}{Continuit\'e sous l'int\'egrale}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de continuit\'e sous l'int\'egrale}\\
Soit $f:\R\times \R \rightarrow \R$ telle que 
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\forall u \in \R$, $x\mapsto f(u,x)$ est mesurable
\item $\exists u_\infty$ tel que  pour presque tout $x$, $u\mapsto f(u,x)$ est continue en $u_\infty$
\item $\exists g$ positive int\'egrable telle que $\forall u \in \R$, $|f(u,x)|\leq g(x)$\ . 
\end{enumerate}
Alors la fonction $F$ d\'efinie par $F(u)=\int_\R f(u,x) \lam(dx) $ est d\'efinie en tout point $u\in \R$ et est continue en $u_\infty$.
\end{theorem}

\begin{proof}
  Il suffit de montrer que $F(u_n)\convn F(u_\infty)$ pour toute suite $(u_n)_{n\geq 0}$ convergeant vers $u_\infty$. Prenons donc une telle suite $(u_n)_{n\geq 0}$. Posons $\forall n$, $f_n(x)=f(u_n,x)$. Nous avons $f_n \convps h$ avec $h(x):=f(u_\infty,x)$ par (ii). Les fonctions $f_n$ sont mesurables par (i). Par (iii), nous avons $\forall n$, $\forall x$, $|f_n(x)| \leq g(x)$ avec $g$ int\'egrable.  Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee,
$$
F(u_n)=\int_\R f_n(x) \lam(dx) \convn \int_\R h(x) \lam(dx) = F(u_\infty)\ .
$$
\end{proof}

\begin{corollary}{Th\'eor\`eme de continuit\'e \og globale \fg sous l'int\'egrale} \index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de continuit\'e globale sous l'int\'egrale}\\
 Soit $f:\R\times \R \rightarrow \R$ telle que 
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\forall u \in \R$, $x\mapsto f(u,x)$ est mesurable
\item  pour presque tout $x$, $u\mapsto f(u,x)$ est continue 
\item $\exists g$ positive int\'egrable telle que $\forall u \in \R$, $|f(u,x)|\leq g(x)$\ . 
\end{enumerate}
Alors la fonction $F$ d\'efinie par $F(u)=\int_\R f(u,x) \lam(dx) $ est d\'efinie et continue en tout point $u\in \R$.
\end{corollary}

\begin{remark}
 Ces th\'eor\`emes restent vrais si on remplace $u \in \R$ par $u\in I$ avec $I$ intervalle ouvert de $\R$.
\end{remark}


\begin{example}\label{ex:conv1}Convolution \index{Convolution}\index{$\star$}\\
Soit $f:\R\rightarrow \R$ int\'egrable et $\phi:\R\rightarrow \R$ born\'ee et continue. La convol\'ee de $f$ et $\phi$ est d\'efinie par 
$$
u\mapsto (f \star \phi)(u):=\int_\R \phi(u-x) f(x) \lam(dx)\ 
$$ 
Notons $h(u,x)=\phi(u-x) f(x)$. Pour tout $x$, $u\mapsto \phi(u-x) f(x) $ est continue. Pour tout $u$, $|\phi(u-x) f(x) | \leq \Vert \phi \Vert_\infty |f(x)|$ et $\int_\Omega  \Vert \phi \Vert_\infty |f(x)| \lam(dx) <\infty$ par hypoth\`ese. On rappelle que $\Vert \phi \Vert_\infty:=\sup_{v\in \R} \phi(v)$.\index{$\Vert. \Vert_\infty$} Pour tout $u \in \R$, $x\mapsto \phi(u-x) f(x)$ est mesurable comme produit de fonctions mesurables. Donc par le th\'eor\`eme de continuit\'e globale, $f\star \phi$ est continue sur $\R$.
\end{example}

\begin{theorem}{D\'erivation sous l'int\'egrale}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de d\'erivation sous l'int\'egrale}\\
 Soit $I$ un intervalle ouvert non vide de $\R$, $u_\infty \in I$. Soit $f:I\times \R \rightarrow \R$ telle que 
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\forall u \in I$, $x\mapsto f(u,x)$ est int\'egrable
\item  pour presque tout $x$, $\frac{\partial f}{\partial u } (u_\infty,x)$ existe
\item $\exists g$ positive int\'egrable telle que $\forall u \in I$, $\forall x \in \R$, $|f(u,x)-f(u_\infty,x)|\leq g(x) |u-u_\infty|$\ .
\end{enumerate}
Alors  $F(u):=\int_\R f(u,x) \lam(dx)$ existe pour tout $u\in I$ et est d\'erivable en $u_\infty$. De plus
$$
F'(u_\infty)=\int_\R \frac{\partial f}{\partial u } (u_\infty,x) \lam(dx)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
L'existence de $F$ est assur\'ee par (i).

 En ce qui concerne la d\'erivation, il suffit de montrer que pour toute suite $(u_n)_{n\geq 0}$ convergeant vers $u_\infty$ avec $\forall n$, $u_n\neq u_\infty$, $\frac{F(u_n)-F(u_\infty)}{u_n-u_\infty} \convn \int_\R \frac{\partial f}{\partial u } (u_\infty,x) \lam(dx)$. Prenons donc une telle suite $(u_n)_{n\geq 0}$. Posons $\forall n$
$$
\phi_n(x)=\frac{f(u_n,x)-f(u_\infty,x) }{u_n-u_\infty }\ .
$$
Par (ii), $\phi_n \convps  \frac{\partial f}{\partial u } (u_\infty,.)$. Par (iii), nous avons pour p.t. $x$, $|\phi_n(x)|\leq g(x)$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, 
$$
\frac{F(u_n)-F(u_\infty)}{u_n-u_\infty} = \int_\R \frac{f(u_n,x)-f(u_\infty,x) }{u_n-u_\infty } \lam(dx) \convn \int_\R \frac{\partial f}{\partial u } (u_\infty,x) \lam(dx)\ .
$$
\end{proof}



\begin{corollary}\label{cor:derivationglobale}{D\'erivation \og globale \fg sous l'int\'egrale}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de d\'erivation globale sous l'int\'egrale}\\
 Soit $I$ un intervalle ouvert non vide de $\R$, $u_\infty \in I$. Soit $f:I\times \R \rightarrow \R$ telle que 
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\exists u_0 \in I$, $x\mapsto f(u_0,x)$ est int\'egrable
\item pour p.t. $x$, $u\mapsto f(u,x)$ est d\'erivable sur $I$
\item $\forall x$, $\forall u$, $\left| \frac{\partial f}{\partial u }(u,x) \right| \leq g(x)$ avec $g$ int\'egrable\ .
\end{enumerate}
Alors $F(u):=\int_\R f(u,x) \lam(dx)$ existe et est d\'erivable sur $I$. De plus
$$
F'(u)=\int_\R  \frac{\partial f}{\partial u } (u,x) \lam(dx)\ .
$$
\end{corollary}

\begin{proof}
Pour tout $u\in I$,
\begin{eqnarray*}
|f(u,x)|&\leq& |f(u_0,x)| + | f(u,x) - f(u_0,x)|\\
&\leq &|f(u_0,x)| + |u-u_0| \sup_{v\in [u,u_0]}  \left| \frac{\partial f}{\partial u }(v,x)\right|\\
&\leq & f(u_0,x)| + |u-u_0| g(x)\ .
\end{eqnarray*}
Donc, par (i) et (iii),  $F$ est bien d\'efinie. Pour tous $u,u_\infty \in I$, pour tout $x$, 
\begin{eqnarray*}
 |f(u,x)-f(u_\infty,x)| &\leq& |u-u_\infty| \sup_{v\in [u,u_0]}  \left| \frac{\partial f}{\partial u }(v,x)\right|\\
&\leq & g(x) |u-u_\infty|
\end{eqnarray*}
par (iii). Et le th\'eor\`eme pr\'ec\'ecent finit la d\'emonstration.

\end{proof}

\begin{example}
 Soit, pour $u>0$,  $F(u)=\int_0^{+\infty} e^{-u t} \times \frac{\sin(t)}{t} dt$. La fonction $x\mapsto e^{-1\times t} \times\frac{\sin(t)}{t}$ est int\'egrable sur $]0,+\infty[$ car $\left|  e^{-1\times t} \times\frac{\sin(t)}{t} \right| \leq e^{-t}$ (car $\left|\frac{\sin(t)}{t}  \right|\leq 1$). Pour tout $t>0$, $u\mapsto e^{-u t} \times \frac{\sin(t)}{t}$ est d\'erivable sur $]0,+\infty[$ et $\frac{\partial}{\partial u} \left(e^{-u t} \times \frac{\sin(t)}{t}  \right) = -e^{-ut} \sin(t)$. 

 Soit $\epsilon>0$. Pour tout $u>\epsilon$,  $\left| -e^{-ut}  \sin(t) \right| \leq e^{-\epsilon t}$ (car $|\sin(t)|\leq 1$) qui est int\'egrable sur $]0,+\infty[$. Donc par th\'eor\`eme de d\'erivation globale, nous avons pour $u> \epsilon$
$$
F'(u)=\int_0^{+\infty} -e^{-ut} \sin(t) dt\ .
$$
Cela est vrai $\forall \epsilon >0$ donc $\forall u >0$, $F'(u)=\int_0^{+\infty} -e^{-ut} \sin(t) dt$. Calculons
\begin{eqnarray*}
 F'(u) & = & \left[e^{-ut}\cos(t) \right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} u e^{-ut}\cos(t)dt \\
&=& -1+\left[ ue^{-ut} \sin(t)\right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} u^2 e^{-ut} \sin(t)dt\\
&=& -1-u^2 F'(u)\ .
\end{eqnarray*}
Donc $F'(u)=\frac{-1}{1+u^2}$. Donc il existe une constante $C$ telle que $F(u)=C-\arctan (u)$.  Posons pour $n\in \N^*$, $f_n(t)=\exp(-nt)\frac{\sin(t)}{t}$. Les fonctions $f_n$ sont mesurables. Pour tout $t>0$, $f_n(t) \convn 0$ et $|f_n(t)|\leq  e^{-t} \times 1$ qui est int\'egrable sur $[0,+\infty[$. Donc, par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, $F(n)= \int f_n(t) \mu(dt)   \convn 0$. Nous avons $\lim_{n\rightarrow +\infty} \arctan(n)=\frac{\pi}{2}$ donc $C=\frac{\pi}{2}$. Donc
$$
F(u)=\frac{\pi}{2}-\arctan(u)\ .
$$
\end{example}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item Calculer les limites suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \sin\left( \frac{1}{nx}\right) dx$
\item $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n dx$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}  \int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} dx$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1+\cos ^{2n} (x)} e^{-|x|} dx$.
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} \arctan (x/n) e^{-x} dx$
\end{enumerate}

\item On pose~: $I(\alpha)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} dx$ pour $n\in \N$ et $\alpha \in \R$.
\begin{enumerate}
\item On pose pour $n \in \N$, $f_n:\R^+\rightarrow \R$ telle que $f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} \1_{x\leq n}$.
Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ est une suite croissante de fonctions. (On pourra notamment \'etudier~:
$g_n(x)=(n+1)\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right) - n\ln\left( 1-\frac{x}{n}\right)$.)
 \item En d\'eduire la valeur de $I(\alpha)$ en
fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}



\item Soit $\mu$ la mesure de comptage ("Card") sur $(\N,\mathcal{P}(N))$. Pour toute suite $(u_n)_{n\geq 0}$, on a~: $\sum_{n\geq 0} u_n = \int_{\N} u_n d\mu$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim_{k \rightarrow +\infty } \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\right]$.
\item Calculer $\lim_{k \rightarrow +\infty} \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{\sin(n/k)}{2^n}\right]$.
\end{enumerate}

\item \label{exo:jensen} \index{Inegalite@In\'egalit\'e!de Jensen}In\'egalit\'e de Jensen.\\
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesur\'e avec $\mu(E)=1$. Soit  $\phi: \R \rightarrow \R^+$
 convexe et d\'erivable deux fois (et donc $\phi''\geq 0$). Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesur\'e avec $\mu(E)=1$. Soit $f:(E,\mathcal{A})
\rightarrow (\R,\mathcal{B}(R))$ mesurable et telle que $\int_E f(x) d\mu(x)<+\infty$.
 \begin{enumerate}
\item Montrer que  $\forall z,y \in I$ avec $z\leq y$, $\phi(y) \geq \phi(z)+\phi'(z)(y-z)$
\item En prenant  $z=\int_E f(t) d\mu(t)$ et $y=f(x)$ dans l'inegalit\'e pr\'ec\'edente, montrer que~:
$$
\phi\left( \int_E f(x) d\mu(x) \right) \leq \int_E \phi \circ f (x) d\mu(x).
$$
\item En d\'eduire que pour toute fonction $f:[0,1]\rightarrow \R$ telle que $\int_0^1 |f(x)| dx < +\infty$~:
$$\left( \int_0^1 |f(x)| dx \right)^2 \leq \int_0^1 f(x)^2 dx  .$$
\end{enumerate}



\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall z\geq 0$, $0\leq 1-e^{-z}\leq z$.
\item En d\'eduire que $\forall y >0$, $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable sur $[0,+\infty[$.
\item Pour tout $y>0$, on pose

$$
F(y)=\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} dx\ .
$$
Montrer que $F$ est d\'erivable sur $]0,+\infty[$. Calculer $F'(y)$. On rappelle que $$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx =\sqrt{\pi}/2\ .$$
\item En d\'eduire $F(y)$ \`a une constante pr\`es.
\item Calculer cette constante en regardant $\lim_{n\rightarrow +\infty} F(1/n)$.
\end{enumerate}

%\item
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $\int \int_{[0,+\infty[\times [0,+\infty[} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dxdy = \frac{\pi^2}{4}$. Pour cela, %on int\`egregra d'abord sur $x$.
%\item En d\'eduire que~:
%$$\int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{1+x^2} dx = \frac{\pi^2}{4}\ .$$
%Pour cela, on int\`egregra la double int\'egrale ci-dessus d'abord par rapport \`a $y$. Indication, on v\'erifiera que %pour $x\neq 1$~:
%$$\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}=\frac{1}{1-x^2}\left(\frac{1}{1+y}-\frac{x^2}{1+x^2y} \right)\ .$$
%\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in ]0,1]$, $\left|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin(1/nx)\right|\leq \frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\frac{1}{\sqrt{x}}  $ int\'egrable sur $[0,1]$.  $\forall x\in ]0,1]$, $$ \frac{1}{\sqrt{x}} \sin(1/nx) \convn 0$$ donc par convergence domin\'ee $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left( \frac{1}{nx}\right) dx=0$

\item $\forall x \in [0,1]$, $\left| \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n \right| \leq 1$ et la fonction constante \'egale \`a $1$ est int\'egrable sur $[0,1]$. On a $\forall x \in [0,1]$, $\left( 1 - \frac{x}{n} \right)^n = \exp(n\log(1-\frac{x}{n})  )=\exp(n(-x/n+\text{o}(1/n)))=\exp(-x+\text{o}(1)) \convn  e^{-x}$ par continuit\'e de la fonction exponentielle.
Donc par convergence domin\'ee, $$\int_0^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n dx \convn \int_0^{+\infty} e^{-x} dx=1\ .$$

\item $\forall x\in \R$, $|\sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)}| \leq \frac{1}{(1+x^2)}$ qui est une fonction int\'egrable sur $]-\infty,+\infty[$. $\forall x\in \R$, $\sin\left(\frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} \convn \frac{1}{(1+x^2)}$ car $\sin(u)\underset{u\rightarrow 0}\sim u$ donc par convergence domin\'ee,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}  \int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} dx = \int_{-\infty}^{+\infty}  \frac{1}{(1+x^2)}dx = [\arctan(x)]_{-\infty}^{+\infty} = \pi\ .$$

\item $\forall x \in \R$, $$e^{1+\cos^{2n} (x)} e^{-|x|}\leq e^{2-|x|}$$ qui est une fonction int\'egrable sur $\R$.Pour tout $x \in \R$, $e^{1+\cos^{2n} (x)} e^{-|x|} \convn e^{1-|x|}$ donc par convergence domin\'ee,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1+\cos ^{2n} (x)} e^{-|x|} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1-x}dx = 2 e^1 \ .$$
\item $\forall x\geq 0$, $\arctan (x/n) e^{-x}\leq (\pi/2) e^{-x}$ qui est une fonction int\'egrable sur $[0,+\infty[$. Pour tout $x\geq 0$, $  \arctan (x/n) e^{-x} \convn 0$ donc  par convergence domin\'ee,
 $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} \arctan (nx) e^{-x} dx=0\ .$$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a pour $0\leq x\leq n$, $f_{n+1}(x)/f_n(x) = \exp( g_n(x))$. $$g_n'(x)=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\frac{x}{(1-x/n)(1-x/(n+1)}\geq 0$$ pour $0\leq x\leq n$ donc $g_n$ croissante sur $[0,n]$. $g_n(0)=0$ donc $g_n(x)\geq 0$ $\forall x \in [0,n]$. Donc $f_{n+1}(x)\geq f_n(x)$ $\forall x \in [0,n]$. C'est \'egalement vrai sur $[n,+\infty]$ donc $f_n$ suite de fonctions croissante.
\item On a $\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} dx = \int_0^{+\infty} f_n(x) dx$. $\forall x \geq 0$, $f_n(x) \convn e^{-x+\alpha x}dx$ donc par convergence monotone, $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) dx=\int_0^{+\infty} e^{-x+\alpha x}dx$, donc~:
$$
I(\alpha)
\begin{cases}
+\infty & \text{ si } \alpha\geq 1\\
\frac{1}{-1+\alpha}& \text{ sinon}\ .
\end{cases}
$$
\end{enumerate}



\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n,k$, $0\leq \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\leq  \frac{1}{3^n}$ qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. Pour tout $n$, $\frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right) \underset{k\rightarrow +\infty}\longrightarrow \frac{1}{3^n}$ donc par convergence domin\'ee~:
$$
\lim_{k \rightarrow +\infty } \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n} =\frac{3}{2}\ .
$$
\item Pour tout $n,k$, $\left|\frac{\sin(n/k)}{2^n}\right|\leq \frac{1}{2^n} $ qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. Pour tout $n$, $\frac{\sin(n/k)}{2^n} \underset{k\rightarrow +\infty}\longrightarrow 0$ donc par convergence domin\'ee~:
$$
\lim_{k \rightarrow +\infty} \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{\sin(n/k)}{2^n}\right] = 0\ .
$$
\end{enumerate}


\item In\'egalit\'e de Jensen.
\begin{enumerate}
\item $\forall z,y \in I$ avec $z\leq y$, $\phi(y)-\phi(z)=\int_{z}^y \phi'(t) dt \geq \int_{z}^y \phi'(z) dt$ (car $\phi$ convexe), donc $\phi(y)-\phi(z) \geq \phi'(z)(y-z)$
\item On prend $z=\int_E f(t) d\mu(t)$ et $y=f(x)$ dans l'inegalit\'e pr\'ec\'edente et on a~:
$$
\phi(f(x))\geq \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) + \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)\left( y- z \right)\ .
$$
On int\`egre ensuite par rapport \`a $d\mu(x)$~:
\begin{eqnarray*}
\int \phi(f(x)) d\mu(x) &\geq &\int \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) d\mu(x)\\
&&~~~ + \int \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)(y-z) d\mu(x)\\
& = & \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) \\
&&~~~+ \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) \left( \int f(x) d\mu(x) - \int f(x) d\mu(x)\right)\\
& = &\phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)\ .
\end{eqnarray*}
\item La fonction $\phi:x\in [0,1]\mapsto x^2$ est convexe. Donc par le r\'esultat pr\'ec\'edent, pour toute fonction $f:[0,1]\rightarrow \R$ int\'egrable,
$$
\left( \int_0^1 |f(x)| dx \right)^2 \leq \int_0^1 f(x)^2 dx  .
$$
\end{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item $0\leq 1-e^{-z}=\int_0^z e^{-t} dt\leq \int_0^z 1 dt =z$
\item  Par la question pr\'ec\'dente, $\forall y>0$, $0\leq \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \leq y$ et $\leq \frac{1}{x^2}$ donc $0\leq \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \leq \inf(1,1/x^2)$ donc $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable
\item Soit $\epsilon >0$,
\begin{itemize}
\item $\forall y >\epsilon$, $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable
\item $\forall x>0$ (et donc pour presque tout $x\geq 0$), $y\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est d\'erivable
\item $\forall x>0$, $\forall y>\epsilon$,  $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \right)=e^{-x^2 y} $ et $|e^{-x^2 y}|\leq e^{-\epsilon x^2}$ qui est int\'egrable sur $[0,+\infty[$
\end{itemize}
Donc (th\'eor\`eme de d\'erivation globale) $F$ est d\'erivable sur $]\epsilon,+\infty[$ et $F'$ vaut:

$$
F'(y)=\int_0^{+\infty} e^{-x^2 y}dx
$$
Cela est vrai $\forall \epsilon > 0$ donc cette d\'eriv\'ee est valable pour tout $y\in ]0,+\infty[$.
Par changement de variable ($u=\sqrt{y}x$), $F'(y)=\frac{1}{\sqrt{y}} \int_0^{+\infty} e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{y}}$.
\item On en d\'eduit $F(y)=\sqrt{\pi y} +C$ pour une certaine constante $C$.
\item $F(1/n)=\int_0^{+\infty} f_n(x) dx $ avec $f_n(x)=\frac{1-e^{-x^2 /n}}{x^2}$. Pour tout $x>0$, $f_n(x)\convn 0$. Pour tout $x>0$, $|f_n(x)| \leq \inf(1,1/x^2)$ (voir question 1). Donc, par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee~:

$$
F(1/n) \convn 0
$$
donc $C=0$.
\end{enumerate}



\end{enumerate}


\chapter{Mesure produit et th\'eor\`emes de Fubini}
\index{Fubini}

On se donne deux espaces mesur\'es $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ et $(\Omega',\mathcal{A}',\mu')$.

\section{Th\'eor\`emes de Fubini et Fubini-Tonelli}

\begin{theorem}\index{Mesure produit}\index{Tribu, plus petite}
 Sur l'ensemble $\Omega\times \Omega'$, il existe une \og plus petite tribu \fg  \quad $\mathcal{C}$ contenant tous les ensembles de la forme $A\times B$ avec $A\in \mathcal{A}$, $B\in \A'$. On note $\mathcal{C}=\A \otimes \A'$. \index{$\otimes$}

Il existe une unique mesure, not\'ee $\mu\otimes \mu'$ sur $\mathcal{C}$ telle que, si $(A,A') \in \A \times \A'$, $\mu\otimes \mu'(A\times A')=\mu(A)\mu'(A')$.
\end{theorem}

\begin{definition}\index{Mesure produit}\index{Tribu produit}
 La mesure $\mu \otimes \mu'$ d\'efinie par le th\'eor\`eme ci-dessus s'appelle la mesure produit de $\mu$ et $\mu'$. La tribu $\mathcal{C}$  d\'efinie par le th\'eor\`eme ci-dessus s'appelle la tribu produit.
\end{definition}

\begin{definition}
 On notera $\B(\R^d)$ la tribu $\B(\R) \otimes \dots \otimes \B(\R)=\B(\R)^{\otimes d}$ (produit $d$ fois). \index{Tribu des Bor\'eliens}

La mesure $\lam \otimes \lam $ sur $\B(\R^2)$ mesure les aires, la mesure $\lam \otimes \lam \otimes \lam = \lam^{\otimes 3}$ sur $\B(\R^3)$ mesure les volumes, \dots
\end{definition}

\begin{theorem}{Th\'eor\`eme de Fubini-Tonelli}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de Fubini Tonelli}\\
 Soit $f:\Omega \times \Omega' \rightarrow [0,+\infty]$ mesurable positive. On d\'efinit les fonctions $\phi$ et $\psi$ sur $\Omega$ et $\Omega'$ respectivement par
$$
\phi(x)=\int_{\Omega'} f(x,y) \mu'(dy),\ \psi(y)=\int_\Omega f(x,y) \mu(dx)\ .
$$
Ces fonctions sont mesurables positives et v\'erifient
$$
\int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx) = \int_{\Omega\times \Omega'} f(x,y) \mu \otimes \mu'(dx,dy) = \int_{\Omega'} \psi(y) \mu'(dy)
$$
(et cette quantit\'e $\in [0,+\infty]$).
\end{theorem}
On retient que pour des fonctions positives, on peut intervertir l'ordre des int\'egrations.

\begin{theorem}{Th\'eor\`eme de Fubini (ou Fubini-Lebesgue)}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de Fubini}\\
 Soit $f:\Omega \times \Omega' \rightarrow  \R \cup \{+\infty,-\infty\}$ une fonction mesurable. On d\'efinit les fonction $f_1$ et $f_2$ sur $\Omega$ et $\Omega'$ respectivement par
$$
f_1(x)=\int_{\Omega'} |f(x,y)| \mu'(dy),\ f_2(y)=\int_\Omega |f(x,y)| \mu(dx)\ .
$$
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Si l'un des fonctions $f_1$ ou $f_2$ est int\'egrable alors l'autre l'est aussi et dans ce cas, $f$, $\phi$ et $\psi$ sont int\'egrables. De plus, nous avons alors
$$
\int_{\Omega} \phi(x) \mu(dx) = \int_{\Omega\times \Omega'} f(x,y) \mu \otimes \mu'(dx,dy) = \int_{\Omega'} \psi(y) \mu'(dy)\ .
$$
\item Si $f$ est int\'egrable (contre la mesure $\mu\otimes \mu'$) alors $f_1$ et $f_2$ sont int\'egrables et nous avons encore l'\'egalit\'e ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{example}
 Soit
$$
\begin{array}{rcrcl}
 f&:& [0,1]\times[0,1] & \rightarrow & \R^+\\
&& (x,y) & \mapsto & e^{-(x+y)} \1_{x+y \leq 1}\ .
\end{array}
$$
Cette fonction est mesurable positive. Par Fubini-Tonelli
\begin{eqnarray*}
 \int_{[0,1]\times[0,1]} f(x,y) \lam \otimes \lam (dx,dy)&=& \int_0^1 \left(\int_0^1 e^{-(x+y)} \1_{x+y\leq 1} dx  \right) dy\\
&=& \int_0^1 e^{-y} \left( \int_0^1 e^{-y} \1_{x+y \leq 1} dx \right) dy\\
&=& \int_0^1 e^{-y} \left( \int_0^{1-y} e^{-x} dx \right) dy\\
&=& \int_0^1 e^{-y} \left(  1-  e^{-(1-y)} \right)dy\\
&=& \int_0^1 e^{-y} - e^{-1} dy\\
&=& 1-e^{-1}-e^{-1}=1-\frac{2}{e}\ .
\end{eqnarray*}

\end{example}

%\begin{example}{Int\'egrales triples, quadruples,\dots}
%%  On applique plusieurs fois le th\'eor\`eme de Fubini-Tonelli pour obtenir (pour toute $f$ mesurable positive)
%$$
%\int_{[0,1]\times[0,1]\times[0,1]} f(x,y,z) (\lam\otimes \lam \otimes \lam) (dx,dy,dz) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 f(x,y,z) dx dy dz
%$$
%\end{example}

\begin{notation}\index{Int\'egrale multiple}{Int\'egrale multiple}\\
 Pour toute fonction $f:\R^d \rightarrow \R$ int\'egrable, on notera indiff\'eremment
\begin{eqnarray*}
\int_{\R^d} f(x_1,\dots,x_d) \lam^{\otimes d} (dx_1,\dots,dx_d) & = & \int_{\R^d}  f(x_1,\dots,x_d) dx_1\dots dx_d\\
& = &  \int_0^1 \dots \int_0^1 f(x_1,\dots,x_d) dx_1 \dots dx_d \\
&=&\int_{\R^d} f(u) du
\end{eqnarray*}
(on a remplac\'e, dans cette \'ecriture, $(x_1,\dots,x_d)$ par $u$).
\end{notation}

\begin{definition}\index{Densit\'e}\label{def:dens2}
Soit $\mu$ mesure sur $(\R^d,\B(\R^d))$. La mesure $\mu$ est dite avoir pour densit\'e la fonction $f: \R^d \rightarrow \R^+$ (par rapport \`a $\lam^{\otimes d}$) si $\forall \phi$ mesurable positive $\R^d \rightarrow \R$,
$$
\int_{\R} \phi(x) \mu(dx) = \int_\R \phi(x) f(x) \lam(dx)\ .
$$
Ceci implique, en particulier, que $\forall B \in \B(\R^d)$, 
$$
\mu(B) = \int_B  \phi(x) f(x) \lam(dx)\ .
$$
\end{definition}

\begin{example}
Soit 
 $$
\begin{array}{rcrcl}
 f&:& \R_+\times[0,1] & \rightarrow & \R\\
&& (x,y) & \mapsto & 2e^{-2xy} -e^{-xy}\ .
\end{array}
$$
Cette fonction est mesurable et n'est pas de signe constant.
Calculons pour tout $y>0$
\begin{eqnarray*}
 \int_0^{+\infty} f(x,y) dx &=& \int_0^{+\infty} 2e^{-2xy} - e^{-xy} dx\\
&=& \left[ \frac{-e^{-2xy}+e^{-xy}}{y} \right]_0^{+\infty}\\
&=& 0
\end{eqnarray*}
Nous avons donc pour p.t. $y\in [0,1]$, $ \int_0^{+\infty} f(x,y) dx =0$ donc, par le th\'eor\`eme \ref{theo:int-nulle},
$$
\int_0^1 \left(  \int_0^{+\infty} f(x,y) dx \right) dy =0\ .
$$
Calculons pour tout $x>0$
\begin{eqnarray*}
 \int_0^1 f(x,y) dx &=& \left[  \frac{-e^{-2xy}+e^{-xy}}{x} \right]_0^1\\
&=& \frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\ .
\end{eqnarray*}
Pour $x>0$, $\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}>0$. Nous avons pour p.t. $x\in [0,1]$, $\int_0^1 f(x,y) dx = \frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}>0$ donc, par le th\'eor\`eme \ref{theo:int-nulle},
$$
\int_0^{+\infty} \left( \int_0^1 f(x,y) dx \right) dy >0\ .
$$
Donc
$$
\int_0^{+\infty} \left( \int_0^1 f(x,y) dx \right) dy \neq \int_0^1 \left(  \int_0^{+\infty} f(x,y) dx \right) dy \ .
$$
\end{example}

\begin{example}\label{ex:interversion}{Interversion de somme et d'int\'egrale}\\
 Soit $f:\Omega\times\Omega' \rightarrow \R^+$ mesurable positive. Nous supposons dans cet exemple que $(\Omega',\A',\mu')=(\N,\mathcal{P}(N),\text{card})$. Comme nous l'avons vu dans l'exemple \ref{ex:intdiscrete}, pour toute fonction $g$ positive sur $\Omega'$,
$$
\int_{\Omega'} g(x) \mu'(dx) = \sum_{k\geq 0} g(k)\ .
$$
Par Fubini-Tonelli, nous avons alors
$$
\int_\Omega \left( \sum_{k\geq 0} f(x,k) \right) \mu(dx) = \sum_{k\geq 0} \left( \int_{\Omega} f(x,k) \mu(dx) \right)\ .
$$
\end{example}



\section{Changement de variable}\index{Changement de variable}
\begin{definition}\index{Diffeomorphisme@Diff\'eomorphisme}
 Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\R^d$. Un diff\'eomorphisme $\phi$ de $U$ dans $V$ est une bijection $\phi$ ($U\rightarrow V$) qui est  $\mathcal{C}^1$ telle que $\phi^{-1}$ est $\mathcal{C}^1$ aussi.
\end{definition}

\index{$\mathcal{C}^1$}
 \underline{Rappel~:} $\mathcal{C}^1$ veut dire que la fonction est continue  et ses d\'eriv\'ees partielles du premier ordre existent et sont continues. De mani\`ere plus explicite, la fonction 
$$
\begin{array}{rcrcl}
 \phi&:&U&\rightarrow&V\\
&&(u_1,\dots,u_d) &\mapsto& (\phi_1(u_1,\dots,u_d),\dots,\phi_d(u_1,\dots,u_d))
\end{array}
$$
est $\mathcal{C}^1$ si 
$\phi_1,\dots,\phi_d$ sont continues et $\forall i,j$, $\frac{\partial \phi_i}{\partial u_j}$ existe et est continue.


\begin{definition}\index{Matrice jacobienne}
 Si $\phi$ est un diff\'eomorphisme de $U$ dans $V$ (deux ouverts de $\R^d$), on appelle matrice jacobienne la matrice suivante (fonction de $(u_1,\dots,u_d)$)
$$
J_\phi =
\left[
\begin{array}{ccc}
 \frac{\partial \phi_1}{\partial u_1}(u_1,\dots,u_d)& \dots & \frac{\partial \phi_d}{\partial u_1}(u_1,\dots,u_d)\\
\frac{\partial \phi_1}{\partial u_2}(u_1,\dots,u_d)& \dots & \frac{\partial \phi_d}{\partial u_2}(u_1,\dots,u_d)\\
\dots & \dots & \dots \\
\frac{\partial \phi_1}{\partial u_d}(u_1,\dots,u_d) & \dots & \frac{\partial \phi_d}{\partial u_d}(u_1,\dots,u_d)
\end{array}
\right]
$$
\end{definition}

\begin{theorem}{Th\'eor\`eme de changement de variable.}\label{theo:varchang}\\ \index{$\circ$}
 Soient $U,V$ deux ouverts de $\R^d$. Soit $\phi:U\rightarrow V$ un diff\'eomorphisme.
Soit $f$ une fonction int\'egrable $V\rightarrow \R$. Alors la fonction $f\circ\phi : U \rightarrow \R$ est int\'egrable et 
$$
\int_V f(y) dy = \int_U (f\circ \phi) (x) \times  |\det(J_\phi (x))| dx
$$
(Attention \`a ne pas oublier la valeur absolue dans les calculs.)
\end{theorem}

\begin{remark}{Lien avec le changement de variable en dimension $1$.}\\
\index{Integrale@Int\'egrale!de Riemann}
 Soient $]a,b[,]c,d[$ deux intervalles ouverts de $\R$. Soit $\phi:]a,b[\rightarrow ]c,d[$ un diff\'eomorphisme tel que $\lim_{x\rightarrow a}\phi(x)=c$, $\lim_{x\rightarrow b}\phi(x)=d$. Nous connaissons le changement de variable pour les int\'egrales de Riemann, pour $f:]c,d[\rightarrow \R$
\begin{eqnarray*}
 \int_c^d f(x) dx &=& \int_{a}^b f\circ \phi (y) \phi'(y) dy\ .
\end{eqnarray*}
Et d'apr\`es le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, 
\begin{eqnarray*}
 \int_{[c,d]} f(x) dx &=& \int_{[a,b]} f\circ \phi (y) |\phi'(y)| dy
\end{eqnarray*}
car la matrice jacobienne est ici une matrice $1\times 1$.  Supposons $a\leq b$, $c\geq  d$. La fonction $\phi$ est donc monotone d\'ecroissante donc $\forall y$, $\phi'(y)\leq 0$. D'apr\`es la remarque \ref{rem:lienriemann}, 
$$
 \int_c^d f(x) dx  = - \int_{[c,d]} f(x) dx 
$$
ce qui est coh\'erent avec le fait que
$$
\int_{a}^b f\circ \phi (y) \phi'(y) dy = - \int_{[a,b]} f\circ \phi (y) |\phi'(y)| dy\ .
$$
Donc, en dimension $1$, on peut faire le changement de variable avec le th\'eor\`eme ci-dessus ou directement sur l'int\'egrale e Riemann.
\end{remark}



%\begin{corollary}{Changement de variables en coordonn\'ees polaires.}\index{Coordonnees@Coordonn\'ees polaires}\\
% Supposons que nous ayons deux domaines ouverts $U$ et $V$ de $\R^2$ tels que l'application
%$$
%\begin{array}{rcrcl}
% \phi & : &  U & \rightarrow & V\\
% & & (\rho,\theta) & \rightarrow & (\rho \cos(\theta),\rho \sin (\theta))\ .
%\end{array}
%$$ 
%soit bijective. Soit $f:V\rightarrow \R$ int\'egrable. Alors
%$$
%\int_V f(x,y) dx dy = \int_U (f\circ \phi) (\rho, \theta) \rho d\rho d\theta\ .
%$$
%\end{corollary}

\index{Coordonnees@Coordonn\'ees polaires}
\begin{example}\label{ex:polar}{Changement de variables en coordonn\'ees polaires.}\\
 Soit
$$
\begin{array}{rcrcl}
 \phi & : &  ]0,+\infty[\times ]0,\frac{\pi}{2}[ & \rightarrow & \R^*_+ \times \R^*_+\\
 & & (\rho,\theta) & \rightarrow & (\rho \cos(\theta),\rho \sin (\theta))\ .
\end{array}
$$ 
L'application $\phi$ est un diff\'eormorphisme (on l'admet sans d\'emonstration). Calculons sa matrice jacobienne
$$
J_\phi(\rho,\theta)=
\left[
\begin{array}{cc}
 \cos (\theta) & \sin(\theta)\\
-\rho \cos(\theta) & \rho \sin(\theta)
\end{array}
\right]\ .
$$
Nous avons donc $|\det J_\phi|(\rho,\theta)=|\rho \cos^2(\theta)+\rho \sin^2(\theta)|=|\rho|$. Donc, par le th\'eor\`eme \ref{theo:varchang}
\begin{eqnarray*}
 \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy & = & \int_0^{+\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\rho^2}| \rho| d\theta d\rho\\
&=& \frac{\pi}{2} \int_0^{+\infty} \rho  e^{-\rho^2}d\rho\\
&=& \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{2} e^{-\rho^2} \right]_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}\ .
\end{eqnarray*}
Or
\begin{eqnarray*}
  \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy & = & \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \left( \int_0^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) dx\\
&=& \left( \int_0^{+\infty} e^{-y^2} dy\right)  \times \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx\\
&=& \left(\int_0^{+\infty} e^{-y^2} dy \right)^2\ .
\end{eqnarray*}
Donc 
\begin{equation}\label{eq:valnum}
\int_0^{+\infty} e^{-y^2} dy = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ .
\end{equation}
 \end{example}


\begin{example}{Convolution}\label{ex:conv2}\index{Convolution}\index{$\star$}\\
 Soient $f,g:\R\rightarrow \R$ deux fonctions int\'egrables. Rappelons que la convol\'ee de $f$ et $g$ est $(f\star g)(x)=\int_\R f(y)g(x-y) dy$. Montrons que cette fonction est bien d\'efinie (c'est \`a dire que $f\star g < \infty$ p.p.). Nous avons 
\begin{eqnarray*} 
 \int_\R |(f\star g)(x)| dx &=& \int_\R \left| \int_\R f(y) g(x-y) dy  \right| dx\\
&\leq& \int_\R \int_\R |f(y)| \times |g(x-y)| dy dx\\
\text{(Fubini-Tonelli) } &=&  \int_\R \left( \int_\R |f(y)| \times |g(x-y)| dx \right) dy\\
&=& \int_\R |f(y)| \int_\R |g(x-y)| dx dy\\
&=& \int_\R |f(y)| \left(\int_\R |g(x-y)| dx\right) dy\ .
\end{eqnarray*}
Pour  $y$ fix\'e, nous avons par changement de variable en dimension $1$ ($u=x-y$, $x=u+y$, $dx=du$) 
\begin{eqnarray*}
 \int_\R |g(x-y)| dx & =& \int_{-\infty}^{+\infty} |g(x-y)| dx\\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} |g(u)| du\\
&=&  \int_\R |g(u)| du\ . 
\end{eqnarray*}
 Donc
\begin{eqnarray*}
 \int_\R |(f\star g)(x)| dx &=& \int_\R f(y) \left( \int_\R |g(u)| du\right)dy\\
 &=& \left( \int_\R |g(u)| du \right)\times \left(  \int_\R f(y) dy \right)<\infty
\end{eqnarray*}
car $f$ et $g$ sont int\'egrables. Par la remarque \ref{rem:intfinie}, $|f\star g|$ est donc finie presque partout, donc $f\star g$ est p.p. finie.

Fixons $x$ et op\'erons un changement de variable $y=x-u$ dans l'int\'egrale~:
\begin{eqnarray*}
 \int_\R f(y)g(x-y) dy &=& \int_{-\infty}^{+\infty} f(y)g(x-y) dy\\
&=& \int_{+\infty}^{-\infty} f(x-u) g(u) (-du)\\
&=& \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-u) g(u) du\\
&=& \int_\R  f(x-u) g(u) du\ .
\end{eqnarray*}
Donc
$$
f\star g =g \star f\ . 
$$
\end{example}

\begin{example}{Volume de la boule unit\'e}\index{Calcul de volume}\\
 On note $B=\{(x,y)\in \R^2:x^2+y^2\leq 1\}$ la boule unit\'e de $\R^2$. Calculons 
\begin{eqnarray*}
 \lam\otimes \lam (B) &=& \int_{\R^2} 1_B(x,y) \lam\otimes\lam (dx,dy)\\
\text{(Fubini-Tonelli) }&=& \int_\R \left( \int_\R \1_{x^2+y^2\leq 1} dy \right) dx\\
&=&  \int_\R \1_{|x|\leq 1} \left(  \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 1 dy\right) dx\\
&=& \int_{-1}^{+1} 2\sqrt{1-x^2} dx\\
\text{(changement de variable $x=\sin u$) } &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos(u) \cos(u) du\\
&=&  \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}  \cos(2u)+1 du\\
&=& \left[ \frac{\sin(2u)}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}  + \pi\\
&=& \pi\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{example}
 Calculons $I= \int_{[0,+\infty[\times [0,+\infty[} e^{-(x+y)^2-(x-y)^2} dx dy$. Changement de variables
$$
\left\{ 
\begin{array}{c}
 u = x+y\\
v= x-y
\end{array}
\right.\ , \
\left\{ 
\begin{array}{c}
 x=\frac{u+v}{2}\\
y=\frac{u-v}{2}
\end{array}
\right.
\ .
$$
Le diff\'eomorphisme est $\phi:(u,v) \in  \{(u,v) \in \R^2:u\geq 0, |v|\leq u\} \mapsto \left( \frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2} \right) \in [0,+\infty[\times [0,+\infty[$. Sa matrice jacobienne est
$$
J_\phi=
\left[
\begin{array}{cc}
 \frac{1}{2} &   \frac{1}{2}\\
 & \\
 \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}
\end{array}
\right]\ .
$$
Donc
\begin{eqnarray*}
 I &=& \int_{(u,v) \in  \R^2:u\geq 0, |v|\leq u} e^{-u^2} e^{-v^2} \frac{1}{2} du dv\\
\text{(Fubini-Tonelli) } &=& \int_{u \in [0,+\infty[} \frac{e^{-u^2}}{2} 
\left( \int_{-u}^u e^{-v^2} dv \right) du\ .
\end{eqnarray*}
Posons $F(u)=\int_{-u}^u e^{-v^2} dv=2\int_0^u e^{-v^2} dv$ (par sym\'etrie). Nous avons $F'(u)=2 e^{-u^2}$. Donc
\begin{eqnarray*}
 I &=& \int_0^{+\infty} \frac{1}{4} F'(u) F(u) du \\
&=& \left[ \frac{1}{8} F(u)^2\right]_0^{+\infty}\\
&=& \frac{1}{8}  \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-v^2} dv \right)^2\\
\text{(par l'\'egalit\'e \ref{eq:valnum}) } &=& \frac{\pi}{8}\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $y>0$~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)} .
$$
\item Montrer que~:

$$
\int_0^{+\infty} \left(\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx\right) dy = \frac{\pi^2}{2}\ .
$$

\item Montrer que pour tout $x >0, x\neq 1$~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy = \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}\ .
$$
\item En d\'eduire que~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{x^2-1} dx = \frac{\pi^2}{4}\ .
$$
\end{enumerate}

\item On rappelle que~: $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. En utilisant un changement de variable, calculer~:

$$\int_{\R \times \R} e^{-(x+y)^2} e^{-(x-y)^2} dx dy\ .
$$


\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item
\begin{enumerate}
\item \begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx & = & \frac{1}{(1+y)} \left[ \frac{1}{\sqrt{y}} \arctan(x\sqrt{y}) \right]_0^{+\infty}\\
& = & \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)}\ .
\end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx dy & = & \int_0^{+\infty}\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)} dy\\
& = & \int_0^{+\infty} \frac{\pi}{2} \frac{1}{1+u^2}  2 du \\
& = & {\pi} [\arctan(u)]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{\pi^2}{2}
\end{eqnarray*}
o\`u l'on a fait un changement de variable en $u=\sqrt{y}$, $du=\frac{1}{2\sqrt{y}}dy$.

\item Pour tout $x >0, x\neq 1$, on a par d\'ecomposition en \'el\'ements simples~:

\begin{eqnarray*}
 \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy & = &  \frac{1}{1-x^2 } \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+y} - \frac{x^2}{1+x^2y} dy \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } [\log(1+y) - \log(1+x^2 y) ]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } [\log\left( \frac{1+y}{1+x^2y} \right)]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } \log\left( \frac{1}{x^2} \right)\\
& = & \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}\ .
\end{eqnarray*}
\item Par Fubini-Tonelli et puisque $\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy= \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}$ pour p.t. $x\in [0,+\infty[$~:
\begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx dy & = & \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy dx \\
\frac{\pi^2}{2} & = & \int_0^{+\infty} \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}dx\\
\frac{\pi^2}{4} & = & \int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{x^2-1} dx\ .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\item Changement de variable~:

\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
& u=x+y\\
& v=x-y
\end{cases}
& \hspace{1cm}
\begin{cases}
& x=\frac{u+v}{2}\\
& y=\frac{u-v}{2}\ .
\end{cases}
\end{eqnarray*}
L'application~:
\begin{eqnarray*}
\phi : \R^2 &\rightarrow & \R^2 \\
(u,v)&\mapsto& \left( \frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2} \right)
\end{eqnarray*}
est bijective. On calcule le jacobien (c'est \`a dire que l'on \'ecrit dans une matrice les d\'eriv\'ees partielles de $\phi$ en $u$ et $v$)~:

 $$J(u,v) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   1/2 &  1/2 \\
   1/2 &  -1/2
\end{array}
\right]
$$
On fait le changement de variable dans l'int\'egrale et on utilise Fubini-Tonelli~:
\begin{eqnarray*}
\int_{\R \times \R} e^{-(x+y)^2} e^{-(x-y)^2} dx dy & = & \int_{\R \times \R} e^{-u^2} e^{-v^2} |\det(J(u,v)| du dv\\
& = & \int_{\R \times \R} e^{-u^2} e^{-v^2} \frac{1}{2} du dv\\
& = & \int_{\R}e^{-u^2}\frac{1}{2} \sqrt{\pi} du\\
& = & \frac{\pi}{2}\ .
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}


\chapter{Fondements de la th\'eorie des probabilit\'es}

\section{D\'efinitions g\'en\'erales}
\begin{definition}\index{Espace probabilis\'e}\index{$\p$}\index{Probabilit\'e}\index{Mesure de probabilit\'e}
 On appelle espace probabilis\'e un espace mesur\'e $(\Omega,\A,\p)$ o\`u la mesure $\p$ est telle que $\p(\Omega)=1$. On dit alors  que $\p$ est une mesure de probabilit\'e (et c'est pour cela qu'on la note $\p$). Les \'el\'ements de $\A$ sont appel\'es \'ev\'enements.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Variable al\'eatoire}\index{v.a.}\index{v.a.r.}
 On appelle variable al\'eatoire toute application mesurable $X$ d'un espace probabilis\'e $(\Omega,\A,\p)$ dans un espace mesurable $(E,\mathcal{E})$. On dit alors que $X$ est \`a valeurs dans $E$.

On notera v.a. pour \og variable al\'eatoire \fg et v.a.r. pour \og variable al\'eatoire r\'eelle \fg (variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R$).
\end{definition}

Dans toute la suite du chapitre, si on ne pr\'ecise rien, $(\Omega,\A,\p)$ sera un espace probabilis\'e.

\begin{example}\index{Lancer de d\'e}\index{Modelisation@Mod\'elisation}\label{ex:de}
 Soit $\Omega=\{1,2,\dots,6\}\times \{1,2,\dots,6\}$ muni de la tribu $\mathcal{P}(\Omega)$ et de la mesure $\p$ telle que $\p((i,j))=\frac{1}{36}$, $\forall (i,j)\in \Omega$. La mesure $\p$ est une mesure de probabilit\'e car $\text{card}(\Omega)=36$. L'ensemble $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons que l'on peut obtenir en jetant un d\'e deux fois (\og ensemble de tous les possibles \fg). La quantit\'e $\p(3,2)=1/36$ est la probabilit\'e d'obtenir $3$  puis $2$. C'est du moins une \underline{mod\'elisation} raisonnable de ce qui se passe quand on jette un d\'e deux fois. Nous pouvons calculer diverses quantit\'es en utilisant la propri\'et\'e \ref{sommation} de la d\'efinition  d'une mesure (d\'ef. \ref{def:mesure})~:
\begin{itemize}
 \item $\p(\{(1,1),(2,2)\}) =2/36=1/18$ est la probabilit\'e d'avoir ($1$ puis $1$) ou ($2$ puis $2$) 
\item $\p(\{(1,1),(1,2),\dots,(1,6)\})=6\times 1/36=1/6$ est la probabilit\'e d'avoir $1$ au premier tirage\ .
\end{itemize}
Introduisons deux variables al\'eatoires
$$
X:(i,j)\in \Omega\mapsto i \in \R\ , \ Y:(i,j)\in \Omega\mapsto i+j\in \R \ .
$$
La variable $X$ est le r\'esultat du premier tirage et $Y$ est la somme des deux tirages. Remarquons aussi une variable al\'eatoire triviale 
$$
Z:(i,j)\in \Omega \mapsto (i,j)\in \Omega\ .
$$
\end{example}

\begin{definition}\index{Loi d'une variable al\'eatoire}\index{Mesure image}
 Soit $X:\Omega\rightarrow (E,\mathcal{E})$ une variable al\'eatoire. On appelle loi de $X$ la mesure $\p_X$ sur $(E,\mathcal{E})$ d\'efinie par
\begin{eqnarray*} 
 \p_X(A) &=& \p(\{\omega \in \Omega:X(\omega)\in A\})\\
&=& \p(X^{-1}(A)).
\end{eqnarray*}
(On rappelle que, par d\'efinition, $\{\omega \in \Omega:X(\omega)\in A\}=X^{-1}(A)$.)
On notera $\p_X(A)=\p(X\in A)$. C'est un abus de notation tr\`es courant.
\end{definition}

\begin{remark}
 La mesure $\p_X$ est la mesure image de $\p$ par $X$ (cf. prop. \ref{prop:mesureimage}).

La  mesure $\p_X$ est une mesure de probabilit\'e.
\end{remark}

\begin{example}
 Reprenons l'exemple pr\'ec\'edent. Nous pouvons d\'ecrire compl\`etement la loi de $Y$ (toujours \`a l'aide de  la propri\'et\'e \ref{sommation} de la d\'efinition \ref{def:mesure})~:
\begin{eqnarray*}
 \p_Y(\{1\}) &=& \p(Y=1) =0\\
\p_Y(\{2\}) &=& \p(Y=2) = \p((i,j)=(1,1))=1/36\\
\p_Y(\{3\}) &=& \p(Y=3) = \p(\{(1,2),(2,1)\})=2/36\\
\p_Y(\{4\}) &=& \p(Y=4) = \p(\{(1,3),(2,2),(3,1) \})=3/36\\
&\dots&
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{definition}\index{Fonction de repartition@Fonction de r\'epartition}
 Soit $X$ une v.a. \`a valeurs dans $\R$. On appelle fonction de r\'epartition de $X$ la fonction de r\'epartition  associ\'ee \`a la mesure $\p_X$ (cf. d\'ef. \ref{def:fonctionrepartition}) , c'est \`a dire la fonction
$$
\begin{array}{rcrcl}
F&:&\R &\rightarrow& \R_+\\
&&t & \mapsto & F_X(t)=\p_X(]-\infty,t])=\p(X\leq t)
\end{array}
$$
\end{definition}

Le th\'eor\`eme suivant est une cons\'equence de la proposition \ref{prop:proprepartition}.

\begin{theorem}\index{cadlag@c\`adl\`ag}
 Soit $X$ une v.a.r.. Alors
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $F_X$ est croissante
\item $\lim_{t\rightarrow -\infty} F_X(t) =0$,  $\lim_{t\rightarrow +\infty} F_X(t) = 1$
\item $F_X$ est c\`adl\`ag et $\lim_{t\rightarrow t_0,t<t_0} F_X(t)=\p(X<t_0)$

 $F_X$ est continue  en $t_0$ si, et seulement si, $\p(X=t_0)=0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{definition}\index{Densit\'e}
 Soit $X$ una v.a. \`a valeurs dans $\R^d$. On dit que $X$ a un densit\'e $f_X:\R^d\rightarrow \R^+$ si $\forall \phi$ mesurable $\R^d \rightarrow \R$,
 $$
 \E(\phi(X))= \int_{\R^d} \phi(x) f_X(x) dx\ .
 $$
  Ceci implique en particulier
$$
\p(X\in B)= \int_{\R^d} f_X(x) \1_B(x) dx\ .
$$
La densit\'e de $X$ est la densit\'e de $\p_X$ (cf. les d\'ef. \ref{def:dens1}, \ref{def:dens2} de la densit\'e d'une mesure).
\end{definition}

\begin{remark}\label{rem:densite}
 Si $X$ est une v.a.r. avec une densit\'e $f_X$ alors $$F_X(t)=\int_{-\infty}^t f_X(u) du\ .$$

La densit\'e d'un variable al\'eatoire d\'etermine compl\`etement sa loi.

Par d\'efinition, une densit\'e $f_X$ (d'une v.a. $X$ \`a valeurs dans $\R^d$) est toujours positive et v\'erifie $\int_{\R^d} f_X(x) dx=1$.
\end{remark}

\begin{example}
 Soit $X$ une v.a.r. avec la densit\'e $f_X:x\in \R \mapsto e^{-x} \1_{x>0}$.
 
 \begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig13.eps}}    
\caption{Dessin de $f_X$.}    
\end{figure}    

 
  Calculons
\begin{eqnarray*}
 \p(X\geq 1) &=& \int_\R e^{-x} \1_{x\geq 0} \1_{x\geq 1} dx\\
&=& \int_1^{+\infty} e^{-x} dx\\
&=& [-e^{-x}]_1^{+\infty}\\
&=& 1-e^{-1}\ .
\end{eqnarray*}
Calculons la fonction de r\'epartition de $X$. Si $t< 0$,
\begin{eqnarray*}
 \p(X\leq t) &=& \int_\R e^{-x} \1_{x\geq 0} \1_{x leq t} dx=0\ .
\end{eqnarray*}
Si $t\geq 0$,
\begin{eqnarray*}
  \p(X\leq t) &=& \int_\R e^{-x} \1_{x\geq 0} \1_{x leq t} dx\\
&=& \int_0^t e^{-x} dx\\
&=& 1-e^{-t}\ .
\end{eqnarray*}

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig1.eps}}    
\caption{Dessin de $F_X$.}    
\end{figure}    
\end{example}

%\begin{figure}[H]    
%\includepdf{fig-poly/fig1.pdf}
%\caption{Dessin de $F_X$.}    
%\end{figure}

\begin{example}
 Soit $X$ v.a.r. de densit\'e $x\mapsto \1_{[0,1]}(x)$.
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig2.eps}}    
\caption{Dessin de la densit\'e de  $X$.}    
\end{figure}  
Si $t<0$, $ \p(X\leq t) = \int_\R \1_{]-\infty,t]}(x) \1_{[0,1]}(x) dx= 0$. 

Si $t\geq 1$, $\p(X\leq t) = \int_\R \1_{]-\infty,t]}(x) \1_{[0,1]}(x) dx = \int_\R \1_{[0,1]}(x) dx =1$. 

Si $t\in [0,1]$, $\p(X\leq t) = \int_\R \1_{]-\infty,t]}(x) \1_{[0,1]}(x) dx= \int_0^t 1 dx=t$.
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig3.eps}}    
\caption{Dessin de la fonction de r\'epartition de  $X$.}    
\end{figure}
\end{example}

\begin{example}
 Soit $X$ v.a.r. de densit\'e $x\mapsto \1_{[-1,1]}(x) \sqrt{1-x^2} \frac{2}{\pi}$.
\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig4.eps}}    
\caption{Dessin de la densit\'e de  $X$.}    
\end{figure}  
\end{example}
Si $t\leq -1$, $\p(X\leq t)=0$. Si $t\in [-1,1]$, 
\begin{eqnarray*}
 \p(x\leq t) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} \1_{]-\infty,t]}(x) \1_{[-1,1]}(t) \sqrt{1-x^2} \frac{2}{\pi} dx\\
&=& \int_{-1}^t \sqrt{1-x^2} \frac{2}{\pi} dx\\
&=& \left[ \frac{1}{\pi} \left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin(x) \right) \right]_{-1}^t\\
&=& \frac{1}{\pi} \left(t\sqrt{1-t^2}+ \arcsin(t)  \right) +\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
car sur $[-1,1]$, $\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$.

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig5.eps}}    
\caption{Dessin de  $arcsin$. C'est une fonction impaire.}    
\end{figure} 

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig6.eps}}    
\caption{Dessin de la fonction de r\'epartition de $X$.}    
\end{figure} 


\section{Esp\'erance d'une v.a.}
\begin{definition}\index{Esperance@Esp\'erance}\index{$\E$}\index{Variable al\'eatoire int\'egrable}
 Soit $X$ v.a.r. On note
$$
\E(X)=\int_\Omega X(\omega) \p(d\omega)
$$
qui est bien d\'efinie dans les cas suivants (cf. d\'ef. \ref{def:intpos}, \ref{def:integrale})
\begin{itemize}
 \item $X\geq 0$ (et dans ce cas $\E(X)\in [0,+\infty]$)
\item $X$ de signe quelconque et $\int_\Omega |X(\omega)| \p(d\omega) <\infty$\ .
\end{itemize}
On dit que $X$ est int\'egrable \index{Integrabilite@Int\'egrabilit\'e} si $\E(|X|)<\infty$.
\end{definition}

\begin{remark}\label{rem:propesperance}
 L'esp\'erance est une int\'egrale. R\'e\'ecrivons les propri\'et\'es de l'int\'egrale avec le symbole $\E$.
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Lin\'earit\'e~: si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. et $a,b\in \R$, $\E(aX+bY)=a\E(X)+b\E(Y)$ (cf. th. \ref{theo:propintegrale}).
\item Croissance~: si $X$ et $Y$ sont deux v.a.r. telles que $X\leq Y$ (c'est \`a dire $\forall \omega \in \Omega, X(\omega)\leq Y(\omega)$ alors $\E(X) \leq \E(Y)$ (cf. th. \ref{theo:propintegrale}).
\item Variable al\'eatoire constante~: si $X$ v.a.r. et $a\in \R$ tels que $X(\omega)=a,\forall \omega$, alors $\E(X)=a$ (cf. d\'ef. \ref{def:intetagee}).
\item Si $X$ et $Y$ v.a.r. telle que $X=Y$ p.p. alors $\E(X)=\E(Y)$ (cf. prop. \ref{prop:ensnegligeable}).
\item \label{rem:propesperance:v}Si $X$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $[0,+\infty]$ telle que $\E(X)<\infty$ alors $X$ est finie p.s. (cf. rem. \ref{rem:intfinie}).\index{Variable finie p.s.}
\end{enumerate}
\end{remark}



\begin{proposition}\label{prop:espint}
 Soit $X$ une variable al\'eatoire \`a valeurs dans $(E,\mathcal{E})$. Soit $f$ mesurable $E\rightarrow [0,+\infty]$. La fonction $f(X):\omega\in \Omega \mapsto f(X(\omega))\in [0,+\infty]$ est une variable al\'eatoire.
Nous avons
$$
\E(f(X))=\int_E f(x) \p_X(dx)\ .
$$
Si $E=\R^d$ et $X$ a une densit\'e $g$ alors
$$
\E(f(X))=\int_{\R^d} f(x) g(x) dx\ .
$$
\end{proposition}

\begin{definition}\index{Variance}
 Si $X$ est une v.a.r. telle que $X^2$ est int\'egrable alors la variance de $X$ est la quantit\'e
$$
 \var (X) = \E(X^2)-\E(X)^2\ .
$$
\end{definition}


\begin{lemma}
 $ \var (X) = \E((X-\E(X))^2)$
\end{lemma}

\begin{proof}
Nous allons utiliser les propri\'et\'es (i) et (iii) de  la remarque \ref{rem:propesperance}.
\begin{eqnarray*}
 \E((X-\E(X))^2) &=& \E(X^2+\E(X)^2-2X\E(X))\\
&=& \E(X^2) + \E(\E(X^2)) -2\E(X\E(X))\\
&=& \E(X^2)+\E(X)^2-2\E(X)^2\\
&=& \E(X^2)-\E(X)^2
\end{eqnarray*}
\end{proof}


\begin{example}
 Soit $X$ v.a.r. de densit\'e $x\mapsto e^{-x}\1_{x\geq 0}$,
\begin{eqnarray*}
 \E(X) &=& \int_\R xe^{-x} \1_{x\geq 0} dx \\
&=& \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx\\
\text{(int\'egration par parties) }&=&[-xe^{-x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-x} dx\\
&=& 0 +[-e^{-x}]_0^{+\infty}=1\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{example}
 Soit $X$ v.a. \`a valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ ($n$ un entier fix\'e) avec $\forall 0\leq k \leq n$, $\p(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ ($p\in [0,1]$ fix\'e). Alors
\begin{eqnarray*}
 \E(X) &=& \sum_{k=0}^n k\p(X=k) \\
&=& \sum_{k=0}^n k C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\\
&=& \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} p^k (1-p)^{n-k} \\
\text{(changement d'indice en $q=k-1$) } &=& \sum_{q=0}^{n-1} C_{n-1}^q p^{q+1} (1-p)^{n-1-q}\\
&=& p (p+1-p)^{n-1-q} = p\ .
\end{eqnarray*}
Rappel sur le bin\^ome de Newton~: $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n C_n^i a^i b^{n-i}$. \index{Binome@Bin\^ome de Newton}
\end{example}

\begin{example}
 Soit $X$ v.a. \`a valeurs dans $\N$ avec $\forall k \in \N$, $\p(X=k)=\frac{\lam^k e^{-\lam}}{k!}$ ($\lam>0$ fix\'e). Alors
\begin{eqnarray*}
 \E(X)&=& \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k \lam^k e^{-\lam}}{k!}\\
&=& \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k-1)!} \lam^{k} e^{-\lam} \\
\text{(changement d'indice en $q=k-1$) } &=& \sum_{q=0}^{+\infty} \frac{\lam^{q+1} e^{-\lam}}{q!}=\lam
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{proposition}\index{Calcul de loi}\label{prop:calculdeloi}
 La loi d'une variable al\'eatoire $X$ \`a valeurs dans $\R^d$ est uniquement d\'etermin\'ee par le calcul de $\E(\phi(X))$ pour toute fonction $\phi:\R^d\rightarrow \R$ continue positive born\'ee. Autrement dit :

Soit $X$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^d$. S'il existe $g:\R^d\rightarrow \R$ telle que $\forall \phi:\R^d\rightarrow \R$ continue positive born\'ee, 
$$
\E(\phi(X))=\int_{\R^d} \phi(x) f(x) dx\ ,
$$
alors $g$ est la densit\'e de $X$.
\end{proposition}

\begin{notation}\index{$\mathcal{C}^+_b(\R^d)$} 
 On note $\mathcal{C}^+_b(\R^d)$ l'ensemble des fonctions continues positives  born\'ees $\R^d\rightarrow \R^+$.
\end{notation}


\begin{example}
 Soit $X$ v.a.r. de densit\'e $x\mapsto \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$. Soient $(a,b)\in \R^*\times \R$. Calculons la loi de $aX + b$. Soit $f:\R\rightarrow \R^+$ continue et born\'ee (on dit que $f$ est une \og  fonction test \fg). \index{Fonction test} Par la proposition \ref{prop:espint}, nous avons
\begin{eqnarray*}
 \E(f(aX+b)) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} f(ax+b) \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dx\\
\text{(changement de variable $y=ax+b$) }&=& \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \frac{e^{-\left( \frac{y-b}{a}\right)^2\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi}\times a} dy
\end{eqnarray*}
Donc, par la proposition \ref{prop:calculdeloi},  la variable $aX+b$ a une loi de densit\'e $y\mapsto \frac{\exp \left(-\frac{1}{2} \left( \frac{y-b}{a}\right)^2\right)}{\sqrt{2\pi}\times a}$.
\end{example}

\begin{example}
 Soit $(X,Y)$ v.a. \`a valeurs dans $\R^2$ de densit\'e $(x,y) \mapsto \frac{1}{\pi} \1_{x^2+y^2\leq 1}$. Calculons la loi de $X+Y$. Soit $f:\R^2\rightarrow \R^+$ continue. Soit $F:(x,y)\in \R^2 \mapsto f(x+y)\in \R^+$. Alors, par la proposition \ref{prop:espint},
\begin{eqnarray*}
 \E(f(X+Y)) &=& \E(F(X,Y))\\
&=& \int_{\R^2} F(x,y) \frac{1}{\pi} \1_{x^2+y^2 \leq 1} dx dy\ .
\end{eqnarray*}
Op\'erons un changement de variable
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
 u & = & x+y\\
v & = & x-y 
\end{array}
\right.
\ , \
\left\{
\begin{array}{ccc}
 x & = & \frac{u+v}{2}\\
y & = & \frac{u-v}{2} 
\end{array}
\right.
$$
Diff\'eomorphisme $\phi:(x,y)\in\R^2 \mapsto (x+y,x-y)\in \R^2$.
Matrice jacobienne~:
$$
\left[
\begin{array}{cc}
 1/2 & -1/2\\
1/2 & 1/2
\end{array}
\right]\ .
$$
\end{example}
Donc
\begin{eqnarray*}
 \E(f(X+Y)) &=& \int_\R^2 f(u) \frac{1}{\pi} \1_{\frac{u^2+v^2}{2}\leq 1} du dv \\
\text{(Fubini-Tonelli) } &=& \int_\R \frac{f(u)}{\pi} \left( \int_\R \1_{u^2+v^2\leq 2} dv \right) du\\
&=& \int_\R \frac{f(u)}{\pi} 2\sqrt{2-u^2} \1_{|u|\leq 2} du
\end{eqnarray*}
Donc $X+Y$ a pour densit\'e $u\mapsto \frac{2}{\pi} \sqrt{2-u^2} \1_{|u|\leq 2}$.


\section{In\'egalit\'es}

\begin{theorem}{In\'egalit\'e de Jensen}\label{theo:jensen}\index{Inegalite@In\'egalit\'e!de Jensen}\\
 Soit $\phi:\R \rightarrow \R$ mesurable convexe. Soit $X$ v.a.r. int\'egrable telle que $\phi(X)$ est int\'egrable. Alors 
$$
\phi(\E(X)) \leq \E(\phi(X))\ .
$$
\end{theorem}

Pour la d\'emonstration de ce th\'eor\`eme, voir l'exercice \ref{exo:jensen} du chapitre \ref{chap:theolimit}.

\begin{theorem}\label{theo:tchebichev}{In\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebichev}\\ \index{Inegalite@In\'egalit\'e!de Bienaym\'e-Tchebichev}
 Soit $X$ v.a.r. positive, int\'egrable. Soit $\lam>0$. Alors
$$
\p(X\geq \lam)\leq \frac{1}{\lam}\E(X)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{corollary}\label{coro:tchebichev}
 Soit $X$ v.a.r. telle que $X^2$ est int\'egrable. Alors
$$
\p(|X-\E(X)|\geq \lam)\leq \frac{ \var (X)}{\lam^2}\ .
$$
\end{corollary}

\begin{proof}[D\'emonstration du th\'eor\`eme \ref{theo:tchebichev}]
 Pour tout $\omega$, $X(\omega)\geq \lam \1_{X(\omega)\geq \lam}$ donc, par la propri\'et\'e de croissance (cf.  rem. \ref{rem:propesperance}, (iii)),
\begin{eqnarray*}
 \E(X) &\geq & \E(\lam \1_{X\geq \lam})\\
&=& \lam \p(X\geq \lam)\ .
\end{eqnarray*}
\end{proof}


\begin{proof}[D\'emonstration du corollaire \ref{coro:tchebichev}]
 \begin{eqnarray*}
  \p(|X-\E(X)|\geq \lam) &=& \p((X-\E(X))^2 \geq \lam^2)\\
\text{(par in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebichev) } &\leq& \frac{1}{\lam^2} \E((X-\E(X))^2)\ .
 \end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{theorem}{In\'egalit\'e de Markov}\index{Inegalite@In\'egalit\'e!de Markov}\\
 Si $X$ v.a.r. avec $X^2$ int\'egrable et si $\lam>0$ alors 
$$
\p(|X|\geq \lam) \leq \frac{\E(X^2)}{\lam^2}\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
 \begin{eqnarray*}
  \p(|X|\geq \lam) &=& \p(X^2\geq \lam^2)\\
\text{(par in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebichev) } &\leq& \frac{\E(X^2)}{\lam^2}\ .
 \end{eqnarray*}
\end{proof}


\section{Lois classiques}\index{Lois classiques}

\subsection{Lois discr\`etes}\index{Lois discr\`etes}
\begin{enumerate}[a)]
 \item Loi uniforme. \index{Loi!uniforme} \index{$\mathcal{U}(.)$} Soit $E$ ensemble fini de cardinal $n$, $X$ est une variable uniforme sur $E$ si $\forall x\in E$, $\p(X=x)=\frac{1}{n}$.
\item Loi de Bernoulli de param\`etre $p$ ($\in [0,1]$) \index{Loi!de Bernoulli}\index{$\mathcal{B}(.)$}, not\'ee $\mathcal{B}(p)$~: $X$ \`a valeurs dans $\{0,1\}$ telle que $\p (X=1)=p$, $\p(X=0)=1-p$.
\item Loi bin\^omiale de param\`etres $n,p$ ($n\in \N^*$, $p\in [0,1]$), \index{Loi!bin\^omiale}  \index{$\mathcal{B}(.,.)$}not\'ee $\mathcal{B}(n,p)$~: $X$ \`a valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ telle que $\forall k \in \{0,\dots,n\}$, $\p(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$.
\item \index{Loi!g\'eom\'etrique}\index{$\mathcal{G}(.)$} Loi g\'eom\'etrique de param\`etre $p$ ($\in [0,1]$), not\'ee $\mathcal{G}(p)$~: $X$ \`a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k \in \N$, $\p(X=k)=(1-p)^{k-1}p$.
\item \index{Loi!de Poisson}\index{$\mathcal{P}(.)$} Loi de Poisson de param\`etre $\lam$ ($>0$), not\'ee $\mathcal{P}(\lam)$~: $X$  \`a valeurs dans $\N$ telle que $\forall k \in \N$, $\p(X=k)=\frac{\lam^k}{k!}e^{-\lam}$.
\end{enumerate}

\subsection{Lois continues}
\begin{enumerate}[a)]
 \item \index{Loi!uniforme}\index{$\mathcal{U}(.)$} Loi uniforme sur $[a,b]$ ($a<b$), not\'ee $\mathcal{U}([a,b])$~: de densit\'e  $x\mapsto \frac{1}{b-a} \1_{[a,b]}(x)$.
\item \index{Loi!exponentielle}\index{$\mathcal{E}(.)$} Loi exponentielle de param\`etre $\lam$ ($\lam>0$), not\'ee $\mathcal{E}(\lam)$~: de densit\'e  $x\mapsto \lam e^{-\lam x} \1_{\R^+}(x)$.
\item \index{Loi!normale}\index{Loi!gaussienne}\index{$\mathcal{N}(.,.)$} Loi gaussienne (ou normale) de moyenne $m$ ($\in \R$) et de variance $\sigma^2$ ($\in \R^+$), not\'ee $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$~: de densit\'e $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right)$
\end{enumerate}


\section{Fonctions caract\'eristiques}

\begin{definition}\index{Fonction caract\'eristique}
Soit $X$ v.a.r, la fonction  caract\'eristique de $X$ est
$$
\begin{array}{rcrcl}
\Phi_X&:& \mathbb{C} &\rightarrow & \mathbb{C}\\
&& \xi &\mapsto& \int_\R e^{i\xi x} \p_X(dx)=\E(e^{i\xi X})\ .
\end{array}
$$
\end{definition}

\begin{remark}
 Pour une fonction  $f :\Omega  \rightarrow \mathbb{C}$ avec $(\Omega, \A, \mu)$ un espace mesur\'e quelconque, on note
\begin{eqnarray*}
 \int_\Omega f(x) \mu(dx) &=& \int_\Omega \text{Re}(f)(x) \mu(dx) + i \int_\Omega \text{Im}(f)(x)\mu(dx)\ .
\end{eqnarray*}
et donc dans la d\'efinition pr\'ec\'edente
$$
\Phi_X(\xi) = \int_\R \text{Re}(e^{i\xi x}) \p_X(dx) + i  \int_\Omega \text{Im}(e^{i\xi x}) \p_X(dx) \ .
$$
\end{remark}

\begin{lemma}\label{lem:caracgaussienne}
 Soit $X$ de loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. Alors $\Phi_X(\xi)=\exp\left(i\xi m -\frac{\sigma^2 \xi^2}{2} \right)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Nous ne ferons la d\'emonstration que dans le cas $m=0,\sigma =1,\xi \in \R$. Nous avons
\begin{eqnarray*}
 \Phi_X(\xi) &=& \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-x^2/2}e^{i\xi x} dx\\
&=& \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \text{Re}(e^{-x^2/2}e^{i\xi x}) dx + i \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }}  \text{Im}(e^{-x^2/2}e^{i\xi x}) dx\\
&=& \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-x^2/2} \cos(x\xi) dx + i \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-x^2/2} \sin(x\xi) dx\\
&=&  \int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} \cos(x\xi) dx  + 0
\end{eqnarray*}
car l'int\'egrale d'une fonction impaire sur $\R$ est nulle.

Pour tout $\xi$, $\left| \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} \cos(x\xi) \right|\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} $ qui est int\'egrable sur $\R$. 
Pour tout $x\in \R$, $\xi \mapsto  \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} \cos(x\xi) $ est d\'erivable, de d\'eriv\'ee $\xi \mapsto   \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} (-x \sin(x\xi))$. Pour tous $\xi,x$, $\left|   \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} (-x \sin(x\xi)) \right| \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} |x|$ qui est int\'egrable sur $\R$. En effet, par sym\'etrie, 
\begin{eqnarray*}
\int_\R \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} |x| dx & = & 2 \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2}  x dx\\
&=& \left[  \frac{1}{\sqrt{2\pi }}  e^{-x^2/2}\right]_0^{+\infty}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \ .
\end{eqnarray*}
Donc par th\'eor\`eme de d\'erivation globale (cf. cor. \ref{cor:derivationglobale})
\begin{eqnarray*}
 \Phi_X'(\xi) &=& \int_\R  \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2} (-x \sin(x\xi)) dx \\
&=& \left[ e^{-x^2/2}{\sqrt{2\pi}} \sin(x\xi) \right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-x^2/2}{\sqrt{2\pi}} \xi \cos(x\xi) dx\\
&=& 0 - \xi \Phi_X(\xi)\ .
\end{eqnarray*}
Nous avons donc l'\'equation 
$$
% \frac{\Phi_X'(\xi)}{\Phi_X(\xi)}=-\xi \ .
$$
D'o\`u 
\begin{eqnarray*}
 \log(\Phi_X(\xi)) - \log(\Phi_X(0)) = -\frac{\xi^2}{2}\\
\Phi_X(\xi) = \Phi_X(0) e^{-\xi^2/2}\      .
\end{eqnarray*}
Remarquons que $\Phi_X(0)=\E(1)=1$. Nous avons donc $\Phi_X(\xi)=e^{-\xi^2/2}$.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{theo:caract}
 La fonction caract\'eristique d'une v.a.r. caract\'erise enti\`erement la loi de cette variable. C'est \`a dire que si $X$ et $Y$ des v.a.r. ont m\^eme fonction caract\'eristique alors $X$ et $Y$ ont m\^eme loi.
\end{theorem}


\section{Fonctions g\'en\'eratrices}

\begin{definition}\index{Fonction g\'en\'eratrice}
Soit $X$ une v.a. \`a valeurs dans $\N$. On appelle fonction g\'en\'eratrice de $X$ la fonction 
$$
\begin{array}{rcrcl}
g_X&:& [0,1] &\rightarrow & \R\\
&& r &\mapsto& \E(r^X)=\sum_{n=0}^{+\infty} \p(X=n)r^n
\end{array}
$$
\end{definition}

\begin{proposition}
 Si $X$ est une v.a. \`a valeurs dans $\N$, la fonction g\'en\'eratrice caract\'erise la loi de $X$. 
\end{proposition}

\begin{example}
 Soit $X\sim \mathcal{P}(\lam)$ (ce qui veut dire que $X$ est de loi $\mathcal{P}(\lam)$). \index{$\sim$} Calculons
\begin{eqnarray*} 
 g_X(u) &=& \sum_{n=0}^{+\infty} u^n \frac{\lam^n e^{-\lam}}{n!} \\
&=& e^{\lam u} e^{-\lam}=e^{-\lam(1-u)}\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item Soit $X$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\1_{x\geq 0} \lambda e^{-\lambda x}$, $\lambda >0$ fix\'e
(loi exponentielle de param\`etre $\lambda$). Calculer $\E(X)$ et $ \var (X)$. Calculer la densit\'e de la loi de  $2X$. Calculer $\E(2X)$, $ \var
(2X)$.

 \item Soit $X$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
e^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2}}$, $\sigma, m \in \R$ fix\'es (loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$). Soit $U$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
e^{-\frac{x^2}{2}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sigma U + m$ a m\^eme loi que $X$.
 \item Calculer $\E(X)$ et $ \var (X)$.
 \item Calculer la densit\'e de la loi de $Y=aX +b$ pour $a $ et $b$ r\'eels.
 \item Calculer $\E(Y)$ et $ \var (Y)$.
\end{enumerate}

\item Soit $X$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\N$ telle que $\forall k \geq 0, \p(X=k)=\frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}$ ($\theta
>0$ fix\'e). Calculer $\E(X)$. Pour $u\geq 0$, calculer $\E(e^{-uX})$.\\
\underline{Rappel~:} $\forall t \in \R$, $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}=e^t$.




\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$ de loi de densit\'e $$(x,y)\mapsto \frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right)\ .$$ Calculer la densit\'e de la loi de  $(X+2Y,X-Y)$ puis les densit\'es des lois de $X$ et $Y$. (On pourra utiliser un changement de variable
appropri\'e.)

\item Soit $Y$ variable al\'eatoire r\'eelle de densit\'e $\frac{1}{\pi(1+x^2)}$. Montrer que $1/Y$ a m\^eme loi que $Y$.

\item M. Dupond attend son bus en moyenne 10 min. tous les matins. Donner une majoration de la probabilit\'e que M. Dupond attende son bus plus de 20 min.

\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$   densit\'e $\frac{1}{\pi^2}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2}$. Calculer la loi de $X$.

\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$  de  densit\'e $\frac{1}{2\pi} e^{-x^2/2}e^{-y^2/2}$. Calculer
la loi de $X/Y$. Cette variable est-elle int\'egrable ?


\item 
Soit $\delta>0$ et $Y$ de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\p(Y>\delta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})dx$. En d\'eduire une int\'egration par parties de cette int\'egrale qui donne que $\p(Y>\delta)=\frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}-(\text{int\'egrale positive})$. En d\'eduire que $$\p(Y>\delta)\leq \frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}.$$
\item On remarque que $$\p(Y>\delta)=\int_\delta^{+\infty} y \left(  \frac{1}{y} \frac{e{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right)dy\ .$$ D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $$\p(Y>\delta)\geq \delta \int_\delta^{+\infty} F(y)dy$$ avec $$F(y)=\int_y^{+\infty}\frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}} dx\ .$$
\item Int\'egrer par parties $\int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy$ (en int\'egrant le $1$ et d\'erivant le $F$) pour trouver 
$$
\int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy= -\delta \int_\delta^{+\infty} \frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}} dx+\frac{ e^{-\frac{\delta^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}}.
$$
\item En d\'eduire que $$\p(Y>\delta)\geq \frac{1}{\left(\delta+\frac{1}{\delta}\right)} \frac{ e^{-\frac{\delta^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}}.$$
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item On fait des int\'egrations par parties~:
 \begin{eqnarray*}
\E(X) & = & \int_\R \lambda x e^{-\lambda x} \1_{x\geq0} dx\\
& = &\int_0^{+\infty} \lambda x e^{-\lambda x} dx\\
& = & [-x e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}  e^{-\lambda x} dx\\
& = & 0 + [-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda}
 \end{eqnarray*}

 \begin{eqnarray*}
  \var (X) & = & \E(X^2) -\E(X)^2\\
 & = & \int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx -\frac{1}{\lambda^2} \\
 & = &  [- x^2 e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} 2x e^{-\lambda x} dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
 & = & 0 + \left[ - 2x \frac{e^{-\lambda x}}{\lam} \right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} 2 \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} dx -\frac{1}{\lambda^2}\\
 & = & 0 + \left[ - 2 \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda^2} \right]_0^{+\infty}-\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
 \end{eqnarray*}

 Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
 \begin{eqnarray*}
 \E(f(2X)) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(2x) \1_{x\geq 0} \lambda e^{-\lambda x} dx\\
 \text{(changement de variable $t=2x$)} & = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \1_{t/2\geq 0}\lambda e^{-\lambda t/2} \frac{1}{2} dt\ .
 \end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de  $2X$ est $t\mapsto \1_{t\geq 0} \frac{\lam}{2} e^{-\lam t/2}$. \\
Calculons~: $E(2 X)=2\E(X)=\frac{2}{\lambda}$ (par lin\'earit\'e de l'esp\'erance) et $ \var (2X)=\E((2X)^2)-\E(2X)^2= 4\E(X^2)-4(\E(X))^2=4  \var (X) =\frac{4}{\lambda^2}$ (par lin\'earit\'e de l'esp\'erance).

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
 \begin{eqnarray*}
 \E( f( \sigma U + m)) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f( \sigma x + m) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 \text{(changement de variable $t=\sigma x +m$)} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}} dt
 \end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $\sigma U + m$ est la m\^eme que celle de la loi de $X$ donc $\sigma U + m$ et $X$ ont m\^eme loi

 \item $E(X)=\E(\sigma U+ m)=\sigma \E(U) + m=m$ (car $\E(U)=0$ car int\'egrale de fonction impaire) et
\begin{eqnarray*}
  \var(X)& = & \var(\sigma U+m)=\E((\sigma U+m)^2)-\E(\sigma U+m)^2\\
 & = & \sigma^2 \E(U^2) + m^2 + 2m\sigma \E(U)-m^2=\sigma^2 \E(U^2)\\
 & = & \sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 & = & \sigma^2 \left[ - x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \right]_0^{+\infty} +\sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 & = & 0+\sigma^2\ .
\end{eqnarray*}

\item Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(Y))&=&\E(f(aX+b))\\
& =& \int_{-\infty}^{+\infty} f(at+b) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}} dt\\
\text{(changement de variable $x=at+b$)}& = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma ^2}} e^{-\frac{(x-b-m)^2}{2a^2 \sigma^2}} dx
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $Y$ est $x\mapsto  \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma ^2}} e^{-\frac{(x-b-m)^2}{2a^2 \sigma^2}} $~.

\item $\E(Y)=\E(aX+b)=a\E(X)+b=am+b$ et
\begin{eqnarray*}
 \var(Y)&=& \var(aX+b)=\E((aX+b)^2)-\E(aX+b)^2\\
&=& a^2\E(X^2)+b^2+2ab\E(X)-a^2\E(X)^2-b^2-2ab\E(X)\\
& = & a^2\E(X^2)-a^2\E(X)^2=a^2 \var(X)=a^2 \sigma^2\ .
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\item
\begin{eqnarray*}
\E(X) & = & \sum_{k\geq 0} k \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}\\
& = & \sum_{k\geq 1} \theta \frac{\theta^{k-1} e^{-\theta}}{(k-1)!}\\
& = & \theta \sum_{q\geq 0} \frac{\theta^{q} emq^{-\theta}}{q!}\\
\text{(somme de s\'erie exponentielle)} & = & \theta
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\E(e^{-uX}) & = & \sum_{k\geq 0} e^{-uk} \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}\\
& = & \sum_{k\geq 0} (e^{-u}\theta)^k \frac{e^{-\theta}}{k!}\\
\text{(somme de s\'erie exponentielle)} & = & \exp(e^{-u}\theta))e^{-\theta}\\
& = & \exp(\theta(e^{-u}-1))
\end{eqnarray*}

\item
Soit $f:\R^2 \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+2Y,X-Y)) & = & \int_{R^2} f(x+2y,x-y) \frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dx dy
\end{eqnarray*}
On fait un changement de variable en~:


\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
& u=x+2y\\
& v=x-y
\end{cases}
& \hspace{1cm}
\begin{cases}
& x=\frac{u+2v}{3}\\
& y=\frac{u-v}{3}\ .
\end{cases}
\end{eqnarray*}

L'application~:
\begin{eqnarray*}
\phi : \R^2 &\rightarrow & \R^2 \\
(u,v)&\mapsto& \left( \frac{u+2v}{3},\frac{u-v}{3} \right)
\end{eqnarray*}
est bijective. On calcule le jacobien (c'est \`a dire que l'on \'ecrit dans une matrice les d\'eriv\'ees partielles de $\phi$ en $u$ et $v$)~:

 $$J(u,v) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   1/3 &  1/3 \\
   2/3 &  -1/3
\end{array}
\right]
$$

On fait le changement de variable dans l'int\'egrale~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+2Y,X-Y)) & = & \int_{\R^2}  f(u,v) \frac{3e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}|\det (J(u,v))|du dv\\
&=&  \int_{\R^2}  f(u,v) \frac{e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}du dv\ .
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $(X+2Y,X-Y)$ est $(u,v)\mapsto  \frac{e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}$.\\
Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
&&\E(f(X)) = \\
 &&\int_{\R^2} f(x) \frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dx dy =\\
&&\text{(Fubini-Tonelli)}\\
&&  \frac{3}{4} \int_{\R} f(x) \left( \int_{\R} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dy \right) dx
\end{eqnarray*}

On veut calculer $\psi(x):=\int_{\R} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dy $. Commen{\c c}ons par montrer que c'est une fonction paire. On fait un changement de variable en $t=-y$ dans l'int\'egrale suivante~:
\begin{eqnarray*}
\psi(-x)&=&\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(  -|-x+2y| - |-x-y|
\right) dy \\
& = & \int_{+\infty}^{-\infty}\exp\left(-|-x-2t| - |-x+t|
\right) (-1)dt\\
& = &\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-|x+2t| - |x-t|
\right) dt=\psi(x)\ .
\end{eqnarray*}
On se contente donc de calculer $\psi(x)$ pour $x\geq 0$~:
\begin{eqnarray*}
\psi(x) & = & \int_{-\infty}^{-x/2} e^{(x+2y)} e^{-(x-y)} dy \\
&&~~~+ \int_{-x/2}^x e^{-(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_x^{+\infty}   e^{-(x+2y)} e^{(x-y)} dy \\
& =& \frac{e^{-3x/2}}{3} +e^{-3x/2}-e^{-3x} + \frac{e^{-3x}}{3}\\
& = &\frac{4 e^{-3x/2}}{3}-\frac{2}{3}e^{-3x}\ .
\end{eqnarray*}
Donc par parit\'e, $\psi(x) =\frac{4e^{-3|x|/2}}{3}-\frac{2}{3}e^{-3|x|}$ $\forall x\in \R$. Donc~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X)) & = & \frac{3}{4}\int_{\R} f(x) \left( \frac{4e^{-3|x|/2}}{3}+e^{-5|x|/2}-\frac{2}{3}e^{-3|x|} \right)\ .
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $X$ est $x\mapsto  e^{-3|x|/2}-\frac{e^{-3|x|}}{2} $.


%&&\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} f(x) \left( \int_{-\infty}^{-x/2} e^{(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_{-x/2}^x e^{-(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_x^{+\infty}   e^{-(x+2y)} e^{(x-y)} dy \right) dx\\
%&&~~~~~ + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 f(x) \left( \int_{-\infty}^{x} e^{(x+2y)}e^{-(x-y)} dy + \int_x^{-x/2} e^{-(x+2y)}e^{-(x-y)} dy +\int_{-x/2}^{+\infty} e^{-(x+2y)}e^{(x-y)}dy \right) dx=\\
%&& \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} f(x) \left( \frac{e^{-3x/2}}{3} + \frac{ e^{-5x/2}-e^{-3x}}{3} + \frac{e^{-3x}}{3} \right) dx +\frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 f(x) \left(   \frac{e^{3x}}{3} + \frac{e^{5x/2}-e^{3x}}{3} + \frac{e^{-3x/2}}{3} \right) dx\\
%&& \int_{\R} f(x) \frac{1}{6}\left(e^{-3|x|/2} + e^{-5|x|/2}-e^{-3|x|} + e^{-3|x|} \right) dx
%\end{eqnarray*}
%Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $X$ est $x\mapsto= \frac{1}{6} \left(\frac{e^{-3|x|/2}}{3} + e^{-5|x|/2}-e^{-3|x|} + \frac{e^{-3|x|}}{3} \right) $.

 Des calculs analogues conduisent \`a la densit\'e suivante pour $Y$~: $y\mapsto \frac{3}{4} e^{-3|y|}  (1+3|y|)$.


\item Soit $f:\R\rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(1/Y)) & =  &\int_{-\infty}^{+\infty} f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx\\
& =&\int_{-\infty}^0 f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx +\int_0^{+\infty} f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx\\
&&~~~\text{(changement de variable en $u=1/x$)}\\
& = & \int_0^{-\infty} f(u) \frac{1}{\pi(1+1/u^2)}\left(-\frac{1}{u^2}\right) du\\
&&~~~\text{(changement de variable en $v=1/x$)}\\
&&~~~~~+\int_{+\infty}^0 f(v) \frac{1}{\pi(1+1/v^2)}\left(-\frac{1}{v^2}\right) dv\\
%\text{ (on est oblig\'e de d\'ecouper l'int\'egrale en deux morceaux pour faire des changements de variables \underline{bijectifs})}
& = & \int_{-\infty}^0 f(u) \frac{1}{\pi(1+u^2)} du +\int_0^{+\infty} f(v) \frac{1}{\pi(1+v^2)} dv\\
& = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \frac{1}{\pi(1+u^2)} du
\end{eqnarray*}
(Remarque~: on est oblig\'e de d\'ecouper l'int\'egrale en deux morceaux pour faire des changements de variables bien d\'efinis.) On a donc que $u\mapsto \frac{1}{\pi(1+u^2)}$ est la densit\'e de $1/Y$.


% \begin{eqnarray*}
%\E(X) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
%e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} dx \\
% \text{(changement de variable $t=x-m$)} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} (t+m)\frac{1}{\sqrt{2 \pi %\sigma^2}}  e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt \\
% & = &  \int_{-\infty}^{+\infty} t  \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt + m %\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt\\
% & = & 0 + m\\
% \end{eqnarray*}
%car l'int\'egrale d'une fonction impaire int\'egrable est nulle.

%\begin{eqnarray*}
%  \var (X) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} x^2  \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
%e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} dx - m^2\\

\item On utilise l'in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebichev~: $\p(X\geq 20)\leq \frac{1}{20} \E(X) =\frac{1}{2}$.

\item
Soit $f \in C^+_b(\R)$, on calcule~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X)) & = & \int_{\R^2} f(x) \frac{1}{\pi^2}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dx dy\\
\text{ par Fubini-Tonelli} & = & \int_{-\infty}^{+\infty}  f(x)\left( \frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dy \right)dx\ .
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $X$ est la fonction de $x$ suivante~:

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dy & = & \frac{1}{\pi^2} \left[ \frac{1}{1+x^2}\arctan((1+x^2)y)  \right]_{-\infty}^{+\infty}\\
& = & \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\ .
\end{eqnarray*}

\item Soit $f \in C^+_b(\R)$, on calcule~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X/Y)) & = & \int_{\R^2} f(u/v) \frac{1}{2\pi} e^{-u^2/2} e^{-v^2/2} du dv \\
\end{eqnarray*}

On fait un chamgement de variable en $s=u/v,t=v$, $u=st,v=t$. La matrice jacobienne est~:

$$J(s,t) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   t &  0 \\
   s &  1
\end{array}
\right]
$$
de d\'eterminant $t$. On a donc~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X/Y)) & = & \int_{\R^2} \frac{1}{2\pi} f(s) |t| e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2}  ds dt\\
\text{ par Fubini-Tonelli} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(s) \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} |t| dt \right) ds\ .
\end{eqnarray*}

Donc la densit\'e de $X/Y$ est la fonction de $s$ suivante (par parit\'e)~:

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} |t| dt & = & \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} t dt \\
 (\text{ changement de variable } z=\sqrt{1+s^2}\times t) & = & \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-z^2/2} z \frac{1}{1+s^2} dz \\
 & = & \frac{1}{\pi} \left[  -e^{-z^2/2} \frac{1}{1+s^2}  \right]_0^{+\infty}\\
 & = &\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+s^2}\ .
\end{eqnarray*}

On calcule~:
\begin{eqnarray*}
\E(|X/Y|) & =  & \int_{-\infty}^{+\infty} |s| \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+s^2} ds\\
\text{ (parit\'e) } & = &  \int_0^{+\infty} s \frac{2}{\pi} \frac{1}{1+s^2} ds\\
& = & +\infty
\end{eqnarray*}
car $\frac{s}{1+s^2} \underset{s\rightarrow +\infty}\sim \frac{1}{s}$ qui n'est pas int\'egrable en $+\infty$.
Donc $X/Y$ n'est pas int\'egrable.

\item
\begin{enumerate}
 \item On a $\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})=xe^{-\frac{x^2}{2}}$. On fait une int\'egration par parties~:
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})dx\\
& = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{1}{x}  e^{-\frac{x^2}{2}} \right]_\delta^\infty -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x^2} e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
& \leq &  \frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}.
\end{eqnarray*}
\item Par la question pr\'ec\'edente~:
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) &= & \int_\delta^\infty   y \left(  \frac{1}{y} \frac{e{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right)dy\\
& \leq & \int_\delta^\infty   y \times \p(Y>y) dy\\
& = & \delta \int_\delta^{+\infty} F(y)dy
\end{eqnarray*}
\item
\begin{eqnarray*}
 \int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy &=& \left[ y F(y) \right]_\delta^\infty +\int_\delta^\infty y \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dy\\
&=& -\delta F(\delta) + \left[  - \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \right]_\delta^\infty \\
&=& -\delta \int_\delta^\infty \frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dx + \frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
\end{eqnarray*}
\item D'o\`u
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) &\geq& -\delta^2 \p(Y>\delta) + \delta \frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\\
\p(Y>\delta) &\geq& \frac{\delta}{1+\delta^2}\frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\ .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\chapter{Variables ind\'ependantes}


On se donne dans tout le chapitre un espace probabilis\'e $(\Omega,\A,\p)$.

\section{D\'efinitions g\'en\'erales}

\subsection{\'Ev\'enements et variables ind\'ependantes}

\begin{definition}\index{Evenements@\'Ev\'enements ind\'ependants}
 On dit que $A_1,A_2,\dots \in \A$ sont ind\'ependants si $\forall j_1,\dots,j_p$ (indices distincts)~:
$$
\p(A_{j_1}\cap \dots \cap A_{j_p})=\p(A_{j_1}) \times \dots \times \p(A_{j_p})\ .
$$
On notera $A_1 \independent A_2 \independent \dots $. \index{$\independent$}

On dit que deux \'ev\'enements $A_1,A_2$ sont ind\'ependants si $\p(A_1\cap A_2)=\p(A_1)\times\p(A_2)$. On notera $A_1 \independent A_2$.
\end{definition}

\begin{remark}
 Pour que les \'ev\'enements ci-dessus soient ind\'ependants, il ne suffit pas qu'ils soient deux \`a deux ind\'ependants (c'est \`a dire $\p(A_i\cap A_j)=\p(A_i)\p(A_j), \forall i\neq j$).
% 
% La d\'efinition pr\'ec\'edente entra{\^\i}ne que pour $A_1,A_2,\dots$ ind\'ependants et $j_1,\dots,j_p$ distincts, $A_{j_1}$ est ind\'ependant de $A_{j_2}\cap \dots\cap A_{j_p}$. En effet~:
% \begin{eqnarray*}
%  \p(A_{j_1}\cap (A_{j_2}\cap \dots\cap A_{j_p})) &=& \p(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap \dots\cap A_{j_p})\\
% &=& \p(A_{j_1}) \times \p(A_{j_2})\times \dots\times \p(A_{j_p})\\
% &=& \p(A_{j_1}) \times \p(A_{j_2}\cap\dots\cap A_{j_p}) \ .
%\end{eqnarray*}

\end{remark}

\begin{lemma}
 $A_1,A_2,\dots \in \A$ sont ind\'ependants alors $A_1^c,A_2^c,\dots$ sont ind\'ependants.
\end{lemma}

\begin{proof}
Nous ne faison la d\'emonstration que pour deux \'ev\'enements $A_1,A_2$. Nous avons (en utilisant les propri\'et\'es des mesures)
\begin{eqnarray*}
 \p(A_{1}^c\cap A_{2}^c) &=& \p((A_{1}\cup A_{2})^c)\\
&=& 1-\p(A_{1}\cup A_{2})\\
&=& 1- \p((A_{1} \backslash A_{2}) \cup (A_{2} \backslash A_{1})\cup(A_{1}\cap A_{2}))\\
&=& 1- \p( A_{1} \backslash A_{2}) - \p (A_{2} \backslash A_{1}) - \p(A_{1}\cap A_{2})\\
&=& 1-(\p(A_{1})-\p(A_{1}\cap A_{2}))\\
&&~~~-(\p(A_{2})-\p(A_{1}\cap A_{2}))- \p(A_{1}\cap A_{2})\\\
\text{(car $A_{1}$ ind\'ependant de $A_{2}$) }&=& 1-\p(A_{1})-\p(A_{2})+\p(A_{1})\p(A_{2})\\
&=& (1-\p(A_{1}))(1-\p(A_{2}))= \p(A_{1}^c)\p(A_{2}^c)
\end{eqnarray*}


\end{proof}



\begin{definition}\index{Variables ind\'ependantes}\label{def:varind}
 Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables al\'eatoires \`a valeurs (respectivement) dans des espaces mesurables $(E_1,\mathcal{E}_1),\dots,(E_n,\mathcal{E}_n)$. On dit que $X_1,\dots,X_n$ sont ind\'epen\break -dantes si $\forall (F_1,\dots,F_n) \in \mathcal{E}_1\times\dots\mathcal{E}_n$, 
$$
\p(\{X_1\in F_1\}\cap\dots\cap\{X_n\in F_n\})=\p(\{X_1\in F_1\})\times\dots\times\p(\{X_n\in F_n\})\ .
$$
On notera $X_1\independent \dots\independent X_n$.
\end{definition}

\begin{remark}
 Pour que $X_1,\dots,X_n$ soient ind\'ependants, il ne suffit pas qu'ils soient deux \`a deux ind\'ependants.
\end{remark}

\begin{theorem}\label{theo:espind}
 Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables ind\'ependantes comme dans la d\'efinition ci-dessus. Alors $\forall f_1:E_1\rightarrow \R$ mesurable,\dots, $\forall f_n:E_n\rightarrow \R$ mesurable~:
$$
\E(f_1(X_1)\dots f_n(X_n)) = \E(f_1(X_1)) \times \dots \times \E(f_n(X_n))\ .
$$
\end{theorem}


\begin{corollary}
 Si $X,Y$ sont des v.a.r. ind\'ependantes alors $$ \var (X+Y) =  \var(X)+ \var(Y)\ .$$
\end{corollary}

\begin{proof}
 \begin{eqnarray*}
   \var(X+Y) &=& \E((X+Y)^2)-(\E(X+Y))^2\\
&=& \E(X^2+Y^2+2XY)- \E(X)^2-\E(Y)^2-2\E(X)\E(Y)\\
&=& \E(X^2)+\E(Y^2) +2\E(X)\E(Y) - \E(X)^2-\E(Y)^2-2\E(X)\E(Y)\\
&=& \E(X^2)+\E(Y^2)- \E(X)^2-\E(Y)^2\\
&=&  \var(X)+ \var(Y)\ .
 \end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{definition}\label{def:tribuengendree1}\index{Tribu engendr\'ee}\index{Mesurabilite@Mesurabilit\'e}\index{$\sigma(.)$} 
Soit $Y$ v.a. \`a valeurs dans un espace mesurable quelconque $(E,\mathcal{E})$. La tribu engendr\'ee par $Y$ est $\sigma(Y)=\{ Y^{-1}(A), A \in \mathcal{E}\}$. La famille $\sigma(Y)$ est une tribu et $\sigma(Y) \subset \A$.
\end{definition}

\begin{proposition}
Soient $X_1,\dots, X_m$ des variables ind\'ependantes comme dans la d\'efinition \ref{def:varind}. Alors $\forall A_1 \in \sigma(X_1),\dots, A_n \in \sigma(X_n)$, $A_1, \dots , A_n$ sont ind\'ependants. (En d'autres termes, des \'ev\'enements relatifs \`a des variables ind\'ependantes dont ind\'ependants.)

Et, de plus, $\forall f_1:E_1\rightarrow \R$ mesurable,\dots, $\forall f_n:E_n\rightarrow \R$ mesurable, les variables $f_1(X_1), \dots, f_n(X_n)$ sont ind\'ependantes.
\end{proposition}

\subsection{Densit\'es de variables ind\'ependantes}

\begin{theorem}
 Soient $X_1,\dots X_n$ des v.a.r.
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Si $\forall i$, $X_i$ a la densit\'e $p_i$ et $X_1,\dots,X_n$ ind\'ependantes alors $(X_1,\dots,X_n)$ a la densit\'e
$$
(x_1,\dots,x_n) \mapsto p(x_1,\dots,x_n) =p_1(x_1)\times \dots \times p_n(x_n)\ .
$$
\item Si $X_1,\dots,X_n$ sont telles que $(X_1,\dots,X_n)$ a une densit\'e de la forme
$$
(x_1,\dots,x_n) \mapsto p(x_1,\dots,x_n) =q_1(x_1)\times \dots \times q_n(x_n)\ ,
$$
alors $X_1,\dots,X_n$ sont ind\'ependantes et $\forall i$, $X_i$ a une densit\'e $p_i=C_i q_i$ pour une certaine constante $C_i$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{remark}
 Quand on se trouve dans le cas (ii) du th. ci-dessus, on d\'etermine les constantes $C_i$ \`a l'aide de la propri\'et\'e~: $\forall i$, $\int_{\R^d} p_i(x) dx=1$ (cf. rem \ref{rem:densite}). Ce qui donne 
$$
C_i=\frac{1}{\int_{\R^d} q_i(x) dx}\ .
$$
\end{remark}

%\begin{corollary}\label{cor:espind}
% Si $X$ et $Y$ sont deux v.a. ind\'ependantes \`a valeurs dans $\R^d$ et $f,g$ mesurables $\Omega \rightarrow \R$, alors
%$$
%\E(f(X)g(Y))=\E(f(X))\E(g(Y))\ .
%$$
%\end{corollary}

%\begin{proof}
%La variable $(X,Y)$ a un densit\'e qui s\'ecrit $(x,y)\mapsto p(x) q(y)$ donc 
%\begin{eqnarray*}
%  \E(f(X)g(Y)) &=& \int_{\R^d \times \R^d} f(x) g(y) p(x) q(y) dx dy \\
%\text{(comme dans ex. \ref{ex:conv2}) } &=& \int_{\R^d } f(x) p(x) dx \times  \int_{\R^d } g(y) q(y) dy\\
%&=& \E(f(X))\E(g(y))\ .
% \end{eqnarray*}

%\end{proof}


\begin{example}
 Soit $U\sim \mathcal{E}(1)$ et $V\sim \mathcal{U}([0,1])$. Les variables $U,V$ sont suppos\'ee ind\'ependantes. Soient $X=\sqrt{U}\cos(2\pi V),Y=\sqrt{U}\sin(2\pi V)$. Soit $\phi \in C^+(\R^2)$. Calculons
\begin{eqnarray*}
 \E(\phi(X,Y))&=& \E(\phi(\sqrt{U}\cos(2\pi V),\sqrt{U}\sin(2\pi V)))\\
&=&  \int_0^{+\infty} \int_0^1 \phi(\sqrt{u}\cos(2\pi v),\sqrt{u}\sin(2\pi v)) e^{-u} du dv\ .
\end{eqnarray*}
Changement de variable~:
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
 u&=&r^2\\
v&=&\frac{2\theta}{\pi}
\end{array}
\right.
\ , \
\left\{
\begin{array}{ccc}
 r&=&\sqrt{u}\\
\theta&=&\frac{\pi}{2} v
\end{array}
\right.
\ .
$$
Diff\'eomorphisme~:
$$
\begin{array}{rcrcl}
F &:& [0,+\infty[\times [0,\frac{\pi}{2}[ &\rightarrow& [0,+\infty[\times[0,1]\\
&&(r,\theta ) & \mapsto & \left(  r^2,\frac{2 \theta}{\pi}\right)\ .
\end{array}
$$
Matrice jacobienne~:
$$
\left[
\begin{array}{cc}
2r &0\\
0 & \frac{2}{\pi}
\end{array}
\right]\ .
$$
Donc

\begin{eqnarray*}
\E(\phi(X,Y))&=& \int_0^{+\infty} \int_{0}^{\pi/2} \phi(r \cos(\theta), r\sin(\theta)) |r| e^{-r^2}\frac{4}{\pi} d\theta dr \ .
\end{eqnarray*}
Puis par changement de variables en coordonn\'ees polaires (comme dans l'exemple \ref{ex:polar}) :
\begin{eqnarray*}
 \E(\phi(X,Y))&=& \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \phi(x,y) e^{-x^2-y^2}\frac{4}{\pi} dx dy\ .
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $(X,Y)$ est $(x,y)\mapsto \frac{4}{\pi} e^{-x^2}e^{-y^2}$ (par (\ref{eq:valnum}), on peut v\'erifier que c'est bien une fonction d'int\'egrale sur $\R^2$ \'egale \`a  $1$). C'est un produit d'une fonction de $x$ et d'une fonction de $y$ donc $X$ et $Y$ sont ind\'ependantes.
\end{example}


\section{Lemme de Borel-Cantelli}\index{Lemme de Borel-Cantelli}

\begin{theorem}{Lemme de Borel-Cantelli}
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Soient $A_1,A_2,\dots$ une famille d\'enombrable d'\'ev\'enements telle que $\sum_{n\geq 1}\p\left(A_n\right)<\infty$. Alors 
$$
\p\left(\{\omega:\omega \in\text{ une infinit\'e de }A_n\}\right)=0\ .
$$
Ce qui s'\'enonce aussi~: p.s., seul un nombre fini d'\'ev\'enements $A_n$ est r\'ealis\'e.
\item Si on a $A_1,A_2,\dots$ une   famille d\'enombrable d'\'ev\'enements \underline{ind\'ependants} tels que  $$\sum_{n\geq 1}\p\left(A_n\right)=\infty$$   alors 
$$
\p\left(\{\omega:\omega \in\text{ une infinit\'e de }A_n\}\right)=1\ .
$$
Ce qui s'\'enonce aussi ~: p.s., une infinit\'e d'\'ev\'enements $A_n$ est r\'ealis\'ee.
 \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Le symbole $\E$ est une int\'egrale, nous avons donc, d'apr\`es l'exemple \ref{ex:interversion}~:
\begin{eqnarray*}
 \E\left( \sum_{n\geq 1} \1_{A_n}\right) &=& \sum_{n\geq 1} \E\left(\1_{A_n}\right)\\
&=& \sum_{n\geq 1} \p\left(A_n\right) <\infty
\end{eqnarray*}
donc, par la propri\'et\'e (\ref{rem:propesperance:v}) de la remarque \ref{rem:propesperance}, la variable $Y=\sum_{n\geq 1}\1_{A_n}$ est finie p.s.
\item Calculons
\begin{eqnarray*}
 \{ \omega:\omega \in \text{ infinit\'e de }A_n \} &=& \{ \omega:\forall n_0, \exists k\geq n_0,\omega \in A_k\} \\
&=& \{\omega: \forall n_0,\omega \in \underset{k\geq n_0}{\bigcup} A_k\}\\
&=& \underset{n_0\geq 1}{\bigcap} \left( \underset{k\geq n_0}{\bigcup} A_k \right)\ .
\end{eqnarray*}
Soit $n_0$ fix\'e, nous avons par ind\'ependance $\forall n\geq n_0$

\begin{eqnarray*}
\p\left(\underset{n_0\leq k \leq n}{\bigcap} A_k^c\right) &=& \prod_{n_0\leq k \leq n} \p\left(A_k^c\right)\\
&=& \prod_{n_0\leq k \leq n} \left(1-\p\left(A_k\right)\right)
 \end{eqnarray*}
donc $\log\left(\p\left(\underset{n_0\leq k \leq n}{\bigcap} A_k^c\right)\right)=\sum_{n_0\leq k \leq n} \log\left(1-\p\left(A_k\right)\right)$. Nous avons 

$$\log\left(1-\p\left(A_k\right)\right)\leq -\p\left(A_k\right)$$
 donc la s\'erie pr\'ec\'edente diverge. Donc 
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{n_0\leq k \leq n} \log\left(1-\p\left(A_k\right)\right) = -\infty$$
 donc
 $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \prod_{n_0\leq k \leq n} \left(1-\p\left(A_k\right)\right) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \p\left(\underset{n_0\leq k \leq n}{\bigcap} A_k^c\right)  = -\infty\ .$$
Pour tout $n\geq n_0$, $\underset{n_0\leq k \leq n+1}{\bigcap} A_k^c  \subset \underset{n_0\leq k \leq n}{\bigcap} A_k^c$. Donc par intersection d\'ecroissante (cf. prop.  \ref{prop:dec})
$$
\p\left( \underset{n_0\leq k }{\bigcap} A_k^c \right) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \p\left( \underset{n_0\leq k \leq n}{\bigcap} A_k^c \right)  = 0\ .
$$
Et donc par r\'eunion,
$$
\p\left(\underset{n_0\geq 1}{\bigcup} \underset{n_0\leq k }{\bigcap} A_k^c \right)\leq \sum_{n_0\geq  1} \p(\underset{n_0\leq k}{\bigcap} A_k^c ) =0\ .
$$
Donc par passage au compl\'ementaire
$$
\p\left( \underset{n_0\geq 1}{\bigcap} \underset{n_0\leq k }{\bigcup} A_k\right) = 0
$$
\end{enumerate}

\end{proof}

\section{Somme de deux variables ind\'ependantes}

\begin{definition}\index{Convolution}\index{$\star$}{Convolution de deux mesures}\\
 Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures sur $\R^d$, on d\'efinit $\mu \star \nu$ (la convol\'ee de $\mu$ et $\nu$) par la relation suivante~: $\forall \phi \in \mathcal{C}^+_b(\R^d)$,
$$
\int_{\R^d} \phi(z) \mu\star\nu(dz) = \int_{\R^d}\int_{\R^d} \phi(x+y) \mu(dx) \nu(dy)\ .
$$
(Cette relation d\'etermine compl\`etement $\mu\star\nu$.)
\end{definition}

\begin{remark}
 Par un changement de variable, on montre que $\mu\star \nu=\nu\star\mu$.
\end{remark}

\begin{lemma}
 Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures de probabilit\'e sur $\R^d$ de densit\'es respectivement $f$ et $g$ alors $\mu\star \nu$ est une mesure de probabilit\'e de densit\'e $f\star g$ (cf. ex. \ref{ex:conv1} et \ref{ex:conv2} pour la d\'efinition de la convol\'ee de deux fonctions).
\end{lemma}

\begin{proof}
 Soit  $\phi \in \mathcal{C}^+_b(\R^d)$,
\begin{eqnarray*}
 \int_{\R^d} \phi(z) \mu\star\nu(dz) &=& \int_{\R^d}\int_{\R^d} \phi(x+y) \mu(dx) \nu(dy)\\
&=& \int_{\R^d}\int_{\R^d} \phi(x+y) f(x) g(y) \mu(dx) \nu(dy)\ .
\end{eqnarray*}
Changement de variable $\R^d\times \R^d \rightarrow \R^d$, $u=x+y,v=y$, $x=u-v,y=v$. Matrice jacobienne~:
$$
\left[
\begin{array}{cc}
 1 & 1\\
-1 & 0
\end{array}
\right]\ .
$$
Donc
\begin{eqnarray*}
 \int_{\R^d} \phi(z) \mu\star\nu(dz) &=& \int_{\R^d}\int_{\R^d} \phi(u) f(u-v)g(v) du dv\\
\text{(Borel-Cantelli) } &=&  \int_{\R^d} \phi(u) \left(  \int_{\R^d} f(u-v)g(v) dv \right) du\\
&=& \int_{\R^d} \phi(u)  f\star g (u) du\ .
\end{eqnarray*}
Donc $f \star g$ est la densit\'e de $\mu \star \nu$. 
\end{proof}

\begin{proposition}\index{Fonction caract\'eristique}\index{Fonction g\'en\'eratrice}
 Soient $X$ et $Y$ deux variables ind\'ependantes \`a valeurs dans $\R^d$.
\begin{enumerate}[i)]
 \item La loi de $X+Y$ est $\p_X \star \p_Y$. Si, de plus, $X,Y$ ont des densit\'es respectivement $p_X,p_Y$, alors $X+Y$ a pour densit\'e $p_X \star p_Y$.
\item La fonction caract\'eristique de de $X+Y$ est $\Phi_{X+Y}=\Phi_X \times \Phi_Y$.
\item Si $X,Y$ \`a valeurs dans $\N$, la fonction g\'en\'eratrice de $X+Y$ est $g_{X+Y}=g_X\times g_Y$. 
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item vient du lemme pr\'ec\'edent.
\item 
\begin{eqnarray*}
 \Phi_{X+Y}(\xi) &=& \E( e^{i\xi (X+Y)})\\
&=& \E( e^{i\xi X} e^{i\xi Y})\\
\text{ ($X\independent Y$, cf. cor. \ref{theo:espind}) } &=& \E(e^{i\xi X})\E(e^{i\xi Y})\\
&=& \Phi_X(\xi)\Phi_Y(\xi)\ .
\end{eqnarray*}
\item De m\^eme
\begin{eqnarray*}
 g_{X+Y}(t)&=& \E(t^{X+Y})\\
&=&\E(t^X t^Y)\\
&=& \E(t^X) \E(t^Y)=g_X(t)g_Y(t)\ .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{example}{Somme de gaussiennes}\\
 Soient $X\sim \mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$, $Y\sim \mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ ind\'ependantes. Nous avons (cf. lem. \ref{lem:caracgaussienne})
$$
\Phi_X(\xi)=\exp\left( i\xi m_1 -\frac{\xi^2 \sigma_1^2}{2} \right), \Phi_Y(\xi)=\exp\left( i\xi m_2 -\frac{\xi^2 \sigma_@^2}{2} \right)\ .
$$
Donc, par la proposition pr\'ec\'edente,
$$
\Phi_{X+Y}(\xi)=\exp\left( i\xi ( m_1+m_2) -\frac{\xi^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)}{2} \right) 
$$
Et donc (cf. th. \ref{theo:caract})
$$
X+Y \sim \mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \ .
$$
\end{example}

\begin{example}
 Si $X$ et $Y$ de loi $\mathcal{G}(p)$ ind\'ependantes alors
\begin{eqnarray*}
 \p(X+Y=n) &=& \p\left( \cup_{0\leq k\leq n} \{X=k,Y=n-k\} \right)\\
\text{(car \'ev. disjoints) } &=& \sum_{k=0}^n \p(X=k,Y=n-k)\\
\text{(car $X\independent  Y$) } &=& \sum_{k=0}^n \p(X=k)\p(Y=n-k)\\
 &=& \sum_{k=0}^n p^k (1-p) p^{n-k} (1-p)\\
&=& (n+1)p^n(1-p)^2\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Montrer que $X+Y$ et $X-Y$ sont
ind\'ependantes.

\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de
param\`etre $\lambda$ et que $Y$ suit une loi de Poisson de param\`etre $\mu$. Calculer la loi de $X+Y$.

\item
 $X$ une variable al\'eatoire dans $\R$  est dite sym\'etrique si  $-X$ a m\^eme loi que $X$.
\begin{enumerate}
\item Si $X$ a une  densit\'e $f$, montrer que~: $X$ est sym\'etrique \underline{si et seulement si} $f(x)=f(-x)$ pour presque
tout $x$. \item Donner un exemple de de loi sym\'etrique.
\item Montrer que $X$ est sym\'etrique \underline{si et seulement si} le nombre $\E(e^{iuX})$ est r\'eel $\forall u \in \R$.
\item Soit $X$  variable al\'eatoire dans $\R$  sym\'etrique. On suppose $\p(X=0)=0$. On note~:

$$
\epsilon=\begin{cases}
1 & \text{ si }  X>0\\
0 & \text{ si }  X=0\\
-1 & \text{ si }  X<0\ .
\end{cases}
$$
Montrer que $\epsilon$ et $|X|$ sont ind\'ependantes.
\item Si $Y$ et $Y'$ sont deux variables al\'eatoires r\'eelles de m\^eme loi et ind\'ependantes,
montrer que $Y-Y'$ est sym\'etrique.
\end{enumerate}

\item Soient $U$ de loi uniforme sur $[0,1]$ et $X$ de loi exponentielle de param\`etre $1$ deux variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\p(\sup(U,X) \leq t)$ dans les 3 cas suivants~: $t<0$, $t\in [0,1]$, $t>1$.
\item Dessiner la fonction de r\'epartition  de $\sup(U,X)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]

\item Soit $f \in C^+_b(\R^2)$, on calcule~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+Y,X-Y)) & = & \int_{\R^2} f(x+y,x-y) \frac{1}{2\pi} e^{-x^2/2} e^{-y^2/2} dx dy\\
&&\text{ (changement de variable d\'ej\`a vu : u=x+y,v=x-y)}\\
& = & \int_{\R^2} \frac{1}{2\pi} f(u,v) e^{-(u+v)^2/8-(u-v)^2/8}\frac{1}{2} du dv\\
& = & \int_{\R^2} f(u,v) e^{-u^2/4}e^{-v^2/4} \frac{1}{4\pi} du dv\\
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $(X+Y,X-Y)$ est la fonction $(u,v)\mapsto e^{-u^2/4}e^{-v^2/4} \frac{1}{4\pi}$. C'est un produit d'une fonction de $u$ et d'une fonction de $v$ donc $X+Y$ et $X-Y$ sont ind\'ependantes.

\item Les variables $X$ et $Y$ sont \`a valeurs dans $\N$ donc $X+Y$ aussi. Soit $n\in \N$, calculons~:
\begin{eqnarray*}
\p(X+Y=n) & = & \p( \{X=0 \text{ et } Y=n\} \cup \{X=1 \text{ et } Y=n-1\} \cup \dots\\
&&~~~~~~\dots \cup  \{X=n \text{ et } Y=0\} )\\
\text{ \'ev\'enements disjoints } & = & \sum_{k=0}^n \p(X=k \text{ et } Y=n-k)\\
\text{ ind\'ependance }& = &\sum_{k=0}^n \p(X=k)\p(Y=n-k)\\
& = & \sum_{k=0}^n \frac{\lam^k e^{-\lam}}{k!} \frac{\mu^{n-k} e^{-\mu}}{(n-k)!} \\
& = & \frac{e^{-\lam-\mu}}{n!}  \sum_{k=0}^n C_n^k \lam^k \mu^{n-k}\\
& = & \frac{e^{-\lam-\mu}}{n!} (\lam+\mu)^n\ .
\end{eqnarray*}
Donc $X+Y\sim \mathcal{P}(\lam+\mu)$.

\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Si $X$ est sym\'etrique~:\\
$\forall \phi \in C^+_b(\R)$,
\begin{eqnarray*}
\E(\phi(X))&=&\E(\phi(-X))\\
\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) f(t) dt & = & \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(-t) f(t) dt \\
\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) f(t) dt & = & \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(u) f(-u) du \text{ (changement de variable $u=-t$) }\ .
\end{eqnarray*}
Donc $\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) (f(t)-f(-t)) dt =0$. Cela est vrai $\forall \phi \in C^+_b(\R)$ donc $f(t)-f(-t)$ est nulle presque partout donc $f(t)=f(-t)$ pour presque tout $t$.
\item Si $f(t)=f(-t)$ pour presque tout $t$:\\
$\forall \phi \in C^+_b(\R)$,
\begin{eqnarray*}
\E(\phi(-X))&=&\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(-t) f(t) dt\\
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t)f(-t) dt \text{ (par changement de variable) }\\
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t)f(t) dt \\
&&~~~~~\text{ (car $f(t)$ et $f(-t)$ co\"incident presque partout) }
\end{eqnarray*}
donc $-X$ est de densit\'e $t\mapsto f(t)$ comme $X$ donc $X$ est sym\'etrique.
\end{itemize}

\item Exemple de loi sym\'etrique~: $X=1$ avec probabilit\'e $1/2$ et $X=-1$ avec probabilit\'e $1/2$.

\item \label{ques}
\begin{itemize}
\item Si $X$ est sym\'etrique~:\\
Pour tout $u$~:
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iuX}) &=& \E(e^{-iuX})\\
&=& \overline{\E(e^{iuX})}\ .
\end{eqnarray*}
Donc $\E(e^{iuX})\in \R$.
\item Si $\E(e^{iuX})\in \R$, $\forall u$~:
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iu(-X)})&=&\overline{\E(e^{iuX})}\\
&=&\E(e^{iuX})\ .
\end{eqnarray*}
Donc $X$ et $-X$ ont m\^eme fonction caract\'eristique donc $X$ et $-X$ ont m\^eme loi donc $X$ est sym\'etrique.
\end{itemize}

\item Soient $A_1,A_2\in \mathcal{B}(\R)$.
\begin{itemize}
\item Si $1\in A_1$ et $-1\in A_1$, $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(|X| \in A_2)=\p(\epsilon \in A_1)\p(|X| \in A_2)$.
\item Si $1\in A_1$ et $-1\notin A_1$,  $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon=1,|X|\in A_2)=\p(X>0,X\in A_2)=\p(X<0,-X\in A_2)$ car $X$ sym\'etrique donc $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\frac{1}{2}(\p(X>0,X\in A_2)+\p(X<0,-X\in A_2))=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\item Si $1\notin A_1$ et $-1\in A_1$, on montre de m\^eme que $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\item Si $1\notin A_1$ et $-1\notin A_1$, $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=0=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\end{itemize}
On a donc toujours $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$, donc $\epsilon$ et $|X|$ sont ind\'ependants.

\item On calcule la fonction caract\'eristique~;
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iu(Y-Y')})&=&\E(e^{iuY}e^{-iuY'})\\
&=&\E(e^{iuY})\E(e^{-iuY'}) \text{ (par ind\'ependance) }\\
& = &\E(e^{iuY'})\E(e^{-iuY}) \text{ (car $Y$ et $Y'$ ont m\^eme loi)}\\
& = & \E(e^{iu(Y'-Y)})\\
&=&\overline{\E(e^{iu(Y-Y')})}\ .
\end{eqnarray*}
Donc par la question \ref{ques}, $Y-Y'$ est sym\'etrique.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
F(t)=\p(\sup(U,X) \leq t) & = & \p(U\leq t, X\leq t)\\
\text{ (ind\'ependance) } & = & \p(U\leq t)\p(X\leq t)\\
& = &
 \begin{cases}
0 & \text{ si } t\leq 0\\
t(1-e^{-t}) & \text{ si } t\in ]0,1[\\
1-e^{-t} & \text{ si } t>1
 \end{cases}
\end{eqnarray*}
\item On remarque que $F$ est continue et qu'elle a un point anguleux en  $1$.
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\chapter{Convergence de variables al\'eatoires}

On se donne dans tout le chapitre un espace probabilis\'e $(\Omega,\A,\p)$.

\section {Les diff\'erentes notions de convergence}
On se donne $X,(X_n)_{n\geq 0}$ v.a. \`a valeurs dans $\R^d$.

\begin{definition}\index{Convergence!presque s\^ure}(C'est une r\'e\'ecriture de la d\'efinition \ref{def:convps}.)\\
 On dit que $X_n$ converge presque s\^urement vers $X$ et on note $X_n \convps X$ si 
$$
\p(\{\omega \in \Omega:X(\omega)=\lim_{n\rightarrow +\infty}X_n(\omega)\})=1\ .
$$
\end{definition}

\begin{definition}\index{Convergence!$L^p$}\index{$L^p$}
 On dit que $X_n$ converge dans $L^p$ vers $X$ et on note $X_n \overset{L^p}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}}X$ si $\E(\Vert X-X_n \Vert^p) \convn 0$ (ici, $\Vert . \Vert$ est la norme usuelle sur $\R^d$).\index{$\Vert . \Vert$}
\end{definition}

\begin{definition}\index{Convergence!en probabilit\'e}
 On dit que $X_n$ converge en probabilit\'e vers $X$ et on note $X_n \convproba X$ si $\forall \epsilon>0$, $\p(\Vert X-X_n \Vert \geq \epsilon) \convn 0$.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Convergence!en loi}
  On dit que $X_n$ converge en loi vers $X$ et on note $X_n \convloi X$ si $F_{X_n}(t) \convloi F_X(t)$ en tout point $t$ o\`u $F_X$ est continue (c'est \`a dire en tout point $t$ tel que $\p(X=t)=0$.
\end{definition}

\begin{definition}\index{Convergence!en loi}
Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures de probablilit\'e sur $\R^d$. On dit que $(\mu_n)$ converge \'etroitement  \index{Convergence!etroite@\'etroite} vers $\mu$ et on note $\mu \convetr \mu$ si $\forall \phi \in \mathcal{C}^+_b(\R^d)$, 
$$
\int_{\R^d} \phi(x) \mu_n(dx) \convn \int_{\R^d} \phi(x) \mu(dx) \ .
$$
\end{definition}


\begin{theorem}\label{theo:equconvloi}
 Nous avons l'\'equivalence
$$
\left[ X_n \convloi X \right] \Leftrightarrow \left[ \forall f \in \mathcal{C}^+_b(\R^d),\ \E(f(X_n))\convn \E(f(X)) \right]\ .
$$
\end{theorem}

\begin{corollary}
Pour une suite de v.a. \`a valeurs dans $\R^d$,
$$
\left[ X_n \convloi X \right] \Leftrightarrow \left[  \p_{X_{n}}  \convetr \p_X \right]
$$
\end{corollary}


\begin{theorem}
\begin{enumerate}[i)]
\item $\left[X_n \convps X \right]\Rightarrow \left[X_n \convproba X \right]$
\item $ \forall p\geq 1$, $\left[ X_n \convlp X \right] \Rightarrow \left[ X_n \convproba X \right]$
\item $  \left[ X_n \convproba X \right] \Rightarrow \left[ \exists \text{ sous-suite } (X_{g(n)}) : X_{g(n)} \convps X  \right] $
\item $ \left[ X_n \convproba  X\right] \Rightarrow \left[ X_n \convloi X\right]$
\end{enumerate}
\end{theorem}

Rappel~: une sous-suite d'une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est donn\'ee par une application strictement croissante $g:\N \rightarrow \N$, la sous-suite s'\'ecrit alors $(u_{g(n)})_{n\geq 0}$.

Diagramme~:
$$
\begin{array}{ccccc}
\text{convergence } L^p & \Rightarrow &\text{ convergence en probabilit\'e } & \Leftarrow & \text{ convergence p.s.}\\
&& \Downarrow &&\\
&& \text{ convergence en loi.} &&
\end{array}
$$
Toutes les autres implications sont fausses.


\section{Loi des grands nombres}

\begin{notation}\index{i.i.d.}\index{Variables ind\'ependantes identiquement distribu\'ees}
Soient $X_1,X_2,\dots$ des variables ind\'ependantes et de m\^eme loi. On dira que ces variables sont ind\'ependantes et identiquement distribu\'ees et on utilisera la notation \og i.i.d. \fg.
\end{notation}

\begin{theorem}\index{Loi!faible des grands nombres}{Loi faible des grands nombres}\\
Soient $X_1,X_2,\dots$ des v.a.r. i.i.d. Si $\E(X_n^2) < \infty$, on a 
$$
\frac{X_1+\dots+X_n}{n} \convldeux \E(X_1)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
\E\left(\left( \frac{X_1+\dots+X_n}{n} - \E(X_1) \right)^2  \right) & = & \E\left(\left( \frac{(X_1-\E(X_1))+\dots + (X_n-E(X_n)) }{}  \right)^2  \right)\\
& = & \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} \E((X_k-\E(X_k))^2) \\
&=& \frac{ \var(X_1)}{n} \convn 0
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{theorem}\index{Loi!forte des grands nombres}{Loi forte des grands nombres}\\
Soient $X_1,X_2,\dots$ des v.a.r. i.i.d. Si $\E(|X_1|)<\infty$ (en d'autres termes. Si $X_1$ est int\'egrable) alors
$$
\frac{X_1+\dots+X_n}{n} \convps \E(X_1)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Nous ne ferons la d\'emonstration que dans le cas $\E(X_1^4) < \infty$. Nous voulons montrer que 
$$
\frac{(X_1-\E(X_1))+\dots+(X_n-\E(X_n))}{n} \convps 0\ .
$$
Posons pour tout $i$, $X_i'=X_i-\E(X_i)$. Calculons
\begin{eqnarray*}
\E\left(\left(\frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}  \right)^4\right) & = & \frac{1}{n^4} \sum_{i_1,i_2,i_3,i_4 \in \{1,\dots,n\}} \E(X_{i_1}'X'_{i_2}X'_{i_3}X'_{i_4})\ .
\end{eqnarray*}
Remarquons que dans cette derni\`ere somme, certains termes sont nuls. Par exemple, en utilisant les propri\'et\'es des variables ind\'ependantes (cf. cor. \ref{theo:espind})
\begin{eqnarray*}
\E(X'_1 X'_2 X'_2 X'_2)&=&\E(X'_1)\E((X'_2)^3)=0\\
\E(X'_1 X'_2 X'_3 X'_3) &=& \E(X'_1)\E(X'_2)\E((X_3')^2)=0\ .
\end{eqnarray*}
Apr\`es regroupement des termes identiques, nous obtenons

\begin{eqnarray*}
\E\left(\left( \frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}   \right)^4\right) &=& \frac{1}{n^4} (n\E((X_1')^4 + 6n(n-1) \E((X_1)^2(X_2)^2)\\
& \leq & \frac{7}{n^2}\ .
\end{eqnarray*}
Et donc $\sum_{n\geq 1}  \E\left( \left( \frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}   \right)^4\right) < \infty$. Par Fubini-Tonelli (cf. ex. \ref{ex:interversion})

$$ \E\left( \sum_{n\geq 1} \left( \frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}  \right)^4 \right) = \sum_{n\geq 1} \E\left( \left( \frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}   \right)^4\right) < \infty\ .$$ 
Donc la variable $\sum_{n\geq 1} \left( \frac{X_1'+\dots+X_n'}{n}  \right)^4$ est finie p.s. (cf.  rem. \ref{rem:propesperance}, (\ref{rem:propesperance:v})). Donc le terme g\'en\'eral de la s\'erie converge vers $0$, p.s.
\end{proof}

\begin{example}
Soient $U_1,U_2,\dots$ i.i.d. de loi $\mathcal{U}([0,1])$.  Soient $0\leq a < b \leq 1$.
Soit pour tout $i$, $X_i=\1_{[a,b]}(U_i)$. Les variables $X_1,X_2,\dots$ sont i.i.d. de loi $\mathcal{G}(b-a)$ et v\'erifient $\E(|X_i|)<\infty$ puiqu'elles sont born\'ees. Par la loi des grands nombres
$$
\frac{X_1+\dots+X_n}{n} \convps \E(X_1)=\p(a\leq U_1 \leq b)=b-a\ .
$$
Ce qui veut dire que la proportion de points tombant dans $[a,b]$ converge vers $b-a$. Illustration, la densit\'e empirique de $\mathcal{U}([0,1])$ : \\
\href{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node7.html#SECTION00031010000000000000}{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node7.html\\ \#SECTION00031010000000000000}


De m\^eme, 
$$
\frac{\1_{X_1\leq 1/2}+\dots+\1_{X_n\leq 1/2}}{n} \convps \frac{1}{2}\ .
$$
Illustration, le jeu de pile ou face~:
\href{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node8.html#SECTION00031020000000000000}{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node8.html\\ \#SECTION00031020000000000000}

Une autre illustration~: l'aiguille de Buffon \href{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node14.html#SECTION00033110000000000000}{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node14.html\\ \#SECTION00033110000000000000}
\end{example}


\section{Th\'eor\`eme central-limite}

\begin{definition}\index{Fonction caract\'eristique}
Soit $\mu$ mesure de probabilit\'e sur $\R^d$, on appelle fonction caract\'eristique de $\mu$ la fonction suivante
$$
x \in \R^d \mapsto \hat{\mu}(x) = \int_{\R^d} e^{itx} \mu(dt)\in \mathbb{C}\ .
$$
Si $X$ est une v.a. de loi $\mu$ alors $\Phi_X = \hat{\mu}$.
\end{definition}

\begin{theorem}{(d\^u \`a Paul L\'evy)}
Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures de probabilit\'e sur $\R^d$,
$$
\left[ \mu_n \convetr \mu \right] \Leftrightarrow \left[  \forall \xi \in \R^d,\ \hat{\mu}_n(\xi) \convn \hat{\mu}(\xi) \right]\ .
$$
Ce qui s'\'enonce aussi
$$
\left[ X_m \convloi X \right]  \Leftrightarrow \left[  \forall \xi \in \R^d,\  \Phi_{X_n}(\xi) \convn \Phi_X (\xi)  \right]
$$
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{theo:tcl}{Th\'eor\`eme central-limite (aussi not\'e TCL)}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!central-limite}\index{TCL}\\
Soit $(X_n)$ une suite de v.a.r. i.i.d. avec $\E(X_1)=m$ et $ \var(X_1)=\sigma^2$ ($m,\sigma^2 < \infty$). Alors
$$
\frac{X_1+\dots+X_n-nm}{\sigma \sqrt{n}} \convloi Z \text{ de loi }\mathcal{N}(0,1)\ , 
$$
(o\`u $\sigma >0$ est la racine carr\'ee de la variance).
\end{theorem}

Il existe des r\'esultats raffin\'es sur la \og vitesse \fg de cette convergence en loi. Voir, par exemple, le th\'eor\`eme de Berry-Esseen dans \cite{durrett}.

\begin{remark}
Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, prenons $a<b$, $f(x)=\1_{[a,b]}(x)$. Par le th\'eor\`eme \ref{theo:equconvloi},
$$
\E\left( f\left(\frac{X_1+\dots+X_n-nm}{\sigma \sqrt{n}}  \right)  \right) \convn \E(f(Z))\ ,
$$
c'est \`a dire
$$
\p\left(a\leq  \frac{X_1+\dots+X_n-nm}{\sigma \sqrt{n}}\leq b \right) \convn \int_a^b \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi }}dx\ .
$$
C'est cette propri\'et\'e qui sera le plus souvent utilis\'ee dans les exercices.
\end{remark}

\begin{proof}[D\'emonstration du th\'eor\`eme \ref{theo:tcl}]
Posons $\forall n$, $Y_n=X_n-m$. Soient
$$
S_n' = Y_1+\dots+Y_n, \ Z_n=\frac{X_1+\dots+X_n-nm}{\sigma \sqrt{n}}=\frac{S_n'}{\sigma\sqrt{n}}\ .
$$
Nous avons
\begin{eqnarray*}
\Phi_{Z_n}(t) &=& \E\left(  \exp\left(\frac{it S_n'}{\sigma \sqrt{n}} \right) \right)\\
&=& \E\left(  \exp\left(  \frac{it }{\sigma \sqrt{n}} (Y_1+\dots +Y_n) \right) \right)\\
\text{(par ind\'ependance des $Y_j$) }&=& \prod_{1\leq j \leq n}  \E\left(  \exp\left(  \frac{it }{\sigma \sqrt{n}} Y_j  \right) \right)\\
\text{(car les $Y_j$ sont identiquement distribu\'es) }&=& \Phi_{Y_1} \left(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}} \right)^n\ .
\end{eqnarray*}
Regardons la fonction $\Phi_{Y_1}(u) = \E(e^{iuY_1})$ pour $u\in \R$. Pour tout $u$, $\E(|e^{iuY_1}|)=1<\infty$. Pour tout $\omega$, $u\mapsto e^{iuY_1(\omega)}$ est d\'erivable et de d\'eriv\'ee $u\mapsto i Y_1 e^{iuY_1(\omega)}$. Pour tous $u$, $\omega$, $|Y_1 e^{iuY_1(\omega)}| \leq |Y_1(\omega)| $ qui est int\'egrable (et qui ne d\'epend pas de $u$). Donc, par th\'eor\`eme de d\'erivation (cf. cor. \ref{cor:derivationglobale})
$$
\Phi_{Y_1}'(u)=\E(iY_1 e^{iY_1 u})\ .
$$
De m\^eme, $\Phi_{Y_1}''(u)=\E(-Y_1^2 e^{iY_1 u})$. Donc $\Phi_{Y_1}'(0)=\E(i Y_1)=i\E(Y_1)=0$, $\Phi_{Y_1}''(0)=-\E(Y_1^2)=-\sigma^2$. 
Supposons que $\Phi_{Y_1}$ admette un d\'eveloppement limit\'e en $0$ (ce n'est pas toujours le cas). Ce d\'eveloppement est alors :
\begin{eqnarray*}
\Phi_{Y_1}(u) & = & \Phi_{Y_1}(0)  + u \Phi_{Y_1}'(0) + \frac{u^2}{2} \Phi_{Y_1}''(0) + o(u^2)\\
& = & 1- \frac{u^2 \sigma^2}{2} + o(u^2)\ .
\end{eqnarray*}
Donc 
\begin{eqnarray*}
\Phi_{Z_n}(t) &=& \left( 1- \frac{t^2}{\sigma^2 n} + o\left( \frac{1}{n}\right)\right)^n\\
&=& \exp\left( n \log \left( 1-\frac{t^2}{\sigma^2 n} + o\left( \frac{1}{n}\right)\right)\right)\\
&=& \exp \left( -\frac{t^2}{\sigma^2} + o (1) \right)\\
&\convn& e^{-t^2/\sigma^2}
\end{eqnarray*}
par continuit\'e de l'exponentielle.
\end{proof}

\begin{example}\index{Sondages}
On s'int\'eresse au nombre de gens qui ach\`etent de la lessive Ariel en France. On ne peut pas interroger toute la population et on se contente donc d'un \'echantillon de personnes. Introduisons la variable 
$$
X_i=
\begin{cases}
1 & \text{ si la i-\`eme personne interrog\'ee ach\`ete Ariel }\\
0 & \text{ si  la i-\`eme personne interrog\'ee n'ach\`ete pas Ariel. }
\end{cases}
$$
Les variables $X_i$ sont suppos\'ees i.i.d. avec $\p(X_i=1)=p$ (ce sont nos hypoth\`eses de mod\'elisation). La quantit\'e $p$ est celle que nous cherchons \`a d\'eterminer. Remarquons que $\E(X_1)=p\times 1 + (1-p) \times 0=p$.
Par la loi (forte) des grands nombres
$$
\frac{X_1+\dots+X_n}{n} \convps \E(X_1)=p.
$$
Quelle taille $n$ d'\'echantillon s\'electionner pour que $\frac{X_1+\dots+X_n}{n}$ soit proche de $p$ ?  Supposons que l'on veuille $n$ tel que la probabilit\'e de se tromper de plus de $0,01$ dans notre estim\'ee de $p$ soit plus petite que $0,05$, c'est \`a dire
\begin{equation}\label{eq:intervalledeconfiance}
\p\left( \left|  \frac{X_1+\dots+X_n}{n} - p \right| \geq 0,01 \right) \leq 0,05\ .
\end{equation}
Notons $\sigma^2= \var(X_1)$. Nous avons
\begin{eqnarray}
\nonumber
\p\left( \left|  \frac{X_1+\dots+X_n}{n} - p \right| \geq 0,01 \right)  &=& \p\left( \left| \frac{(X_1-p) + \dots + (X_n -p)}{\sigma \sqrt{n}} \right| \geq \frac{\sqrt{n} \times 0,01}{\sigma} \right) \\
\nonumber
\text{(par TCL) } &\approx&  \p\left(   Z \geq \frac{\sqrt{n} \times 0,01}{\sigma} \right) \text{ avec } Z\sim \mathcal{N}(0,1)\\
\nonumber
&=& \int_{ \frac{\sqrt{n} \times 0,01}{\sigma}}^{+\infty} \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dx\\
\label{eq:monotone}
&=& 1- \int_{-\infty}^{ \frac{\sqrt{n} \times 0,01}{\sigma}}  \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dx\ .
\end{eqnarray}
Nous voyons sur une table (cf. annexe \ref{chap:table}) qu'il suffit de prendre $n$ tel que $\sqrt{n} \times 0,01 /\sigma = 1.65$. Calculons
\begin{eqnarray*}
 \var (X_1) &=& \E(X_1^2)-\E(X_1)^2\\
&=& p \times 1^2 + (1-p) \times 0^2 - p^2\\
&=& p - p^2 = p(1-p)\ .
\end{eqnarray*} 
Nous avons alors que $$n= \left( \frac{1,65 \times \sqrt{p(1-p)}}{0,01} \right)^2$$ r\'ealise (\ref{eq:intervalledeconfiance}). Mais justement, nous ne connaissons pas $p$. Nous \'etudions la fonction $$p\in [0,1] \mapsto p(1-p)\ .$$

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig12.eps}}    
\caption{}    
\end{figure}    
C'est une parabole qui atteint son max. en $1/2$. Donc, $\forall p \in [0,1]$, $$ \left( \frac{1,65 \times \sqrt{p(1-p)}}{0,01} \right)^2 \leq  \left( \frac{1,65 \times \sqrt{0,5\times 0,5}}{0,01} \right)^2\ .$$
Remarquons, au vu de (\ref{eq:monotone}), que  si (\ref{eq:intervalledeconfiance}) est r\'ealis\'ee pour un certain $n_1$ alors elle est r\'ealis\'ee pour tout $n_2 \geq n_1$ ; donc il suffit de prendre $n=  \left( \frac{1,65 \times \sqrt{0,5\times 0,5}}{0,01} \right)^2$.

\end{example}

\begin{example}{Th\'eor\`eme de Moivre}\index{Theoreme@Th\'eor\`eme!de Moivre}\\
Soient $X_1,X_2,\dots$ i.i.d. $\sim \mathcal{B}(1/2)$.  Soit $S_n=X_1+\dots+X_n$. Calculons
\begin{eqnarray*}
\Phi_{S_n}(u) &=& \E(e^{iu(X_1+\dots+X_n)})\\
\text{(par ind\'ependance des $X_j$) }&=& \E(e^{iuX_1})^n\\
&=& \left( \frac{1}{2}(1+e^{iu}) \right)^n\\
&=& \sum_{k=0}^n C_n^k \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1}{2} \right)^{k} e^{ik u}\ 
\end{eqnarray*}
qui est la fonction caract\'eristique de $\B\left(n,\frac{1}{2}\right)$. 
Donc $S_n \sim \mathcal{B}(n,1/2)$.

 Nous avons $\E(X_1)=1/2$, $ \var(X_1)=1/4$ (cf. ex. pr\'ec\'edent). Donc le TCL nous dit que pour $a\leq b$
$$
\p\left( a \leq \frac{S_n - n/2}{(1/2)\sqrt{n}} \leq b  \right) \convn \int_a^b \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dx\ .
$$
Illustration~: la planche de Galton, \\
\href{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node11.html#SECTION0003201000000L0000000}{http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node11.html\\ \#SECTION00032010000000000000 }
Si on r\`egle le param\`etre $n$ \`a $8$, chaque bille arrive en bas en une abscisse al\'eatoire de m\^eme loi que $S_8-8\times(1/2)$.  Donc l'histogramme repr\'esente la densit\'e empirique de cette loi, qui se rapproche du dessin d'une gaussienne.
\end{example}

\section{Exercices}
\subsection{\'Enonc\'es}
\begin{enumerate}[1)]

\item Soit $f:\R\rightarrow \R$ telle que $\forall x,y$, $|f(x)-f(y)|\leq C\inf(1,|x-y|)$ pour une certaine constante $C$.
\begin{enumerate}
\item Si $X_n \convps X$ (rappel~: pour p.t. $\omega$, $X_n(\omega) \convn X(\omega)$), montrer que $\E(f(X))-\E(f(X_n)) \convn 0$.
\item Soit $\epsilon>0$, toujours sous l'hypoth\`ese $X_n \convps X$, d\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $\p(|f(X_n)-f(X)|\geq \epsilon)\convn 0$.
\end{enumerate}

\item On ach\`ete un stock d'ampoules pour un lampadaire. Les ampoules ont une dur\'ee de vie de loi $\mathcal{E}(\lambda)$. La premi\`ere ampoule dure un temps $X_1$, on la remplace imm\'ediatement et la deuxi\`eme qui dure un temps $X_2$ \dots Soit $T>0$. On admet que le nombre d'ampoules $N$ grill\'ees pendant le temps $T$ est tel que $N$ est de loi $\mathcal{P}(\lambda T)$. On suppose que $\lam T \in \N$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $m=\E(N)$.
\item Soit $p\in \N^*$. Montrer que $\p(N\geq m+p)=\p(X_1+\dots+X_{m+p}\leq T)$.
\item On suppose maintenant que $\lambda=1$, $T=20$, $p=5$. Donner une valeur num\'erique approch\'ee de $\p(N\geq m+p)$ \`a l'aide de la table jointe.
\item Avec les m\^emes valeurs num\'eriques que ci-dessus, combien d'ampoules faut-il acheter au minimum pour que $\p(\text{se retrouver \`a court d'ampoules avant le temps $T$})<0.05$ ?
\end{enumerate}


\item On rappelle que la somme de deux variables gaussiennes ind\'ependantes, respectivement de lois $\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ est une variable gaussienne de loi $\mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$. Soient $X_1,X_2,X_3,\dots$ des variables ind\'ependantes et identiquement distribu\'ees (i.i.d.) de loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. On suppose que l'on conna{\^\i}t $\sigma$ mais pas $m$, que l'on veut estimer par $S_n=\frac{1}{n}(X_1+\dots+X_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma} \right)$ est (exactement) de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
\item D\'eduire de l'exercice pr\'ec\'edent que 
$$
\forall \delta>0,\ \p\left( m-\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq   m+\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\geq 1 -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\delta} \exp\left( -\frac{\delta^2}{2} \right)
$$
\item En d\'eduire que 
$$
\forall \epsilon >0,\ \p(m-\epsilon\leq S_n \leq m+\epsilon) \geq 1 -\sqrt{ \frac{2}{n\pi}} \frac{\sigma}{\epsilon} \exp\left(-\frac{n\epsilon^2}{2\sigma^2} \right).
$$
\item On suppose que $\epsilon=0.01$, $\sigma=1$, $n=10000$, minorer $\p(|S_n-m|\leq \epsilon)$ par une valeur num\'erique.
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\subsection{Corrig\'es}
\begin{enumerate}[(1)]


\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
|\E(f(X_n))-\E(f(X))| & \leq & \E(|f(X_n)-f(X)|)\\
& \leq & C \E(\inf(1,|X_n-X|))
\end{eqnarray*}
Pour p.t. $\omega$, $\inf(1,|X_n(\omega)-X(\omega)|) \convn 0$ et $\forall \omega$, $\inf(1,|X_n(\omega)-X(\omega)|)\leq 1$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, $\E(\inf(1,|X_n-X|) \convn 0$. Donc $|\E(f(X_n))-\E(f(X))|  \convn 0$.
\item
$
\p(|f(X_n)-f(X)|\geq \epsilon)  \leq \frac{1}{\epsilon} \E(|f(X_n)-f(X)|)
$ (in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebycheff)
\end{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
\E(N) & = &  \sum_{n\geq 0} n \frac{(\lam T)^ne^{-\lam T}}{n!}\\
 & = &  \sum_{n\geq 1} n \frac{(\lam T)^ne^{-\lam T}}{n!}\\
 & = &  (\lam T)e^{-\lam T}\sum_{k\geq 0} \frac{(\lam T)^k}{k!}\\
 & =& \lam T
\end{eqnarray*}

\item
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) & = & \p(\text{ on a grill\'e plus de $m+p$ ampoules dans $[0,T]$})\\
& = & \p(\text{les $m+p$ premi\`eres ampoules ont d\'ej\`a grill\'e} \\ 
&&~~~~\text{quand on arrive en $T$   })\\
& = & \p(X_1+\dots+X_{m+p}<T)
\end{eqnarray*}

\item On remarque que $ \var(X_1)=1/\lam^2$, $\E(X_1)=1/\lam$.
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) & = & \p(X_1+\dots+X_{m+p}\leq T)\\
& = & \p\left( \frac{X_1-\E(X_1)+\dots+X_{m-1+p}-\E(X_{m+p})}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }\right.\\
&&~~~~~~\left. < \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }\right)\\
\text{ (TCL) } & \approx & \int_{-\infty}^{ \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\ .
\end{eqnarray*}
On calcule $\frac{T- (m-1+p)/\lam}{ (1/\lam) \sqrt{ m-1+p} } = -1  $. On a par parit\'e~:
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt & = & \int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
& = & 1 - \int_{-\infty}^1 \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
\text{ (d'apr\`es la table) } & = & 1-0,8413 = 0.1587\ .
\end{eqnarray*}

\item Ici, on cherche $p$ pour que $\p(N\geq m+p) \leq 0.05$. Comme avant~:
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) &\underset{\text{TCL}}{\approx} & \int_{-\infty}^{ \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
& = & 1- \int_{-\infty}^{-\frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }}\frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\ .
\end{eqnarray*}
On regarde la table et on voit qu'il faut prendre $-\frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }\geq 1.65$. Une rapide \'etude de fonction montre qu'il faut prendre $m+p\geq 29$.
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item $S_n \sim \mathcal{N}(nm,n\sigma^2)$ donc $\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma} \right) \sim \mathcal{N}(0,1)$.
\item Par sym\'etrie et par les r\'esultats pr\'ec\'edents~:
\begin{eqnarray*}
 \p\left( m-\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq   m+\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) &=& \p\left(\left|\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma}\right) \right|\leq\delta\right)\\
&=&  1-2\p\left(  \sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma}\right) >\delta\right)\\
&\geq& 1-\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\delta} \exp\left( -\frac{\delta^2}{2} \right)\ .
\end{eqnarray*}
\item Avec $\delta=\sqrt{n}\epsilon/\delta$, on a (par la question pr\'ec\'edente)~:
$$
\p(m-\epsilon\leq S_n \leq m+\epsilon) \geq 1 -\sqrt{ \frac{2}{n\pi}} \frac{\sigma}{\epsilon} \exp\left(-\frac{n\epsilon^2}{2\sigma^2} \right).
$$
\item \`A l'aide d'une calculatrice, on trouve~:
$$
\p(|S_n-m|\leq \epsilon) \geq 0.8920\ .
$$
\end{enumerate}


\end{enumerate}




\chapter{Conditionnement}\label{chap:conditionnement}

On se donne toujours un espace probabilis\'e $(\Omega, \A, \p)$.

\section{Conditionnement discret}

\begin{definition}\index{Probabilit\'e conditionnelle}
Soient $A,B \in \A$, $B>0$, la probabilit\'e de $B$ sachant $A$ est
$$
\p(B|A) = \frac{\p(A\cap B)}{\p(B)}\ .
$$
\end{definition}

\begin{definition}\index{Esp\'erance conditionnelle}
Si $X$ est une v.a. et $B\in \A$, $\p(B)>0$, l'esp\'erance de $X$ sachant $B$ est la nombre suivant
$$
\E(X|B)=\frac{\E(X|B)}{\p(B)}\ .
$$
\end{definition}

\begin{definition}\index{Esp\'erance conditionnelle}\label{def:conddiscret}
Soit $X$ v.a.r. et $Y$ v.a. prenant un nombre d\'enombrable de valeurs. On d\'efinit l'esp\'erance conditionnelle de $X$ sachant $Y$ de la mani\`ere suivante~: $\E(X|Y)$ est une \underline{v.a.} qui peut s'\'ecrit $\E(X|Y)=\phi(Y)$ avec 
$$
\begin{array}{rcrcl}
\phi & : & \R & \rightarrow & \R \\
&& y & \mapsto & 
\begin{cases}
\E(X|Y=y) = \frac{\E(X\1_{Y=y})}{\p(Y=y)} & \text{ si } \p(Y=y)>0\\
0 & \text{ sinon }\ .
\end{cases}
\end{array}
$$
\end{definition}

\begin{example}\index{Lancer de d\'e}\label{ex:decond}
Soit , $\Omega=\{1,2,\dots,6\}$ et $\forall \omega \in \Omega$, $\p(\{\omega\})=1/6$. Soient les v.a.
$$
X(\omega)=\omega\ , \ Y(\omega)=
\begin{cases}
1 & \text{ si } \omega \text{ impair }\\
0 &  \text{ si } \omega \text{ pair }\ .
\end{cases}
$$
Si $\omega \in \{1,3,5\}$, alors $Y=1$ et 
\begin{eqnarray*}
\E(X|Y)(\omega) & = & \frac{\E(X \1_{Y=1})}{\p(Y=1)} \\
&=& \frac{\frac{1}{6}(1+3+5)}{\frac{3}{6}}=3\ .
\end{eqnarray*}
Si $\omega \in \{2,4,6\}$, alors $Y=0$ et 
\begin{eqnarray*}
\E(X|Y)(\omega) & = & \frac{\E(X \1_{Y=0})}{\p(Y=0)} \\
&=& \frac{ \frac{1}{6}(2+4+6)}{\frac{3}{6}} = 4\ .
\end{eqnarray*}
\end{example}


\section{Esp\'erance conditionnelle}

\begin{definition}\index{Tribu engendr\'ee}\index{Mesurabilite@Mesurabilit\'e}\index{$\sigma(.)$} 
Soit $Y$ v.a. \`a valeurs dans un espace mesurable quelconque $(E,\mathcal{E})$. La tribu engendr\'ee par $Y$ est $\sigma(Y)=\{ Y^{-1}(A), A \in \mathcal{E}\}$. La famille $\sigma(Y)$ est une tribu et $\sigma(Y) \subset \A$.

On dit d'une v.a. $Z$ \`a valeurs dans un espace mesurable quelconque $(E',\mathcal{E}')$ qu'elle est $\sigma(Y)$-mesurable si $\forall A \in \mathcal{E}'$, $Z^{-1}(A) \in \sigma(Y)$. 

Soit $\B$ une tribu $\subset \A$, on dit que $Z$ est $\B$-mesurable si  $\forall A \in \mathcal{E}'$, $Z^{-1}(A) \in \B$.
\end{definition}

\begin{remark}\label{rem:espcond}
Prenons une  variable $Z$   $\sigma(Y)$-mesurable  comme dans la d\'efinition ci-dessus. La tribu $\sigma(Y)$ repr\'esente les \'ev\'enements relatifs \`a $Y$ (tous ceux qui peuvent se d\'ecrire en terme de \og il est arriv\'e telle chose \`a $Y$ \fg). Dire que $Z$ est $Y$-mesurable revient \`a dire que tous les \'ev\'enements relatifs \`a $Z$ peuvent se d\'ecrire comme des \'ev\'enements relatifs \`a $Y$ et donc que $Z$ est une fonction de $Y$.
\end{remark}

\begin{theorem}\index{Esp\'erance conditionnelle}
Soit $\B$ une tribu $\subset \A$. Soit $X$ une v.a.r. int\'egrable. Il existe une et une seule v.a.r. int\'egrable, appel\'ee esp\'erance conditionnelle de $X$ sachant $\B$ et not\'ee $\E(X|\B)$, qui v\'erifie
$$
\forall B \in \B \ , \ \E(X \1_{B}) = \E(\E(X|\B) \1_B)\ .
$$
La variable $\E(X|\B)$ v\'erifie en outre que $\forall Z$ v.a. \`a valeurs dans $\R^d$, $\B$-mesurable et born\'ee,
$$
\E(X Z) = \E(\E(X|\B) Z)\ .
$$
\end{theorem}

\begin{definition}
Soit $X$ une v.a.r. et $Y$ une v.a. quelconque, l'esp\'erance conditionnelle de $X$ sachant $Y$ est la variable suivante
$$
\E(X|Y)=E(X|\sigma(Y))\ .
$$
\end{definition}

\begin{remark}
La d\'efinition ci-dessus inclut la d\'efinition \ref{def:conddiscret} (les deux d\'efinitions co{\"\i}ncident dans le cas o\`u $Y$ ne prend qu'un nombre d\'enombrable de valeurs).
\end{remark}

%\begin{proposition}\label{prop:propri}
%%Soit $X$ une v.a.r. et $Y$ une v.a., nous avons
%%$$
%%\E(|\E(X|Y)|) \leq \E(|X|)\ .
%%$$
%Pour toute v.a.r. $Z$ qui est $\sigma(Y)$-mesurable et born\'ee, 
%$$
%\E(ZX) = \E(Z \E(X|Y))\ .
%$$
%\end{proposition}

\begin{proposition}\index{Esp\'erance conditionnelle}
Soit $X,Y$ des v.a.r. et $\B$ tribu $\subset \A$, 
\begin{enumerate}[(i)]
\item \label{pi} si $X$ est $\B$-mesurable alors $\E(X|\B)=X$
\item \label{pii}  lin\'earit\'e~: $\forall a,b \in \R$, $\E(aX+bY|\B)= a\E(X|\B)+b\E(Y|\B)$
\item \label{piii} $\E(\E(X|\B))=\E(X)$
\item $|\E(X|\B)| \leq \E(|X||\B)$
\item croissance~: $X\geq Y \Rightarrow \E(X|\B)\geq \E(Y|\B)$, p.s.
\item\label{pvi} si $X \independent Y$, $\E(XY|\B) = \E(X|B) \E(Y|B)\ .$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}(partielle)
\begin{itemize}
\item[(\ref{pi})] $X$ est $\B$-mesurable et $\forall B\in \B$, $\E(X\1_B)=\E(X \1_B)$ donc $\E(X|\B)=X$
\item[(\ref{pii})] soit $B\in \B$, 
\begin{eqnarray*}
\E(( a\E(X|\B)+b\E(Y|\B)) \1_B) &= & a\E(\E(X|\B)\1_B) + b \E(\E(Y|\B)\1_B)\\
&=& a\E(X\1_B) + b \E(Y\1_B)\\
&=& \E((aX+bY)\1_B)
\end{eqnarray*}
et $ a\E(X|\B)+b\E(Y|\B)$ est $\B$-mesurable (car la somme de deux variables $\B$-mesurable est $\B$-mesurable, cf. prop. \ref{prop:stabmesurabilite}), donc $\E(aX+bY|\B)=  a\E(X|\B)+b\E(Y|\B)$.
\item[(\ref{piii})] $\Omega \in \B$ (car $\B$ tribu) donc
\begin{eqnarray*}
\E(\E(X|\B)) & = & \E(\1_{\Omega} \E(X|\B)) \\
&=& \E(\1_\Omega X) = \E(X)\ .
\end{eqnarray*}

%\item[(\ref{pvi})] la variable $ \E(X|B) \E(Y|B)$ est $\B$-mesurable (cf. prop. \ref{prop:stabmesurabilite}) et $\forall B\in \B$, par la proposition \ref{prop:propri} (puisque $ \E(Y|B) \1_B$ est $\B$-mesurable par prop. \ref{prop:stabmesurabilite})
%\begin{eqnarray*}
%\E(\E(X|B) \E(Y|B) \1_B) & = & \E( X \E(Y|B) \1_B)
%\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{proposition}\label{prop:proprii}
\begin{enumerate}[i)]
\item Si $X,Y$ v.a.r. avec $Y$ $\B$-mesurable ($\B$ tribu $\subset \A$), alors
$$
\E(XY|\B) = Y \E(X|\B)\ .
$$
\item \label{prop:proprii:tower} Si $\B_1, \B_2$ tribus $\subset \A$ avec $\B_1 \subset \B_2$, alors pour toute v.a.r. $X$ 
$$
\E(\E(X|\B_2)|\B_1)= \E(X|\B_1)\ .
$$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Soit $B \in \B$, la variable $Y\1_B$ est $\B$-mesurable comme produit de variables $\B$-mesurables ( cf. prop. \ref{prop:stabmesurabilite}), donc
\begin{eqnarray*}
\E(Y \E(X|\B)\1_B) &=& \E(YX\1_B)\ .
\end{eqnarray*}
La variable $Y \E(X|\B)$ est $\B$-mesurable comme produit de variables $\B$-mesurables ( cf. prop. \ref{prop:stabmesurabilite}. D'o\`u le r\'esultat.
\item Soit $B \in \B_1$
\begin{eqnarray*}
\E( \E(\E(X|\B_2)|\B_1) \1_B) & = & \E( \E(X|\B_2) \1_B)\\
\text{(car $B\in \B_2$) }&=& \E(X\1_B)\ . 
\end{eqnarray*}
La variable $ \E(\E(X|\B_2)|\B_1)$ est $\B_1$-mesurable, d'o\`u le r\'esultat.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{example}\index{Lancer de d\'e}
Reprenons l'exemple \ref{ex:decond}. Soit
$$
Z=
\begin{cases}
1 & \text{ si } X \in \{1,3\}\\
2 & \text{ si } X = 5\\
3& \text{ si } X \in\{2,4\}\\
4& \text{ si } X =6\ .
\end{cases}
$$
Remarquons que la connaissance de $Z$ implique la connaissance de $Y$ et que donc $\sigma(Y) \subset \sigma(Z)$. Si $\omega \in \{1,3\}$, alors $Z=1$ et 
\begin{eqnarray*}
\E(X|Z)(\omega) &=& \frac{\E(X\1_{Z=1})}{\p(Z=1)}\\
&=& \frac{\frac{1}{6}(1+3)}{\frac{2}{6}}=2\ .
\end{eqnarray*}
Si $\omega = 5 $, $Z=2$ et 
\begin{eqnarray*}
\E(X|Z)(\omega) &=& \frac{\E(X\1_{Z=2})}{\p(Z=2)}\\
&=& \frac{\frac{1}{6} 5}{\frac{1}{6}}=5\ .
\end{eqnarray*}
De m\^eme, $\E(X|Z)(\omega)=3$ si $\omega \in \{2,4\}$ et $\E(X|Z)(\omega)=6$ si $\omega=6$. Calculons pour $\omega$ tel que $Y=1$ (c'est \`a dire $\omega \in \{1,3,5\}$)
\begin{eqnarray*}
\E(\E(X|Z)|Y)(\omega) &=& \frac{\frac{2}{6}\times 2 + \frac{1}{6} \times 5}{\frac{3}{6}}\\
&=& 3\ . 
\end{eqnarray*}
De m\^eme, pour $\omega$ tel que $Y=0$  (c'est \`a dire $\omega \in \{2,4,6 \}$)~: $\E(\E(X|Z)|Y)(\omega) =4$. 
Par ailleurs, nous avons vu dans l'exemple \ref{ex:decond},
$$
\E(X|Y)=
\begin{cases}
3 &\text{ si } Y=1\\
4 &\text{ si } Y=0\ .
\end{cases}
$$
Donc on a $\E(\E(X|Z)|Y)=\E(X|Y)$ comme annonc\'e dans prop. \ref{prop:proprii}, (\ref{prop:proprii:tower}).
\end{example}

\section{Exercice}
\subsection{\'Enonc\'e}
\begin{enumerate}[1)]

\item Soit $p\in [0,1]$. Soit $A_0$ le carr\'e $[0,1]^2 \subset \R^2$. L'ensemble $A_1$ est un ensemble al\'eatoire construit de la mani\`ere suivante~: on d\'ecoupe $A_0$ en $9$ carr\'es, chaque petit carr\'e appartient \`a $A_1$ avec probabilit\'e $p$ (ind\'ependamment des autres). On recommence l'op\'eration sur les carr\'es de $A_1$ pour former $A_2$ (de mani\`ere ind\'ependante de ce qui s'est pass\'e avant) et ainsi de suite, on obtient des ensembles $A_1,A_2,A_3, \dots$. Si $A_n=\emptyset$  alors $\forall k\geq n$, $A_k=\emptyset$.
La figure ci-dessous repr\'esente une r\'ealisation de $A_1$ et $A_2$ (hachur\'es) pour une certaine valeur de $p$.

 \hspace{1cm}

\begin{figure}[htb]
  \label{fig:scaleY}
  \centering
  \framebox{
    \resizebox{2.5in}{!}{
      \includegraphics{fig-poly/dessin1.eps}
    }
  }
  %\caption[Texte pour la table des figures]{
     %      Figure g��er avec Corel Draw
        %   avec une sortie en eps}
\end{figure}



\begin{enumerate}
\item Pout tout $n$, on note $Z_n$ le nombre de carr\'es de c\^ot\'e $1/3^n$ formant $A_n$. Soit $n\geq 1$, montrer que $\forall r \in [0,1]$, $g_{Z_n}(r)=g_{Z_n-1}(f(r))$ o\`u $\forall r \in [0,1], f(r)=(pr+1-p)^9$.
\item En d\'eduire que $g_{Z_n}(r)=f ^{\circ n}(r)$ ("$\circ n$" veut dire que l'on compose $n$ fois).
\item Montrer que $f$ est convexe (c'est \`a dire que sa d\'eriv\'ee est une fonction croissante).
\item Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f'(1)$. Faire un dessin de $f$.
\item On suppose que $p\leq 1/9$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall r\in [0,1]$, $g_{Z_n}(r)\convn 1$.
\item En d\'eduire que $\p(Z_n=0)\convn 1$.
\item En d\'eduire que $Z_n\convps 0$. (On pourra consid\'erer l'\'ev\'enement \\$\{\omega:Z_n(\omega)\convn 0\}$ comme une r\'eunion croissante d'\'ev\'enements.)
\end{enumerate}
%\item Pour tout $n$, soit $Y_n$ l'aire de $A_n$. Montrer en utilisant les esp\'erances conditionelles que $\E(Y_n)=p^n$. En d\'eduire que $Y_n \convps 0$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

On pourra se reporter \`a \cite{williams} pour une \'etude plus compl\`ete de ce probl\`eme, appel\'e \og arbre de Galton-Watson \fg. 

\subsection{Corrig\'e}
\begin{enumerate}[(1)]
\item
\begin{enumerate}
\item Calculons

\begin{eqnarray*}
g_{Z_n}(r) & = & \E(r^{Z_n}) \\
& = & \E(\E(r^{Z_n}|Z_{n-1}))\ .
\end{eqnarray*}
Dans l'ensemble $A_{n-1}$, on num\'erote les carr\'es (de $1$ \`a $Z_{n-1}$). On note pour tout $i \in \{1,\dots,Z_{n-1}\}$, $X_i$ le nombre de carr\'es de $A_n$ qui sont dans le carr\'e num\'ero $i$ de $A_{n-1}$. \`A $Z_{n-1}$ fix\'e, les variables $X_i$ sont i.i.d. de loi $\B(9,p)$. Nous avons donc~:

\begin{eqnarray*}
g_{Z_n}(r) & = & \E(\E(r^{X_1+\dots+X_{Z_{n-1}}}|Z_{n-1})) \\
& = & \E(\E(r^{X_1}|Z_{n-1}) \dots \E(r^{X_{Z_{n-1}}}|Z_{n-1}))\\
&=& \E( \E(r^{X_1}|Z_{n-1})^{Z_{n-1}} )\\
&=& \E( f(r)^{Z_{n-1}})\\
&=& g_{Z_{n-1}}(f(r))\ .
\end{eqnarray*}

\item Par r\'ecurrence~: $g_{Z_{n-1}}(r)=g_{Z_{0}}(f^{\circ n}(r))$. Or $Z_0$ est constante \'egale \`a $1$, donc $g_{Z_0}(r)=r$, donc $g_{Z_{n-1}}(r)=f^{\circ n}(r)$.

\item Calculons
$
f'(r) = 9p(pr+1-p)^8
$.
La fonction $f'$ est positive (pour $r\in [0,1]$) donc $f$ est convexe (sur $[0,1]$).

\item Calculons $f(0)=(1-p)^9$, $f(1)=1$, $f'(1)=9p$.

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{fig-poly/fig14.eps}}    
\caption{Dessin de $f$ pour un $p<1.9$.}    
\end{figure} 

\item 
\begin{enumerate}
\item (Pas de d\'emonstration, on le voit sur le dessin.)
\item Nous avons $\p(Z_n=0)=g_{Z_n}(0) \convn 1$ par la question pr\'ec\'edente.
\item Soit $B_n=\{ \omega: Z_n(\omega) =0 \}$. Si $Z_n(\omega)=0$ alors $Z_{n+1}(\omega)=0$ donc $B_n\subset B_{n+1}$. Par r\'eunion croissante $\p(\cup_{n\geq 0} B_n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \p(B_n) =1$ par la question pr\'ec\'edente. Si $\omega \in \cup_{n\geq 0} B_n$ alors $Z_n (\omega) \convn 0$, d'o\`u le r\'esultat. 
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{enumerate}

\chapter{Variables gaussiennes}

On se donne toujours un espace probabilis\'e $(\Omega, \A, \p)$.

Les variables gaussiennes sont tr\`es utilis\'ee en mod\'elisation \`a cause de leurs propri\'et\'es, que nous allons d\'etailler dans ce chapitre.

\section{D\'efinitions et propri\'et\'es}
\begin{definition}\index{Gaussienne}\index{Vecteur gaussien}
Une v.a. $X$ \`a valeurs dans $\R^d$ est dite gaussienne si $\forall u \in \R^d$, $\langle u, X \rangle$ est une v.a.r. gaussienne. (On dit aussi que $X$ est un vecteur gaussien.)
\end{definition}

\begin{theorem}
La loi d'une v.a. gaussienne $X=(X_1,\dots,X_d)$ dans $ \R^d$ est enti\`erement d\'etermin\'ee par le vecteur $m=\E(X)=(\E(X_1),\dots,\E(X_d))$ et la matrice carr\'ee  $\Sigma_X=(( \E(X_iX_j)-\E(X_i)\E(X_j)))_{1\leq i,j \leq d}$ (dite matrice de covariance). On note $\cov(X_i,X_j) =  \E(X_iX_j)-\E(X_i)\E(X_j) $ \index{Matrice de covariance} \index{Covariance} Sa fonction caract\'eristique est alors
$$
\forall u \in \R^d \ , \ \Phi(u)=\E(e^{i\langle u, X \rangle}) = \exp\left( i \langle u, m \rangle -\frac{1}{2} \langle \Sigma_X u, u \rangle \right)\ .
$$  
\end{theorem}

\begin{remark}
Le symbole $\langle .,. \rangle$ \index{$\langle .,. \rangle$ } est le produit scalaire usuel dans $\R^d$. Pour $u=(u_1,\dots,u_d)$ et $m=(m_1,\dots,m_2)$~:
$$
\langle u, m \rangle = u_1 m_1 + \dots + u_d m_d\ .
$$
\end{remark}

\begin{proposition}\index{Independance@Ind\'ependance}
\begin{eqnarray*}
\text{ les v.a. $X_1,\dots,X_d$ sont ind\'ependantes } & \Leftrightarrow & \text{  $\Sigma_X$ est diagonale  }\\ 
& \Leftrightarrow & \forall i \neq j, \ \E(X_i X_j)=\E(X_i)\E(X_j)
\end{eqnarray*}
\end{proposition}

\begin{proof}[D\'emonstration partielle.]
Supposons que $\Sigma_X$ est diagonale. 
\'Ecrivons
$$
\Sigma_X = 
\left[
\begin{array}{cccc}
\sigma_1^2 & 0 & \dots & 0\\
0 & \sigma_2^2 & \dots & \dots\\
\dots & \dots & \dots& \dots\\
0 & \dots & 0 & \sigma_d^2
\end{array}
\right]\ .
$$
Soient $Y_1,\dots Y_d$ des v.a.r. telles que $X_j$ et $Y_j$ ont m\^eme loi pour tout $j$ et $Y_1,\dots , Y_d$ sont ind\'ependantes. Calculons
\begin{eqnarray*}
\Phi_X(u) & = & \exp\left( i (u_1 m_1 + \dots + u_d m_d ) - \frac{1}{2} (\sigma_1^2 u_1^2 +\dots+\sigma_d^2 u_d^2 ) \right)\\
&=& \prod_{j=1}^d \exp\left( i u_j m_j -\frac{1}{2} \sigma_j^2 u_j^2\right) \\
&=& \prod_{j=1}^d \Phi_{X_j}(u_j)\\
&=& \prod_{j=1}^d \Phi_{Y_j}(u_j)\\
\text{(car les $Y_j$ ind.) }&=& \Phi_{(Y_1,\dots,Y_d)}(u)\ .
\end{eqnarray*}
De mani\`ere analogue au th\'eor\`eme \ref{theo:caract}, ceci prouve que $X=(X_1,\dots,X_d)$ et $(Y_1,\dots,Y_d)$ ont m\^eme loi et donc $X_1, \dots, X_d$ sont ind\'ependants.
\end{proof}

\begin{proposition}
Soit $X$ vecteur gaussien sur $\R^d$.
\begin{itemize}
\item La loi de $X$ a une densit\'e (par rapport \`a la mesure de Lebesgue) si, et seulement si, $\forall u \in \R^d\backslash \{0\}$, $\langle u,\Sigma_X u \rangle > 0$. 
\item Dans le cas o\`u $X$ a une densit\'e, celle-ci est 
$$
x \in \R^d  \mapsto \frac{1}{\sqrt{\det(2 \pi \Sigma_X)}} \exp\left( -\frac{1}{2} \langle \Sigma_X^{-1} (x-m) , x-m \rangle \right)\ .
$$
\end{itemize}
\end{proposition}


\section{Gaussiennes et esp\'erance conditionnelle}
\begin{theorem}
Soit $(Y_1,\dots, Y_n,X)$ un vecteur gaussien centr\'e (c'est \`a dire que $\E(Y_1)=\dots=\E(Y_n)=\E(X)=0$). Alors, $\exists \lam_1,\dots,\lam_n \in \R$ tels que 
$$
\E(X|\sigma(Y_1,\dots,Y_n)) = \sum_{j=1}^n \lam_j Y_j\ .
$$
De plus, pour toute fonction mesurable $h:\R \rightarrow \R^+$, 
$$
\E(h(X)|\sigma(Y_1,\dots,Y_n)) = \int_\R h(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right) dx
$$
avec
$$
\sigma^2 = \E\left(\left(X-\sum_{j=1}^n \lam_j Y_j \right)^2\right) \ , \ m = \sum_{j=1}^n \lam_j Y_j \ .
$$
\end{theorem}

\begin{remark}
Comme expos\'e dans la remarque \ref{rem:espcond}, $\E(h(X)|\sigma(Y_1,\dots,Y_n))$ est une v.a. qui s'\'ecrit comme une fonction de $Y_1,\dots,Y_n$.
\end{remark}

\begin{example}{Calcul des $\lam_i$ apparaissant dans le th\'eor\`eme ci-dessus.}\\
Notons $Z=\E(X|\sigma(Y_1\dots,Y_n))$. Nous avons $\forall i \in \{1,\dots,n\}$, 
$$
\E(Z Y_i) = \E(X Y_i) = \cov (X,Y_i)\ .
$$
Et par ailleurs
\begin{eqnarray*}
\E( Z Y_i) &=& \E \left( \sum_{k=1}^n \lam_k Y_i Y_k  \right)\\
&=& \sum_{k=1}^n  \lam_k \cov(Y_i,Y_k)\ .
\end{eqnarray*}
Donc 
\begin{eqnarray*}
\Sigma_Y \times
 \left[
 \begin{array}{c}
 \lam_1\\
 \dots\\
 \lam_n
 \end{array}
   \right]
   &=& 
    \left[
 \begin{array}{c}
 \cov(X,Y_1)\\
 \dots\\
 \cov(X,Y_n)
 \end{array}
   \right]
   \\
    \left[
 \begin{array}{c}
 \lam_1\\
 \dots\\
 \lam_n
 \end{array}
   \right]
   &=& \Sigma_Y^{-1} \times 
      \left[
 \begin{array}{c}
 \cov(X,Y_1)\\
 \dots\\
 \cov(X,Y_n)
 \end{array}
   \right]\ .
\end{eqnarray*}

\end{example}


\appendix
\chapter{Table de la loi normale}\label{chap:table}

\begin{figure}[H]    
\centerline{\epsfxsize=15.5cm\epsfbox{fig-poly/table-loi-normale.eps}}    
%\caption{}    
\end{figure} 


 \nocite{jacod-protter}
 \nocite{delmoral-remillard-rubenthaler}
\nocite{durrett}
\nocite{williams}
  \bibliographystyle{alpha}
 \bibliography{poly-integration-probas}
 
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%\section{Titre}

%\subsection{Titre}

%\subsubsection{Titre}

%\paragraph{Titre}

%\subparagraph{Titre}

%\appendix                     % Les annexes

%\chapter{Titre}               % Annexe A

%\chapter{Titre}               % Annexe B

%\backmatter                   % pilogue

%\chapter{Conclusion et discussion}

%% c           % Table des matires

%% \listoffigures              % Table des figures

%% \listoftables               % Liste des tableaux

\end{document}