#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 508
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\textclass amsbook
\begin_preamble

%commandes S. Rubenthaler
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\var}{\mathbb{V}}
\newcommand{\1}{\mathbbm{1}}
\newcommand{\heta}{\hat{\eta}}
\newcommand{\hgamma}{\hat{\gamma}}
\newcommand{\Bor}{\mathcal{B}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Xtn}{\tilde{X}^n}
\newcommand{\clawn}{\underset{n\rightarrow
+\infty}{\Longrightarrow}} 
\newcommand{\convn}{\underset{n\rightarrow
+\infty}{\longrightarrow}} 
 \newcommand{\p}{\mathbb{P}}
\newcommand{\pperp}{\perp \! \! \! \perp}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\convps}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\convpsm}{\underset{m\rightarrow +\infty}{\overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\convproba}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\overset{\text{proba.}}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\convloi}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\overset{\text{loi}}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\convlp}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\overset{L^p}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\convldeux}{\underset{n\rightarrow +\infty}{\overset{L^2}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\simU}{\sim \mathcal{U}([0;1])}

\DeclareMathOperator*{\jac}{Jac}

\date{}

\usepackage{a4wide}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{bbm}
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\usepackage{hyperref}
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\allowdisplaybreaks

%\usepackage{geometry}
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\numberwithin{equation}{chapter}
\numberwithin{algorithm}{chapter}



%Pour numéroter les exercices indépendamment :
\let\xca\@undefined
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{xca}{\protect\exercisename}
\numberwithin{xca}{chapter}

%Pour changer le nom de l'environnement "algorithm"
\floatname{algorithm}{Programme}
% Added by lyx2lyx
\renewcommand{\textendash}{--}
\renewcommand{\textemdash}{---}
\end_preamble
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figs-within-sections
theorems-chap
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\begin_body

\begin_layout Title
Méthodes de Monte-Carlo
\begin_inset Newline newline
\end_inset

(Cours et exercices)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

M1 IM, 2018-2019
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Graphics
	filename figures/LOGO_UNS_couleurs_web.png
	scale 70

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Author
Sylvain Rubenthaler
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Address
Laboratoire J.
 A.
 Dieudonné, université Nice Sophia Antipolis, parc Valrose, 06108 Nice cedex
 2.
\end_layout

\begin_layout Email
rubentha@unice.fr
\end_layout

\begin_layout URL
http://math.unice.fr/~rubentha/, http://math.unice.fr/~rubentha/cours.html
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pagenumbering{roman}
\backslash
pagestyle{plain}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Préface
\end_layout

\begin_layout Standard
Ce polycopié est une introduction aux méthodes de Monte-Carlo.
 Les prérequis sont
\begin_inset space ~
\end_inset

: cours de L3 MASS de probabilités
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://math.unice.fr/~rubentha/enseignement/poly-integration-probas.pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

, cours de M1 IM sur les chaînes de Markov, notions de 
\family typewriter
R 
\family default
(acquises au premier semestre).
 Les sources d'inspiration de ce document sont les suivantes
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "delmoral-bartoli-2001,pardoux-2008"

\end_inset

, le polycopié de Laure Élie et Bernard Lapeyre
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

http://cermics.enpc.fr/~bl/PS/SIMULATION-X/poly-monte-carlo-x.pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

, le polycopié de Bernard Ycart 
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/polys/montec.pdf
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

, des exercices fournis par François Delarue, un exposé de Persi Diaconis
 sur la cryptographie.
 Les TP se feront en 
\family typewriter
R
\family default
,
\family typewriter
 
\family default
les exemples de programmes seront aussi donnés en 
\family typewriter
R
\family default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Important
\begin_inset space ~
\end_inset

: les fichiers sources et les corrigés des exercices sont disponibles sur
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://math.unice.fr/~rubentha/cours.html
\end_layout

\end_inset

.
 J'encourage toute personne enseignant les méthodes de Monte-Carlo à utiliser
 ces fichiers et à ajouter son nom à la liste d'auteurs de ce polycopié.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Remerciements
\begin_inset space ~
\end_inset

: Mlle Ogtonbaatar (M1 MPA 2018-2019) m'a aidé à corriger des erreurs dans
 la section sur le modèle d'Ising.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pagenumbering{arabic}
\backslash
pagestyle{plain}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{otherlanguage}{french}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pagestyle{headings}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Introduction
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "chap:Introduction"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Description de la méthode
\end_layout

\begin_layout Standard
Supposons que l'on veuille calculer une quantité 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 La première étape est de la mettre sous forme d'une espérance 
\begin_inset Formula $I=\E(X)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable aléatoire.
 Si on sait simuler des variables 
\begin_inset Formula $X_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

, \SpecialChar ldots
 indépendantes et identiquement distribuées (ce que nous noterons i.i.d.
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
i.i.d.
\end_layout

\end_inset

 dans la suite), alors nous pouvons approcher 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 par 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I\approx\frac{X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N}}{N}\label{eq:approx-mc}
\end{equation}

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

grand
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

, sous réserve d'application de la loi des grands nombres.
 C'est ce type d'approximation que l'on appelle 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

méthode de 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Monte-Carlo
\end_layout

\end_inset

Monte-Carlo
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 (c'est une méthode pour faire des calculs numériques).
\end_layout

\begin_layout Example
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Supposons-que-l'on"

\end_inset

Supposons que l'on cherche à calculer 
\begin_inset Formula 
\[
I=\int_{[0;1]^{d}}f(u_{1},\dots,u_{d})du_{1}\dots du_{d}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 bornée.
 Nous posons 
\begin_inset Formula $X=f(U_{1},\dots,U_{d})$
\end_inset

 où les 
\begin_inset Formula $U_{1},\dots,U_{d}$
\end_inset

 sont des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi uniforme
 sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

.
 Alors
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I=\E(f(U_{1},\dots,U_{d}))=\E(X).
\]

\end_inset

Nous avons donc réalisé la première étape.
 Tout logiciel de programmation nous permet de simuler des variables uniformes
 sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

.
 De plus, des 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Appels successifs
\end_layout

\end_inset

appels successifs de variables uniformes renvoient des variables indépendantes.
 Nous pouvons donc facilement simuler 
\begin_inset Formula $U_{1}^{(1)},\dots,U_{d}^{(1)},U_{1}^{(2)},\dots,U_{d}^{(2)},\dots$
\end_inset

 des variables i.i.d.
 de loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

 (nous noterons cette loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\mathcal{U}$"
description "Loi uniforme"

\end_inset

) et donc 
\begin_inset Formula $X_{1}=(U_{1}^{(1)},\dots,U_{d}^{(1)})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{2}=(U_{1}^{(2)},\dots,U_{d}^{(2)})$
\end_inset

 , \SpecialChar ldots
 sont i.i.d.
 Le programme 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
ref{algo:01-mc-simple}
\end_layout

\end_inset

 fournit un exemple de programme approchant 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 par une méthode de Monte-Carlo (avec 
\begin_inset Formula $d=3$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n=1000$
\end_inset

 itérations, 
\begin_inset Formula $f(u_{1},u_{2},u_{3})=\sin(u_{1})\sin(u_{2})\sin(u_{3})$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Example
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{algorithm}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
caption{approximation de Monte-Carlo 
\backslash
label{algo:01-mc-simple}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

 	
\backslash
raggedright{
\backslash
tt
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

d=3
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

n=1000
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

s=0
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

for (i in 1:n)
\backslash

\backslash
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
{ 	
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
qquad	u=runif(d,0,1) 
\backslash
#simulation de d variables uniformes indépendantes	
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
qquad	s=s+sin(u[1])*sin(u[2])*sin(u[3]) 
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
}
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

print(s/n)
\backslash

\backslash

\end_layout

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{algorithm}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si nous cherchons à évaluer une intégrale de la forme 
\begin_inset Formula 
\[
I=\int_{\R^{n}}g(x)f(x)dx
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 une densité de probabilité (c'est à dire 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 positive et 
\begin_inset Formula $\int_{\R^{n}}f(x)dx=1$
\end_inset

), alors nous pouvons écrire 
\begin_inset Formula $I=\E(g(X))$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Nous sommes encore dans la situation où nous voulons calculer l'espérance
 d'une variable aléatoire (si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 est une variable aléatoire, alors 
\begin_inset Formula $g(X)$
\end_inset

 est une variable aléatoire, à condition que 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 soit mesurable).
\end_layout

\begin_layout Section
Théorèmes de convergence
\end_layout

\begin_layout Subsection
Convergence
\end_layout

\begin_layout Theorem
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Loi forte des grands nombres.]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Loi forte des grands nombres
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "thm:ldgn"

\end_inset

Soit 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 une suite de variables aléatoires i.i.d., à valeurs dans 
\begin_inset Formula $\R^{d}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $d\in\N^{*}$
\end_inset

).
 On suppose que 
\begin_inset Formula $\E(|X_{1}|)<+\infty$
\end_inset

.
 Alors
\begin_inset Formula 
\[
\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\convps\E(X)\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rappel : 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
p.s.
\end_layout

\end_inset

p.s.
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 signifie 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

presque sûrement
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ce théorème nous dit pourquoi l'approximation de Monte-Carlo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:approx-mc"

\end_inset

) est valide (et sous quelles hypothèses).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vitesse de convergence
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "subsec:Vitesse-de-convergence"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Theorem
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Théorème de la limite centrale.]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Théorème de la limite centrale
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "thm:tcl"

\end_inset

 Soit 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 une suite de variables aléatoires i.i.d., à valeurs dans 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

.
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\E$"
description "Espérance"

\end_inset

 On suppose que 
\begin_inset Formula $\E(X_{1}^{2})<+\infty$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=\var(X)$
\end_inset

 (la variance
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Variance
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\var$"
description "Variance"

\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

).
 Alors
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})\right)\convloi\mathcal{N}(0,1)\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rappels : Le symbole 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$
\end_inset

 
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\mathcal{N}$"
description "Loi normale"

\end_inset

se rapporte à la loi normale (on dit aussi gaussienne) de moyenne 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 et de variance 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $ $
\end_inset

La 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
convergence en loi
\end_layout

\end_inset

convergence en loi d'une suite de variables réelles 
\begin_inset Formula $Z_{n}\convloi Z$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 de loi de densité 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

) signifie que pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f\,:\,\R\rightarrow\R$
\end_inset

 mesurable, bornée, 
\begin_inset Formula 
\[
\E(f(Z_{n}))\convn\E(f(Z))=\int_{\R}f(x)\phi(x)dx\,.
\]

\end_inset

 Ceci implique en particulier, sous les hypothèses du théorème ci-dessus,
 pour tout 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\p\left(a\leq\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})\right)\leq b\right)\\
=\E\left(\1_{[a;b]}\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})\right)\right)\right)\\
\convn\int_{a}^{b}1\times\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dx\,.
\end{multline*}

\end_inset

Si nous cherchons à approcher 
\begin_inset Formula $\E(X)$
\end_inset

 par une méthode de Monte-Carlo (
\begin_inset Formula $\E(X)\approx\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}$
\end_inset

), nous pouvons donc dire que l'erreur 
\begin_inset Formula $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X)$
\end_inset

 est d'ordre 
\begin_inset Formula $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
\end_inset

.
 Mais cette erreur est aléatoire (le théorème ci-dessus nous dit que 
\begin_inset Formula $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X)$
\end_inset

 est à peu près de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,\sigma^{2}/n)$
\end_inset

), nous ne pouvons donc pas la borner.
 En revanche, nous pouvons donner un intervalle de confiance pour le résultat.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

Intervalle de confiance
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 Toujours sous les hypothèse du théorème ci-dessus, notons 
\begin_inset Formula $\epsilon_{n}=\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})$
\end_inset

.
 On cherche à approcher 
\begin_inset Formula $\E(X_{1})$
\end_inset

 à 
\begin_inset Formula $0,01$
\end_inset

 près avec une confiance de 
\begin_inset Formula $95\%$
\end_inset

 (on cherche à construire un intervalle de confiance).
 C'est à dire que l'on veut 
\begin_inset Formula 
\[
\p\left(|\epsilon_{n}|\geq0,01\right)\leq0,05\,,
\]

\end_inset

ce qui est équivalent à 
\begin_inset Formula 
\[
\p\left(|\epsilon_{n}|\leq0,01\right)\geq0,95\,.
\]

\end_inset

Calculons :
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\p\left(|\epsilon_{n}|\leq0,01\right) & = & \p\left(-0,01\leq\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})\leq0,01\right)\\
 & = & \p\left(-0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\leq\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left(\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})\right)\leq0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)\\
\mbox{(pour \ensuremath{n}"assez grand")} & \approx & \int_{-0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}^{+0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dt\\
\mbox{(par symétrie de \ensuremath{\mathcal{N}(0,1)})} & = & 2\int_{-\infty}^{+0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dt-1\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

On veut donc 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $\int_{-\infty}^{+0,01\frac{\sqrt{n}}{\sigma}}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dt\geq0,975$
\end_inset

.
 On regarde dans une table de la loi normale (voir par exemple l'annexe
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
ref{chap:table}
\end_layout

\end_inset

) et on voit qu'il suffit pour cela d'avoir 
\begin_inset Formula $0,01\sqrt{n}/\sigma\geq1,96$
\end_inset

, c'est à dire 
\begin_inset Formula 
\[
n\geq\frac{(1,96\times\sigma)^{2}}{0,01^{2}}\,.
\]

\end_inset

On remarque que le nombre de tirages nécessaire 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 pour atteindre un certain niveau d'erreur avec une certaine confiance est
 une fonction linéaire de 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dans la pratique, 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 pourrait ne pas être connu, mais on peut l'estimer par une méthode de Monte-Car
lo.
\end_layout

\begin_layout Standard
On dit que 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 est la 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Variance de la méthode
\end_layout

\end_inset

variance de la méthode.
 Sous les hypothèses du théorème 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:tcl"

\end_inset

, la variance de l'erreur 
\begin_inset Formula $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}-\E(X_{1})$
\end_inset

 est asymptotiquement 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}/n$
\end_inset

.
 La variance 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 est aussi la variance des variables i.i.d.
 dont on fait la moyenne empirique.
 
\end_layout

\begin_layout Lemma
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Estimateur de la variance]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Estimateur de la variance
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "lem:estimateur-variance"

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 sont i.i.d.
 avec 
\begin_inset Formula $\E(X_{1}^{2})<+\infty$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=\var(X)$
\end_inset

, alors
\begin_inset Formula 
\[
\frac{(X_{1}-X_{2})^{2}+(X_{3}-X_{4})^{2}+\dots+(X_{2n-1}-X_{2n})^{2}}{2n}\convps\sigma^{2}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
Les variables 
\begin_inset Formula $(X_{1}-X_{2})^{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(X_{3}-X_{4})^{2}$
\end_inset

, \SpecialChar ldots
 sont i.i.d.
 avec 
\begin_inset Formula $\E((X_{1}-X_{2})^{2})=\E(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-2X_{1}X_{2})=2\E(X_{1}^{2})-2\E(X_{1})^{2}<+\infty$
\end_inset

 (car 
\begin_inset Formula $\E(X_{1}^{2})>\E(X_{1})^{2}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\E(X_{1}^{2})<+\infty$
\end_inset

).
 Donc le résultat découle de la loi des grands nombres.
\end_layout

\begin_layout Section
Exemples
\end_layout

\begin_layout Subsection
Cas facile
\end_layout

\begin_layout Standard
Soit 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 une variables aléatoire dans 
\begin_inset Formula $\R^{d}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $d\in\N^{*}$
\end_inset

) et 
\begin_inset Formula $f:\R^{d}\rightarrow\R$
\end_inset

 mesurable.
 On cherche à calculer 
\begin_inset Formula $p=\p(f(U)\leq\lambda)$
\end_inset

 pour un certain 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 est donc dans 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

).
 Soit 
\begin_inset Formula $X=\1_{f(U)\leq\lambda}$
\end_inset

.
 Alors 
\begin_inset Formula $p=\E(X)$
\end_inset

.
 On peut donc approcher 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 par (en faisant des tirages i.i.d.
 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 de même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
p_{n}=\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\approx p\,.
\]

\end_inset

Nous calculons 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=\var(X)=p(1-p)$
\end_inset

.
 Si nous voulons une erreur 
\begin_inset Formula $|p-p_{n}|$
\end_inset

 inférieure à 
\begin_inset Formula $0,01$
\end_inset

 avec une confiance à 
\begin_inset Formula $0,95\%$
\end_inset

 (comme dans l'exemple ci-dessus), il suffit de prendre 
\begin_inset Formula 
\[
n\geq\frac{(1,96\times\sigma)^{2}}{0,01^{2}}\,.
\]

\end_inset

Pour tout 
\begin_inset Formula $p\in[0;1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(1-p)\leq1/4$
\end_inset

, donc il suffit de prendre 
\begin_inset Formula 
\[
n\geq\frac{1,96^{2}}{0,01^{2}}\times\frac{1}{4}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Cas difficile
\end_layout

\begin_layout Standard
On cherche à calculer 
\begin_inset Formula $\E(e^{\beta Z})$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

.
 Nous savons que
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(e^{\beta Z}) & = & \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\beta x}\frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dx\\
 & = & \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\beta)^{2}+\frac{\beta^{2}}{2}\right)dx\\
 & = & e^{\beta^{2}/2}\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Si nous tirons 
\begin_inset Formula $Z_{1},Z_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

, nous aurons au bout de 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tirages : 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{e^{\beta Z_{1}}+\dots+e^{\beta Z_{n}}}{n}\approx\E(e^{\beta Z})+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Y
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $Y\sim\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=\var(e^{\beta Z})$
\end_inset

 (d'après le théorème de la limite-centrale).
 Un calcul similaire à celui que nous venons de faire nous donne : 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=e^{2\beta^{2}}-e^{\beta^{2}}$
\end_inset

.
 En ce qui concerne l'erreur relative
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{\E(e^{\beta Z})}\left|\frac{e^{\beta Z_{1}}+\dots+e^{\beta Z_{n}}}{n}-\E(e^{\beta Z})\right|\approx\frac{\sigma}{\E(e^{\beta Z})\sqrt{n}}\E(|Y|)=\frac{\sigma}{\E(e^{\beta Z})\sqrt{n}}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,.
\]

\end_inset

Nous avons 
\begin_inset Formula $\frac{\sigma}{\E(e^{\beta Z})}=\sqrt{e^{\beta^{2}}-1}$
\end_inset

.
 Par exemple, si 
\begin_inset Formula $\beta=5,$
\end_inset

 si nous voulons une erreur relative de l'ordre de 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, il nous faut prendre 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{e^{\beta^{2}}-1}\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\geq1,96\,,
\]

\end_inset

c'est à dire 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 de l'ordre de 
\begin_inset Formula $4\times10^{11}$
\end_inset

, ce qui n'est pas réalisable dans la pratique.
 C'est pourquoi il est important de réduire la variance (voir le chapitre
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "chap:Réduction-de-variance"

\end_inset

).
 
\end_layout

\begin_layout Subsection
Les 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Aiguilles de Buffon
\end_layout

\end_inset

aiguilles de Buffon
\end_layout

\begin_layout Standard
On jette une grande quantité d'aiguilles de même longueur sur un parquet.
 Le parquet est consitué de planches parallèles de même largeur (et de longueur
 supposée infinie).
 On calcule la propotion d'aiguilles tombant sur une rainure du parquet
 (voir une animation sur un site de l'INRIA
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node14.html
\backslash
#SECTION00033110000000000000
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

).
 On en déduit une approximation de 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 (voir la formule sur le site de l'INRIA).
 Voir une variation avec lancer de saucisses
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

https://www.youtube.com/watch?v=Q3jVk6k6CGY
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Comparaison avec les méthodes déterministes
\end_layout

\begin_layout Standard
Replaçons-nous dans le cadre de l'exemple 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Supposons-que-l'on"

\end_inset

.
 Nous pouvons également approcher l'intégrale en question par des sommes
 de Riemann
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[0;1]^{d}}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^{d}}\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}f\left(\frac{i_{1}}{n},\dots,\frac{i_{d}}{n}\right)\,.
\]

\end_inset

Pour comparer cette approximation avec l'approximation de Monte-Carlo, il
 convient de comparer les temps de calcul nécessaires pour atteindre une
 précision fixée, ou de comparer les précisions atteintes pour des temps
 de calcul égaux.
\end_layout

\begin_layout Lemma
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est lipschitz alors 
\begin_inset Formula 
\[
\left|\int_{[0;1]^{d}}f(x)dx-\frac{1}{n^{d}}\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}f\left(\frac{i_{1}}{n},\dots,\frac{i_{d}}{n}\right)\right|\leq\frac{C}{n}
\]

\end_inset

pour une certaine constante 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
La propriété lipschitz veut dire
\begin_inset space ~
\end_inset

: il existe une constante 
\begin_inset Formula $C'$
\end_inset

 telle que, pour tout 
\begin_inset Formula $x,y\in[0;1]^{d}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|\leq C'\Vert x-y\Vert$
\end_inset

.
 Nous avons donc 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left|\int_{[0;1]^{d}}f(x)dx-\frac{1}{n^{d}}\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}f\left(\frac{i_{1}}{n},\dots,\frac{i_{d}}{n}\right)\right|\\
=\left|\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}\int_{u_{1}\in\left[\frac{i_{1}-1}{n};\frac{i_{1}}{n}\right]}\dots\int_{u_{d}\in\left[\frac{i_{d}-1}{n};\frac{i_{d}}{n}\right]}f(x)-f\left(\frac{i_{1}}{n},\dots,\frac{i_{d}}{n}\right)du_{1}\dots du_{d}\right|\\
\leq\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}\int_{u_{1}\in\left[\frac{i_{1}-1}{n};\frac{i_{1}}{n}\right]}\dots\int_{u_{d}\in\left[\frac{i_{d}-1}{n};\frac{i_{d}}{n}\right]}\left|f(x)-f\left(\frac{i_{1}}{n},\dots,\frac{i_{d}}{n}\right)\right|du_{1}\dots du_{d}\\
\leq\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}\int_{u_{1}\in\left[\frac{i_{1}-1}{n};\frac{i_{1}}{n}\right]}\dots\int_{u_{d}\in\left[\frac{i_{d}-1}{n};\frac{i_{d}}{n}\right]}C'\frac{\sqrt{d}}{n}du_{1}\dots du_{d}=C'\frac{\sqrt{d}}{n}\,.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pour calculer la somme 
\begin_inset Formula $\sum_{1\leq i_{1},\dots,i_{d}\leq n}\dots$
\end_inset

, nous devons exécuter 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 boucles emboîtées de longueur 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 (et nous sommons donc 
\begin_inset Formula $n^{d}$
\end_inset

 termes).
 Nous dirons donc que le coût du calcul est d'ordre 
\begin_inset Formula $n^{d}$
\end_inset

.
 La précision est elle d'ordre 
\begin_inset Formula $n^{-1}$
\end_inset

.
 Si nous notons 
\begin_inset Formula $N=n^{d}$
\end_inset

 le coût du calcul, nous avons donc une précision en 
\begin_inset Formula $N^{-1/d}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dans le programme 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
ref{algo:01-mc-simple}
\end_layout

\end_inset

, le coût du calcul est d'ordre 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 (il y a n boucles) pour une précision d'ordre 
\begin_inset Formula $n^{-1/2}$
\end_inset

 (d'après le théorème 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:tcl"

\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\E(X^{2})<\infty$
\end_inset

).
 Si nous notons 
\begin_inset Formula $N=n$
\end_inset

 le coût du calcul, nous avons donc une précision en 
\begin_inset Formula $N^{-1/2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Remark
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
On voit donc que la méthode de Monte-Carlo n'est avantageuse numériquement
 qu'à partir de la dimension 
\begin_inset Formula $d=3$
\end_inset

.
 Même si la plupart des exercices et exemples de ce livre sont donnés en
 dimension 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 par souci de simplicité, il convient de ne pas oublier ce fait dans la
 pratique
\end_layout

\begin_layout Itemize
Les hypothèse permettant d'appliquer l'une ou l'autre des méthodes sont
 différentes (moins contraignantes dans le cas Monte-Carlo).
\end_layout

\begin_layout Itemize
La méthode de Monte-Carlo est facile à implémenter, c'est ce qui fait son
 succès.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Il existe des méthodes déterministes dites 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

quasi Monte-Carlo
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 qui sont plus rapides que les méthodes de Monte-Carlo simples (mais qui
 demandent plus d'hypothèses et qui sont plus difficiles à implémenter).
 Le lecteur pourra se reporter au polycopié de Laure Élie et Bernard Lapeyre
 cité dans l'introduction.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Exercices
\end_layout

\begin_layout Exercise
Donner au moins deux méthodes de Monte-Carlo différentes d'approximation
 de l'intégrale 
\begin_inset Formula 
\[
I_{1}=\int_{0}^{1}\cos(x^{3})\exp(-x)dx,
\]

\end_inset

 à l'aide d'une moyenne empirique impliquant des variables aléatoires de
 loi connue, puis coder chaque méthode en 
\family typewriter
R
\family default
.
\end_layout

\begin_layout Exercise
Mêmes questions avec 
\begin_inset Formula 
\[
I_{2}=\int_{0}^{+\infty}\sin(x^{4})\exp(-2x)\exp\bigl(-\frac{x^{2}}{2}\bigr)dx,
\]

\end_inset

 et 
\begin_inset Formula 
\[
I_{3}=\int_{0}^{1}\ln(1+x^{2})\exp(-x^{2})dx.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soient 
\begin_inset Formula $X,X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 des variables i.i.d uniformes dans 
\begin_inset Formula $C=[-1;1]\times[-1;1]$
\end_inset

 (sous-entendu
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $X=(U_{1},U_{2})$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $U_{1}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $U_{2}$
\end_inset

 indépendantes et de loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $[-1;1]$
\end_inset

 toutes les deux).
 Soit 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 le disque (dans 
\begin_inset Formula $\R^{2}$
\end_inset

) de centre 
\begin_inset Formula $(0,0)$
\end_inset

 et de rayon 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item 
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "1"

\end_inset

 Calculer par une méthode de Monte-Carlo la valeur de 
\begin_inset Formula $\E(\1_{X\in D})$
\end_inset

 (coder en 
\family typewriter
R
\family default
).
 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item 
\end_layout

\end_inset

Estimer la variance de la méthode (coder en 
\family typewriter
R
\family default
).
 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item 
\end_layout

\end_inset

Trouver 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 un nombre de boucles à effectuer en (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "1"

\end_inset

) pour que l'estimation de l'espérance soit précise à 
\begin_inset Formula $0,01$
\end_inset

 près avec une probabilité 
\begin_inset Formula $\geq0,95$
\end_inset

.
 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On s'intéresse à 
\begin_inset Formula 
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Donner deux méthodes de Monte-Carlo différentes pour calculer 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 (de manière approchée).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Écrire un programme en 
\family typewriter
R
\family default
 qui calcule 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 (de manière approchée).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On s'intéresse à 
\begin_inset Formula $I=\int_{0}^{1}\sin(\sqrt{x})dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode de Monte-Carlo pour calculer 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 (de manière approchée).
 Dans la suite, on notera 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

 la variance de cette méthode.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Écrire un programme en 
\family typewriter
R
\family default
 qui calcule 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 (de manière approchée).
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver un nombre de boucle 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 (qui s'écrit comme une fonction de 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
\end_inset

) telle que la méthode ci-dessus approche 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 à 
\begin_inset Formula $0,01$
\end_inset

 près avec une probabilité 
\begin_inset Formula $\geq0,99$
\end_inset

 (il n'est pas nécessaire de simplifier l'expression trouvée)
\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Exercise

\bar under
Aiguilles de Buffon
\bar default
.
 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Aiguilles de Buffon
\end_layout

\end_inset

 On jette des aiguilles de longueur 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 dm sur un parquet dont les lattes sont espacées de 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 dm.
 Voir la figure .
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/buffon.png

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Aiguille de Buffon
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Aiguille-de-Buffon"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer la probabilité qu'un aiguille tombe sur une rainure du parquet.
 On pourra remarquer qu'en utilisant les symétries du problème, on peut
 se rammener au problème suivant avec une seule rainure
\begin_inset space ~
\end_inset

: la distance du centre de l'aiguille à la rainure est une variable aléatoire
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de loi uniforme dans 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

, l'angle 
\begin_inset Formula $\Theta$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 sur la figure) que forme l'aiguille avec la direction des rainures est
 une varible uniforme dans 
\begin_inset Formula $[0;\pi/2]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En déduire un programme qui calcule 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 de manière approchée par une méthode de Monte-Carlo.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soit 
\begin_inset Formula $(U_{n}^{1},\dots,U_{n}^{3})_{n\geq1}$
\end_inset

 une famille de v.a.
 indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $]0;1[^{3}$
\end_inset

.
 Donner la limite presque-sûre de 
\begin_inset Formula 
\[
n^{-1}\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{1}}_{(U_{i}^{1})^{2}+(U_{i}^{2})^{2}+(U_{i}^{3})^{2}<1}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Donner une méthode similaire pour retrouver le volume d'une boule de rayon
 2.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Loi des grands nombres.
\end_layout

\end_inset

 Étant donnée une suite de variables aléatoires 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq1}$
\end_inset

 identiquement distribuées et indépendantes, telles que 
\begin_inset Formula ${\mathbb{E}}[|X_{1}|^{4}]<+\infty$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula ${\mathbb{E}}(X_{1})=0$
\end_inset

, on pose 
\begin_inset Formula 
\[
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer qu'il existe une constante 
\begin_inset Formula $C>0$
\end_inset

 telle que, pour tout 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
{\mathbb{E}}\bigl[S_{n}^{4}\bigr]\leq Cn^{2}.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En utilisant l'inégalité de Markov à l'ordre 4, en déduire qu'il existe
 une constant 
\begin_inset Formula $c>0$
\end_inset

 telle que, pour tout 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
{\mathbb{P}}\bigl\{|S_{n}|\geq n^{5/6}\bigr\}\leq cn^{-4/3}.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, en déduire que, presque-sûrement,
 
\begin_inset Formula $S_{n}/n\rightarrow0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Densité des polynômes dans 
\begin_inset Formula $\mathcal{C}([0;1])$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 Étant donnée une fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continue sur le segment 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

, on définit, pour tout rang 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

, la fonction polynomiale 
\begin_inset Formula 
\[
{\mathcal{P}}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\bigl[C_{n}^{k}x^{k}(1-x)^{n-k}f\bigl(\frac{k}{n}\bigr)\bigr].
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En introduisant, pour tout 
\begin_inset Formula $x\in[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\varepsilon_{n}(x))_{n\geq1}$
\end_inset

, suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de
 paramètre 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, et en posant 
\begin_inset Formula $S_{n}(x)=\varepsilon_{1}(x)+\dots+\varepsilon_{n}(x)$
\end_inset

, interpréter 
\begin_inset Formula ${\mathcal{P}}_{n}(x)$
\end_inset

 comme une espérance.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, montrer que 
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon>0,\quad{\mathbb{P}}\bigl\{\bigl|\frac{S_{n}(x)}{n}-x\bigr|\geq\varepsilon\bigr\}\leq\frac{1}{4n\varepsilon^{2}}.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En déduire que 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\sup_{x\in[0,1]}\bigl|f(x)-{\mathcal{P}}_{n}(x)\bigr|=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Exercise

\lang english
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center

\lang english
\begin_inset Graphics
	filename figures/cardioide.eps

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\lang english
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Cardioïde"

\end_inset

Cardioïde
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\lang french
La figure 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Cardioïde"

\end_inset

 représente une cardioïde (section de pomme) d'équation 
\begin_inset Formula $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(x^{2}+y^{2})$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Enumerate
L'intérieur est de la cardio
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
"{i}
\end_layout

\end_inset

de est donnée par l'inéquation 
\begin_inset Formula $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}<(x^{2}+y^{2})$
\end_inset

.
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
En déduire une méthode probabiliste d'approximation de la surface intérieure
 de la cardioïde.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
On obtient un solide de révolution en faisant tourner l'intérieur de la
 cardioïde autour de l'axe des 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 (on obtient quelque chose qui ressemble à une pomme).
 Proposer une méthode probabiliste d'approximation du volume de ce solide.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En fait, la cardio
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
"{i}
\end_layout

\end_inset

de admet aussi une description paramétrique en coordonnées polaires: 
\begin_inset Formula $\rho=1+\cos(\theta)$
\end_inset

.
 En déduire que le volume d'une pomme est 
\begin_inset Formula $8\pi/3$
\end_inset

.
  
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Plus difficile]
\end_layout

\end_inset

 Soient 
\begin_inset Formula $X_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\dots$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 des v.a.
 i.i.d.
 suivant une loi exponentielle de paramètre 1, de somme notée 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En utilisant le TCL, calculer la limite quand n tend vers l'infini de 
\begin_inset Formula 
\[
{\mathbb{P}}\bigl\{ a\leq\sqrt{n}\bigl(\frac{S_{n}}{n}-1\bigr)\leq b\bigr\},
\]

\end_inset

 pour 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 deux réels.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
On rappelle que 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 suit une loi 
\begin_inset Formula $\Gamma(n,1)$
\end_inset

, i.e.
 a pour densité la fonction 
\begin_inset Formula 
\[
x\mapsto{\mathbf{1}}_{[0,+\infty)}(x)\frac{x^{n-1}}{\Gamma(n)}\exp(-x),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $ $
\end_inset

 calculer directement la même quantité que ci-dessus.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Retrouver la formule de Stirling 
\begin_inset Formula 
\[
n!\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{2\pi n}\bigl(\frac{n}{e}\bigr)^{n}.
\]

\end_inset

 (On rappelle que 
\begin_inset Formula $\Gamma(n)=(n-1)!$
\end_inset

.)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Simulation de variables aléatoires
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "chap:Simulation-de-variables"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, pour appliquer une méthode
 de Monte-Carlo, il faut savoir simuler suivant une loi donnée.
 Nous supposons ici que nous disposons d'un générateur de nombres aléatoires
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Générateur de nombres aléatoires
\end_layout

\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

.
 Le langage 
\family typewriter
R
\family default
 contient les générateurs d'un grand nombre de lois classiques.
 
\end_layout

\begin_layout Remark
Les ordinateurs ne disposent pas de composant au comportement aléatoire
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Même un jeu de pile ou face ne se comporte pas aussi 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
og
\end_layout

\end_inset

 aléatoirement
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
fg
\end_layout

\end_inset

 que nous le voudrions, voir 
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

https://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1697475 
\end_layout

\end_inset

 sur la machine de Persi Diaconis.
\end_layout

\end_inset

.
 Quand on demande à un programme de générer des nombres aléatoires de loi
 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

, il renvoie des nombres pris dans une liste à la suite les uns des autres.
 En général, cette suite est suffisamment désordonnée et longue pour avoir
 un comportement similaire à celui d'une suite aléatoire.
 Dans le cas d'un programme écrit dans un langage de bas niveau (type 
\family typewriter
C++
\family default
), l'utilisateur aura intérêt à construire lui-même une procédure de génération
 de nombres aléatoires (la liste utilisée par le langage étant trop peu
 désordonnée).
\end_layout

\begin_layout Section
Inversion de la fonction de répartition
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Inversion-de-la"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
Soit 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une v.
 a.
 r.
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
v.
 a.
 r.
\end_layout

\end_inset

 (variable aléatoire réelle) de fonction de répartition 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 Posons, pour 
\begin_inset Formula $0\leq t\leq1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
F^{-1}(t)=\inf\{x,\,F(x)\geq t\}\,.
\]

\end_inset

Alors, si 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 (veut dire
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset


\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 suit la loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset


\begin_inset Quotes frd
\end_inset

)
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\sim$"
description "\"Suivre la loi\", \"de loi\", ..."

\end_inset

, alors 
\begin_inset Formula $F^{-1}(U)$
\end_inset

 a même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Attention, si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 est continue, 
\begin_inset Formula $F^{-1}$
\end_inset

 est l'inverse de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 mais ce n'est pas le cas si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 n'est pas continue (puisque 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 n'a alors pas d'inverse).
 La fonction 
\begin_inset Formula $F^{-1}$
\end_inset

 ainsi définie s'appelle le pseudo-inverse
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Pseudo-inverse
\end_layout

\end_inset

.
 Voir les figures 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-de-répartition"

\end_inset

 et 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-."

\end_inset

 pour un exemple (pour 
\begin_inset Formula $t\in[1/3;2/3]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{x,F(x)\geq t\}=[1;+\infty[$
\end_inset

 et donc 
\begin_inset Formula $F^{-1}(t)=1$
\end_inset

).
 Soit maintenant 
\begin_inset Formula $u\in[0;1]$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $t\in\R$
\end_inset

.
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "45text%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/fig-F.png
	lyxscale 70
	scale 70

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Fonction-de-répartition"

\end_inset

Fonction de répartition 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset space \hfill{}
\end_inset


\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "45text%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/fig-F-inv.png
	lyxscale 70
	scale 80

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Fonction-."

\end_inset

Fonction 
\begin_inset Formula $F^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $u\leq F(t)$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula $t\in\{x,F(x)\geq u\}$
\end_inset

 donc 
\begin_inset Formula $F^{-1}(u)\leq t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Supposons que 
\begin_inset Formula $F^{-1}(u)\leq t$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $\epsilon>0$
\end_inset

.
 Il existe 
\begin_inset Formula $x\leq t+\epsilon$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $F(x)\geq u$
\end_inset

.
 La fonction 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 est croissante donc 
\begin_inset Formula $F(x)\leq F(t+\epsilon)$
\end_inset

, donc 
\begin_inset Formula $u\leq F(t+\epsilon)$
\end_inset

.
 Ceci est vrai pour tout 
\begin_inset Formula $\epsilon>0$
\end_inset

 et la fonction 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 est continue à droite (parce que c'est une fonction de répartition) donc
 
\begin_inset Formula $u\leq F(t)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
Nous avons donc 
\begin_inset Formula 
\[
[u\leq F(t)]\Leftrightarrow[F^{-1}(u)\leq t]\,.
\]

\end_inset

Nous avons alors, pour tout 
\begin_inset Formula $t\in\R$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\p(F^{-1}(U)\leq t) & = & \p(U\leq F(t))=F(t)\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Donc 
\begin_inset Formula $F^{-1}(U)$
\end_inset

 a la même fonction de répartition que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 (et donc ils ont la même loi).
\end_layout

\begin_layout Example
Dans le cas de la fonction 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 donnée dans les figures 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-de-répartition"

\end_inset

, 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-."

\end_inset

, nous avons
\begin_inset Formula 
\[
F(x)=\begin{cases}
\frac{x}{3} & \mbox{ si }x\in[0;1[\,,\\
\frac{x}{3}+\frac{1}{3} & \mbox{ si }x\in[1;2]\,,\\
1 & \mbox{ si }x\geq1\,,\\
0 & \mbox{ si }x\leq0\,,
\end{cases}
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
F^{-1}(t)=\begin{cases}
3t & \mbox{ si }t\in\left[0;\frac{1}{3}\right]\,,\\
1 & \mbox{ si }t\in\left[\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right]\,,\\
3t-1 & \mbox{ si }t\in\left[\frac{2}{3};1\right]\,.
\end{cases}
\]

\end_inset

 Le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Simulation-par-inversion"

\end_inset

 renvoie une variable de fonction de répartition 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 (on parle ici de la variable affichée à la fin du programme).
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
finv<-function(u) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

 if (u<1/3)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

 { z=3*u } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

else if (u<2/3)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ z=1 }
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

else
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ z=3*u-1 } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

return(z)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

 }
\begin_inset Newline newline
\end_inset

u=runif(1,0,1) #simulation d'une variable uniforme (dans [0;1])
\begin_inset Newline newline
\end_inset

print(finv(u)) 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Simulation-par-inversion"

\end_inset

Simulation par inversion de la fonction de répartition
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator plain
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Example
Soit 
\begin_inset Formula $n\in\N^{*}$
\end_inset

.
 Soient 
\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}<\dots<x_{n}$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

.
 Soient 
\begin_inset Formula $p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\in[0;1]$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $p_{1}+p_{2}+\dots+p_{n}=1$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable aléatoire telle que 
\begin_inset Formula $\p(X_{i}=x_{i})$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $i\in\{1,2,\dots,n\}$
\end_inset

.
 La fonction de répartition de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula 
\[
F\,:\,t\in\R\mapsto\sum_{i=1}^{n}p_{i}\1_{t\geq x_{i}}\,,
\]

\end_inset

(voir un exemple de dessin avec 
\begin_inset Formula $n=3$
\end_inset

 dans la Figure 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-de-répartition-1"

\end_inset

).
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "45text%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/repartition-variable-discrete.png
	lyxscale 60
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Fonction-de-répartition-1"

\end_inset

Fonction de répartition 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset space \hfill{}
\end_inset


\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "45text%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/rep-inverse-variable-discrete.png
	lyxscale 45
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Fonction-de-répartition-2"

\end_inset

Fonction 
\begin_inset Formula $F^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Son pseudo-inverse est 
\begin_inset Formula 
\[
F^{-1}\,:\,u\in[0;1]\mapsto\sum_{j=1}^{n}x_{j}\1_{p_{1}+\dots+p_{j-1}\leq u<p_{1}+\dots+p_{j}}\,,
\]

\end_inset

(voir un exemple de dessin avec 
\begin_inset Formula $n=3$
\end_inset

 dans la Figure 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Fonction-de-répartition-2"

\end_inset

).Le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Simulation-par-inversion-1"

\end_inset

 renvoie une variable de fonction de répartition 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 (le tableau 
\family typewriter
x
\family default
 contient les valeurs 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 et le tableau 
\family typewriter
p
\family default
 contient les valeurs 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

).
 
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
i=0
\begin_inset Newline newline
\end_inset

t=0
\begin_inset Newline newline
\end_inset

b=0
\begin_inset Newline newline
\end_inset

u=runif(1,0,1)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
while (b==0)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

i=i+1
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

t=t+p[i]
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (t>u)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ b=1 }
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
print(x[i])
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Simulation-par-inversion-1"

\end_inset

Simulation par inversion de la fonction de répartition.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Simulation d'une loi exponentielle
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Simulation-d'une-loi-exponentielle"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
On rappelle que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 suit une 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
loi exponentielle
\end_layout

\end_inset

loi exponentielle de paramètre 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $>0$
\end_inset

) si pour tout 
\begin_inset Formula $t\in\R_{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\p(X>t)=\exp(-\lambda t)\,.
\]

\end_inset

Nous noterons cette loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{E}(\lambda)$
\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\mathcal{E}(\\lambda)$"
description "Loi exponentielle de paramètre $\\lambda$"

\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 est la fonction de répartition de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, nous avons alors 
\begin_inset Formula $F(t)=1-e^{-\lambda t}$
\end_inset

 (pour 
\begin_inset Formula $t\geq0$
\end_inset

) et 
\begin_inset Formula 
\[
F^{-1}(x)=-\frac{\log(1-x)}{\lambda}\,.
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

, nous avons, d'après le résultat ci-dessus : 
\begin_inset Formula $-\log(1-U)/\lambda\sim\mathcal{E}(\lambda)$
\end_inset

.
 Remarquons que 
\begin_inset Formula $1-U$
\end_inset

 a même loi que 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 et donc 
\begin_inset Formula 
\[
-\frac{\log(U)}{\lambda}\sim\mathcal{E}(\lambda)\,.
\]

\end_inset

Attention
\begin_inset space ~
\end_inset

: nous écrivons 
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\log$"
description "Logarithme népérien"

\end_inset


\begin_inset Formula $\log$
\end_inset

 pour le 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Logarithme népérien
\end_layout

\end_inset

logarithme népérien.
\end_layout

\begin_layout Section
Simulation de variables gaussiennes (algorithme de 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Box-Müller
\end_layout

\end_inset

Box-Müller)
\end_layout

\begin_layout Lemma
Si 
\begin_inset Formula $U,V$
\end_inset

 sont de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 et indépendantes alors
\begin_inset Formula 
\[
(\sqrt{-2\log(U)}\cos(2\pi V),\sqrt{-2\log(U)}\sin(2\pi V))
\]

\end_inset

est un vecteur gaussien centré de matrice de covariance 
\begin_inset Formula $\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]$
\end_inset

 (donc les deux composantes sont indépendantes et de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Proof
On se rappelle que pour identifier la loi d'une variable aléatoire, il suffit
 de savoir calculer les espérances de fonctions de cette variables aléatoires
 (pour toute fonction dans un ensemble de fonctions tests, voir proposition
 6.2.10 dans le polycopié de L3
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
http://math.unice.fr/~rubentha/enseignement/poly-integration-probas.pdf
\end_layout

\end_inset

).
 Nous prenons donc 
\begin_inset Formula $f\in\mathcal{C}_{b}^{+}(\R^{2})$
\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\mathcal{C}_{b}^{+}(\\dots)$"
description "Fonctions continues bornées positives"

\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\mathcal{C}_{b}^{+}(\R^{2})$
\end_inset

 est l'ensemble des fonctions positives, continues, bornées de 
\begin_inset Formula $\R^{2}$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

).
 Notons 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 deux variables indépendantes de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

.
 Nous avons
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(f(X,Y)) & = & \int_{\R^{2}}f(x,y)\frac{e^{-(x^{2}+y^{2})/2}}{2\pi}dxdy\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nous voulons effectuer le changement de variable 
\begin_inset Formula $x=r\cos(\theta)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y=r\sin(\theta)$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $r\in\R_{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\theta\in[0;2\pi])$
\end_inset

 (c'est le passage usuel en coordonnées polaires).
 Nous obtenons la matrice jacobienne
\begin_inset Formula 
\[
J_{1}(x,y)=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r}\\
\frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & \sin(\theta)\\
-r\sin(\theta) & r\cos(\theta)
\end{array}\right]\,,
\]

\end_inset

de déterminant 
\begin_inset Formula $\det(J_{1})=r\cos^{2}(\theta)+r\sin^{2}(\theta)=r.$
\end_inset

 Donc
\begin_inset Formula 
\[
\E(f(X,Y))=\int_{(r,\theta)\in\R_{+}\times[0;2\pi]}f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\frac{e^{-r^{2}/2}}{2\pi}|r|drd\theta\,.
\]

\end_inset

Nous effectuons maintenant un nouveau changement de variable : 
\begin_inset Formula $r=\sqrt{-2\ln(u)}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\theta=2\pi v$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $(u,v)\in[0;1]^{2}$
\end_inset

).
 Nous obtenons la matrice jacobienne
\begin_inset Formula 
\[
J_{2}(r,\theta)=\left[\begin{array}{cc}
-\frac{2}{u}\frac{1}{2\sqrt{-2\log(u)}} & 0\\
0 & 2\pi
\end{array}\right]\,,
\]

\end_inset

de déterminant 
\begin_inset Formula $\det(J_{2})=\frac{2\pi}{u\sqrt{-2\log(u)}}$
\end_inset

.
 Donc
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(f(X,Y)) & = & \int_{(u,v)\in[0;1]^{2}}f(\sqrt{-2\ln(u)}\cos(2\pi v),\sqrt{-2\ln(u)}\sin(2\pi v))\frac{u}{2\pi}\sqrt{-2\ln(u)}\\
 &  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times\frac{2\pi}{u\sqrt{-2\ln(u)}}dudv\\
 & = & \int_{(u,v)\in[0;1]^{2}}f(\sqrt{-2\ln(u)}\cos(2\pi v),\sqrt{-2\ln(u)}\sin(2\pi v))dudv\\
 & = & \E(f(\sqrt{-2\ln(U)}\cos(2\pi V),\sqrt{-2\ln(U)}\sin(2\pi V)))\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Ceci est vrai pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f\in\mathcal{C}_{b}^{+}(\R^{2})$
\end_inset

 donc 
\begin_inset Formula $(X,Y$
\end_inset

) et 
\begin_inset Formula 
\[
(\sqrt{-2\ln(U)}\cos(2\pi V),\sqrt{-2\ln(U)}\sin(2\pi V))
\]

\end_inset

 ont même loi.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pour simuler une variable 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

, il suffit donc de prendre 
\begin_inset Formula $U,V\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 indépendantes et poser 
\begin_inset Formula $X=\sqrt{-2\log(U)}\cos(2\pi V)$
\end_inset

.
 Pour simuler une variable 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$
\end_inset

, il suffit de prendre 
\begin_inset Formula $X=\mu+\sigma Y$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $Y\sim\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Simulation d'une variable aléatoire poissonienne
\end_layout

\begin_layout Standard
Une variable de loi de Poisson
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Poisson
\end_layout

\end_inset

 de paramètre 
\begin_inset Formula $\lambda>0$
\end_inset

 est une variable à valeurs dans 
\begin_inset Formula $\N$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula 
\[
\p(X=n)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}
\]

\end_inset

(ici la variable s'appelle 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Lemma
Soit 
\begin_inset Formula $t>0$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $(T_{i})_{i\geq1}$
\end_inset

 une suite de variables i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{E}(\lambda)$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\lambda>0$
\end_inset

).
 Alors 
\begin_inset Formula 
\[
N_{t}=\sum_{n\geq1}n\1_{\{T_{1}+\dots+T_{n}\leq t<T_{1}+\dots+T_{n+1}\}}
\]

\end_inset

 est une variable de Poisson de paramètre 
\begin_inset Formula $\lambda t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Commençons par vérifier que la variable 
\begin_inset Formula $N_{t}$
\end_inset

 est bien définie.
 Pour tout 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

, il existe un 
\begin_inset Formula $k\in\N^{*}$
\end_inset

 et un seul tel que 
\begin_inset Formula $T_{1}+\dots+T_{k}\leq t<T_{1}+\dots+T_{k+1}$
\end_inset

 et donc 
\begin_inset Formula $N_{t}(\omega)=k\1_{\left\{ T_{1}+\dots+T_{k}\leq t<T_{1}+\dots+T_{k+1}\right\} }$
\end_inset

 (tous les autres termes de la somme sont nuls).
 Nous avons, pour tout 
\begin_inset Formula $n\in\N^{*},$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\p(N_{t}=n)=\p(T_{1}+\dots+T_{n}\leq t<T_{1}+\dots+T_{n+1})\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq t}\dots\int_{t_{n+1}\geq0}\1_{\{t_{1}+\dots+t_{n}\leq t<t_{1}+\dots+t_{n+1}\}}\lambda e^{-\lambda t_{1}}\dots\lambda e^{-\lambda t_{n+1}}dt_{1}\dots dt_{n+1}\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq t}\int_{0\leq t_{2}\leq t-t_{1}}\dots\int_{0\leq t_{n}\leq t-(t_{1}+\dots+t_{n-1})}\int_{t-(t_{1}+\dots+t_{n})\leq t_{n+1}}\lambda e^{-\lambda t_{1}}\dots\lambda e^{-\lambda t_{n+1}}dt_{n+1}dt_{n}\dots dt_{1}\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq t}\int_{0\leq t_{2}\leq t-t_{1}}\dots\int_{0\leq t_{n}\leq t-(t_{1}+\dots+t_{n-1})}\lambda e^{-\lambda t_{1}}\dots\lambda e^{-\lambda t_{n}}\left[-e^{-\lambda t_{n+1}}\right]_{t-(t_{1}+\dots+t_{n})}^{+\infty}dt_{n}\dots dt_{1}\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq t}\int_{0\leq t_{2}\leq t-t_{1}}\dots\int_{0\leq t_{n}\leq t-(t_{1}+\dots+t_{n-1})}\lambda^{n}e^{-\lambda t}dt_{1}\dots dt_{n}\,.
\end{multline*}

\end_inset

Montrons par récurrence sur 
\begin_inset Formula $n\in\N^{*}$
\end_inset

 que pour tout 
\begin_inset Formula $x\geq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{0\leq t_{1}\leq x}\int_{0\leq t_{2}\leq x-t_{1}}\int_{0\leq t_{3}\leq x-(t_{1}+t_{2})}\dots\int_{0\leq t_{n}\leq x-(t_{1}+\dots+t_{n-1})}1dt_{n}\dots dt_{1}=\frac{x^{n}}{n!}\,.
\]

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Pour 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{0\leq t_{1}\leq x}1dt_{1}=x=\frac{x^{1}}{1!}$
\end_inset

.
 Pour 
\begin_inset Formula $n=2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{0\leq t_{1}\leq x}\int_{0\leq t_{2}\leq x-t_{1}}1dt_{2}dt_{1}=\int_{0\leq t_{1}\leq x}x-t_{1}dt_{1}=\left[-\frac{(x-t_{1})^{2}}{2!}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2}}{2!}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si la propriété est vraie jusqu'au rang 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, calculons
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int_{0\leq t_{1}\leq x}\int_{0\leq t_{2}\leq x-t_{1}}\int_{0\leq t_{3}\leq x-(t_{1}+t_{2})}\dots\int_{0\leq t_{n+1}\leq x-(t_{1}+\dots+t_{n})}1dt_{n+1}\dots dt_{1}\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq x}\left(\int_{0\leq t_{2}\leq x-t_{1}}\int_{0\leq t_{3}\leq x-(t_{1}+t_{2})}\dots\int_{0\leq t_{n+1}\leq x-(t_{1}+\dots+t_{n})}1dt_{n+1}\dots dt_{2}\right)dt_{1}\\
\mbox{(par la propriété au rang \ensuremath{n})}\\
=\int_{0\leq t_{1}\leq x}\frac{(x-t_{1})^{n}}{n!}dt_{1}=\left[-\frac{(x-t_{1})^{n+1}}{(n+1)!}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
Nous avons donc
\begin_inset Formula 
\[
\p(N_{t}=n)=\frac{(\lambda t)^{n}e^{-\lambda t}}{n!}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nous pouvons donc simuler une variable de Poisson à l'aide d'une boucle
 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

tant que
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 (et en utilisant le résultat de la partie 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Simulation-d'une-loi-exponentielle"

\end_inset

) ( voir le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Simulation-d'une-variable"

\end_inset

) 
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
lambda=2 #on fixe une valeur arbitraire de lambda 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
t=1 #on fixe une valeur arbitraire de t 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
b=0 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
s=0
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
n=-1 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
while (b==0) 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
{ 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

n=n+1 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s-log(runif(1,0,1))/lambda
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (s>t)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

b=1
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

} 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
print(n) 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Simulation-d'une-variable"

\end_inset

Simulation d'une variable aléatoire poissonienne.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Méthode de rejet
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Méthode de rejet
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
On veut simuler une variable de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 (dans 
\begin_inset Formula $\R^{d}$
\end_inset

) et on suppose qu'il existe une loi de densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 facile à simuler telle que 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\forall x\in\R^{d},\,f(x)\leq kg(x)\,.\label{eq:maj-k}
\end{equation}

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 une constante.
 Posons 
\begin_inset Formula $\alpha(x)=\frac{f(x)}{kg(x)}$
\end_inset

 sur l'ensemble 
\begin_inset Formula $\{x,g(x)>0\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proposition
Soit 
\begin_inset Formula $(X_{n},U_{n})_{n\geq1}$
\end_inset

 une suite de variable i.i.d.
 avec pour tout 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 est de loi de densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 et est indépendante de 
\begin_inset Formula $U_{n}$
\end_inset

, qui est de loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $T=\inf\{n,\,U_{n}\leq\alpha(X_{n})\}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 est un entier aléatoire).
 Soit 
\begin_inset Formula $X=X_{T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proposition
Alors la v.a.
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 ainsi simulée est de loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Remarquons que 
\begin_inset Formula $\alpha(X_{n})$
\end_inset

 est défini pour presque tout 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 En effet, 
\begin_inset Formula $\p(X_{n}\in\{x:g(x)=0\})=0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
Soit 
\begin_inset Formula $\varphi\in C_{b}^{+}(\R^{d})$
\end_inset

.
 Nous avons 
\begin_inset Formula $\varphi(X_{T})=\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi(X_{n})\1_{n=T}$
\end_inset

 (pour tout 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, cette somme contient au plus un terme non nul).
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(\varphi(X)) & = & \sum_{n=1}^{+\infty}\E(\varphi(X_{n})\1_{n=T})\\
 & = & \sum_{n=1}^{+\infty}\E(\varphi(X_{n})\prod_{i=1}^{n-1}\1_{U_{i}>\alpha(X_{i})}\times\1_{U_{n}\leq\alpha(X_{n})})\\
\mbox{(par indépendance des \ensuremath{(X_{i},U_{i})})} & = & \sum_{n=1}^{+\infty}\E(\varphi(X_{n})\1_{U_{n}\leq\alpha(X_{n})})\prod_{i=1}^{n-1}\E(\1_{U_{i}>\alpha(X_{i})})\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Calculons, pour tout 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(\varphi(X_{n})\1_{U_{n}\leq\alpha(X_{n})}) & = & \int_{x\in\R^{d}}\left(\int_{u\in[0;1]}\1_{u\leq\alpha(x)}du\right)\varphi(x)g(x)dx\\
 & = & \int_{x\in\R^{d}}\frac{f(x)}{kg(x)}\varphi(x)g(x)dx\\
 & = & \frac{1}{k}\int_{x\in\R^{d}}\varphi(x)f(x)dx\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nous en déduisons, pour tout 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(\1_{U_{n}>\alpha(X_{n})}) & = & 1-\E(\1_{U_{n}\leq\alpha(X_{n})})\\
 & = & 1-\frac{1}{k}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Remarquons que l'inégalité 
\begin_inset Formula $f\leq kg$
\end_inset

 implique 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\R^{d}}f(x)dx\leq k\int_{\R^{d}}g(x)dx\,,
\]

\end_inset

donc 
\begin_inset Formula $k\geq1$
\end_inset

.
 Nous avons donc
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(\varphi(X)) & = & \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\R^{d}}\varphi(x)f(x)dx\times\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{k}\right)^{n-1}\\
\mbox{(somme géométrique)} & = & \int_{\R^{d}}\varphi(x)f(x)dx\times\frac{1}{k}\times\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{k}\right)}\\
 & = & \int_{\R^{d}}\varphi(x)f(x)dx\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

D'où le résultat.
\end_layout

\begin_layout Example
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "ex:rejet"

\end_inset

Soit 
\begin_inset Formula $f(x)=\frac{e^{-x^{3}}}{Z}\1_{x\geq1}$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $Z=\int_{1}^{+\infty}e^{-x^{3}}dx$
\end_inset

 (la constante 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 n'est pas connue mais nous n'en aurons pas besoin).
 Soit 
\begin_inset Formula $g(x)=\frac{\1_{x\geq1}}{x^{2}}$
\end_inset

.
 Les fonctions 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 sont des densités de probabilité.
 Il est facile de simuler suivant la loi de densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 en utilisant la technique d'inversion de la fonction de répartition.
 Nous commençons par étudier la fonction 
\begin_inset Formula $h:x\geq1\mapsto x^{2}e^{-x^{3}}$
\end_inset

.
 Nous avons 
\begin_inset Formula $h'(x)=(2x-3x^{4})e^{-x^{3}}\leq0$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x\geq1$
\end_inset

.
 Donc, pour tout 
\begin_inset Formula $x\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h(x)\leq h(1)=e^{-1}$
\end_inset

.
 Nous en déduisons (pour 
\begin_inset Formula $x\geq1$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
f(x)\leq\frac{1}{eZ}g(x)\,.
\]

\end_inset

Nous posons 
\begin_inset Formula $k=1/(eZ)$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula 
\[
\alpha(x)=\frac{f(x)}{kg(x)}=x^{2}e^{-x^{3}+1}\,.
\]

\end_inset

Nous ne connaissons pas 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 mais nous pouvons calculer 
\begin_inset Formula $\alpha(x)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x\geq1$
\end_inset

 donc nous pouvons utiliser l'algorithme de simulation par rejet pour simuler
 suivant la densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 (voir programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Simulation-par-la"

\end_inset

).
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
b=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

while (b==0)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

y=1/(1-v) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (u<y^2*exp(-y^3)*exp(1))
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ b=1 } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\begin_inset Newline newline
\end_inset

print(y)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Simulation par la méthode de rejet
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Simulation-par-la"

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset

Dans ce programme, nous utilisons les résultats suivants pour simuler suivant
 la densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 par inversion de la fonction de répartition
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\mbox{pour }x\geq1,\,G(x)=\int_{1}^{x}g(u)du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{x}=1-\frac{1}{x},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\mbox{pour }u\in[0;1],\,G^{-1}(u)=\frac{1}{1-u}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Example
\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Loi conditionnelle
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Loi conditionnelle
\end_layout

\end_inset

 Soit 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable aléatoire à valeur dans 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

, de densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un sous-ensemble (mesurable) de 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $\p(X\in A)\neq0$
\end_inset

.
 La loi de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 conditionné à tomber dans 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a pour densité
\begin_inset Formula 
\[
x\mapsto f(x)=\frac{g(x)\1_{A}(x)}{\int_{u\in A}g(u)du}\,.
\]

\end_inset

 Nous remarquons que pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)\leq Cg(x)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $C=(\int_{u\in A}f(u)du)^{-1}$
\end_inset

.
 Donc, si nous tirons 
\begin_inset Formula $(X_{n},U_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 i.i.d.
 avec 
\begin_inset Formula $X_{n}\pperp U_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 de loi de densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $U_{n}\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

, et si nous posons 
\begin_inset Formula $T=\inf\{n\,:\,U_{n}\leq f(X_{n})/(Cg(X_{n}))\}$
\end_inset

, alors 
\begin_inset Formula $X_{T}$
\end_inset

 est de loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Ici, le ratio 
\begin_inset Formula $f/(Cg)$
\end_inset

 se simplifie en
\begin_inset Formula 
\[
\frac{f(x)}{Cg(x)}=\1_{A}(x)\,.
\]

\end_inset

Donc l'algorithme de rejet consiste simplement à tirer des 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 jusqu'à ce qu'il y en ait un dans 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Remark
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Temps de calcul]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Temps de calcul
\end_layout

\end_inset

 Le nombre de boucles effectuées dans la méthode du rejet est aléatoire.
 Sous les hypothèses de la proposition ci-dessus, ce nombre de boucles est
 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 et nous pouvons calculer son espérance
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(T) & = & \sum_{n=1}^{+\infty}n\p(T=n)\\
 & = & \sum_{n=1}^{+\infty}n\p(U_{1}>\alpha(X_{1}),\dots,U_{n-1}>\alpha(X_{n-1}),U_{n}\leq\alpha(X_{n}))\\
\mbox{(par indépendance des \ensuremath{(X_{i},U_{i})})} & = & \sum_{n=1}^{+\infty}n\left(\p(U_{1}>\alpha(X_{1}))\right)^{n-1}\p(U_{1}\leq\alpha(X_{n}))\\
\mbox{(d'après la dém. de la prop.)} & = & \sum_{n=1}^{+\infty}n\left(1-\frac{1}{k}\right)^{n-1}\frac{1}{k}\\
 & = & \frac{1}{k}\phi\left(1-\frac{1}{k}\right)\,,
\end{eqnarray*}

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $\phi(z)$
\end_inset

 la série entière 
\begin_inset Formula $\phi(z)=\sum_{n\geq1}nz^{n-1}$
\end_inset

 (de rayon de convergence 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, c'est à dire que cette série converge pour 
\begin_inset Formula $|z|<1$
\end_inset

).
 Nous avons 
\begin_inset Formula $\phi(z)=\Phi'(z)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $\Phi(z)=\sum_{n\geq0}z^{n}=\frac{1}{1-z}$
\end_inset

.
 Donc 
\begin_inset Formula $\phi(z)=\frac{1}{(1-z)^{2}}$
\end_inset

.
 Donc
\begin_inset Formula 
\[
\E(T)=\frac{1}{k}\frac{1}{\left(1-\left(1-\frac{1}{k}\right)\right)^{2}}=k\,.
\]

\end_inset

Donc le temps de calcul moyen est proportionnel à 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
 C'est pourquoi on cherche une constante 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 satisfaisant (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:maj-k"

\end_inset

) qui soit la plus petite possible.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Remark
L'algorithme ci-dessus est encore valable si la v.a.
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 à simuler a une densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 par rapport à une mesure 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 quelconque et que cette densité est majorée par 
\begin_inset Formula $kg$
\end_inset

 où 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 est la densité par rapport à 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 d'une variable 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 facile à simuler.
 Ceci se traduit par (pour tout 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
\p(X\in A)=\int_{A}f(x)\mu(dx)\leq\int_{A}kg(x)\mu(dx)=k\p(Y\in A)\,.
\]

\end_inset

Si la v.a.
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a une loi portée par un ensemble discret 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, on peut choisir pour 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 la mesure de comptage sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 et la méthode de rejet est aussi valable pour les lois discrètes, 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 étant dans ce cas égale à 
\begin_inset Formula $\p(X=x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Vérification par histogramme
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Histogramme
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Quand on simule une variable aléatoire réelle à l'aide d'une des méthodes
 ci-dessus, on peut vérifier empiriquement que la loi simulée est bien celle
 que l'on voulait.
 Soient 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 des v.a.r.
 i.i.d.
 de loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 (avec une dérivée 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 vérifiant 
\begin_inset Formula $\Vert f'\Vert_{\infty}<C$
\end_inset

 pour une certaine constante 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

).
 Pour tout 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n(b-a)}\sum_{i=1}^{n}\1_{[a;b]}(X_{i})\convps\frac{\p(X_{1}\in[a;b])}{b-a}\,,
\]

\end_inset

et 
\begin_inset Formula $\frac{\p(X_{1}\in[a;b])}{b-a}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$
\end_inset

 donc 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left|\frac{\p(X_{1}\in[a;b])}{b-a}-f(a)\right| & = & \left|\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)-f(a)dt\right|\\
 & \leq & \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}|f(t)-f(a)|dt\\
 & \leq & \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}C|t-a|dt\\
 & = & \frac{C(b-a)}{2}\underset{b\searrow a}{\longrightarrow}0\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Donc l'histogramme (correctement renormalisé) des 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 valeurs simulées 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$
\end_inset

 est proche de la densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Dans le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Traçé-d'un-histogramme"

\end_inset

, nous simulons des variables de densité 
\begin_inset Formula $f:x\in\R\mapsto\1_{x\geq1}e^{-x^{3}}/Z$
\end_inset

 (comme dans l'exemple 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "ex:rejet"

\end_inset

) et nous traçons l'histogramme empirique des variables et le graphe de
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 dans le même repère (voir figure 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Histogramme-et-densité"

\end_inset

, dans laquelle il y a aussi le graphe de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 en bleu).
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
#Nous déclarons une fonction qui simule une variable de densité f.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

#Remarque : l'argument t n'est pas utilisé.
 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

simu<-function(t) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

b=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

while (b==0)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

y=1/(1-v)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (u<y^2*exp(-y^3)*exp(1))
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ b=1 }
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

}
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

return(y)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
f1<-function(x)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (x>1)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ z=exp(-x^3) }
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

else
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ z=0 }
\begin_inset Newline newline
\end_inset

return(z)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Zi=integrate(f1,1,5)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Z=Zi$value #calcule la constante Z
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
n=5000 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

tab=c()
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

x=simu(1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

tab=c(tab,x)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

hist(tab,freq=FALSE) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

abs=seq(1.01,5,0.01) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

y=exp(-abs*abs*abs)/Z
\begin_inset Newline newline
\end_inset

lines(abs,y,type='l',col='red')
\family default

\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Tracé d'un histogramme
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Traçé-d'un-histogramme"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/histo.png
	scale 50

\end_inset


\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Histogramme-et-densité"

\end_inset

Histogramme et densité
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pour un exemple de construction d'histogramme pour la loi uniforme, voir
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node7.html#SECTION000310100000000000
00
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Exercices
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Préliminaire
\end_layout

\begin_layout Standard
Pour tous les exercices dans lesquels vous proposerez une méthode de simulation,
 il est conseillé de faire une vérification par histogramme.
\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item 
\end_layout

\end_inset

Simuler des variables exponentielles par la méthode du cours.
 
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item 
\end_layout

\end_inset

Tracer un histogramme des variables simulées par cette méthode.
 Comparer avec un tracé de la densité de la loi exponentielle.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

Montrer que l'algorithme suivant permet de simuler une réalisation de loi
 uniforme sur le disque unité de ${
\backslash
mathbb R}^2$.
  
\backslash
begin{enumerate} 
\backslash
item Simuler $(U,V)$ couple de deux v.a.
 i.i.d.
 de loi uniforme sur $[-1,1]$.
 
\backslash
item Tant que $U^2+V^2 >1$, répéter $(1)$.
 
\backslash
item Renvoyer la valeur de $(U,V)$ en fin de boucle.
 
\backslash
end{enumerate} Coder l'algorithme en {
\backslash
tt R}.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

Montrer que l'algorithme suivant permet de simuler un couple de v.a.
 i.i.d.
  de loi gaussiennes centrées réduites.
 
\backslash
begin{enumerate} 
\backslash
item Simuler $(U,V)$ couple de deux v.a.
 i.i.d.
 de loi uniforme sur $[-1,1]$.
 
\backslash
item Tant que $U^2+V^2 >1$, répéter $(1)$.
 
\backslash
item Renvoyer la valeur de $(U,V)$ et de $R^2=U^2+V^2$ en fin de boucle.
 
\backslash
item Poser $Z = [-2 
\backslash
ln(R^2)/R^2]^{1/2}$.
 
\backslash
item Poser $X=ZU$ et $Y=ZV$.
 
\backslash
end{enumerate} Coder l'algorithme en {
\backslash
tt R}.
 Vérifier à l'aide d'un histogramme que la variable $X$ simulée suit bien
 une loi gaussienne centrée réduite.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

Soient $X$ et $Y$ deux v.a.
 i.i.d.
 de loi exponentielle de paramètre 1.
  
\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item Montrer que la loi conditionnelle de $X$ sachant $2Y>(1-X)^2$ a pour
 densité 
\backslash
begin{equation*} x 
\backslash
mapsto 
\backslash
frac{2}{
\backslash
sqrt{2 
\backslash
pi}} 
\backslash
exp
\backslash
bigl( - 
\backslash
frac{x^2}{2} 
\backslash
bigr) {
\backslash
mathbf 1}_{[0,+
\backslash
infty[}(x).
 
\backslash
end{equation*} 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item Soit $S$ une v.a.
 de loi Bernoulli de paramètre $1/2$, indépendante du couple $(X,Y)$.
 Montrer que la loi conditionnelle de $(2S-1)X$ sachant $2Y>(1-X)^2$ suit
 une loi normale centrée réduite.
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item En déduire un algorithme de simulation de la loi ${
\backslash
mathcal N}(0,1)$.
  Le coder en {
\backslash
tt R}.
 
\backslash
end{enumerate} 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

%
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise

\bar under
Calcul de VaR
\bar default
.
 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
var@VaR (
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

value at risk
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

)
\end_layout

\end_inset

 On suppose que le gain obtenu par gestion d'un portefeuille est une variable
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 dont on connaît la densité.
 On se fixe une probabilité 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 (que l'on prendra égale à 
\begin_inset Formula $0.05$
\end_inset

).
 La VaR (
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

value at risk
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

) pour la probabilité 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 est le nombre 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $\p(X\leq-x)=p$
\end_inset

 (c'est à dire que la probabilité que la perte soit plus grande que 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 vaut 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

).
 Nous supposons dans cet exercice que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 est de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(1;1)$
\end_inset

.
 Nous voulons calculer la VaR.
\end_layout

\begin_layout Exercise
Pour tout entier 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\N^{*}$
\end_inset

, nous tirons 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$
\end_inset

 i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(1;1)$
\end_inset

 et nous construisons la fonction de répartition empirique
\begin_inset Formula 
\[
F_{n}\,:\,t\in\R\mapsto F_{n}(t)=\frac{\#\{i\in\{1,2,\dots,n\}\,:\,X_{i}\leq t\}}{n}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que pour tout 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\R$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F_{n}(t)\convps F(t)$
\end_inset

, où 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 est la fonction de répartition de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Notons, pour tout 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
Z_{n}=\inf\{t\,:\,F_{n}(-t)\leq p\}\,.
\]

\end_inset

Montrer que 
\begin_inset Formula $Z_{n}\convps x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Proposer un programme calculant 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 de manière approchée.
 Indice
\begin_inset space ~
\end_inset

: pour ordonner un vecteur de nombres 
\family typewriter
x
\family default
, éxécuter 
\family typewriter
y=order(x);z=x[y]
\family default
 (
\family typewriter
z
\family default
 contient les valeurs de 
\family typewriter
x
\family default
, triées par ordre croissant).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soient 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$
\end_inset

) des densités.
 Soit 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 la fonction :
\begin_inset Formula 
\[
h(x)=\frac{\sup(f(x),g(x))}{\int_{\mathbb{R}}\sup(f(t),g(t))dt}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
On simule une v.a.
 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 suivant une méthode d' acceptation/rejet.
 On tire 
\begin_inset Formula $X,Y$
\end_inset

 indépendantes respectivement de lois de densité 
\begin_inset Formula $f,g$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $U,V$
\end_inset

 indépendantes uniformes sur 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

 (et indépendantes de 
\begin_inset Formula $X,Y$
\end_inset

) jusqu'à ce que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Uf(X)\leq g(X)$
\end_inset

, auquel cas on prend 
\begin_inset Formula $Z=Y$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
ou 
\begin_inset Formula $Vg(Y)\leq f(Y)$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Uf(X)>g(X)$
\end_inset

, auquel cas on prend 
\begin_inset Formula $Z=X$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Montrer que 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 est de loi de densité 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
On suppose ici que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 densité de la loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 densité de la loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(3/2,1)$
\end_inset

.
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Écrire un programme qui simule des variables aléatoires suivant 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Écrire un programme qui dessine un histogramme empirique de 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On désigne par 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 la densité 
\begin_inset Formula 
\[
f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\1_{\{x>0\}}\,,\,x\in\R.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Pour 
\begin_inset Formula $\lambda>0$
\end_inset

 fixé, trouver une constante 
\begin_inset Formula $c_{\lambda}>1$
\end_inset

 telle que
\begin_inset Formula 
\[
f(x)\leq c_{\lambda}\lambda\exp(-\lambda x)\,,\,x\in\R_{+}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
En déduire une méthode de simulation de la loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 tel que le temps moyen de calcul dans la méthode proposée soit le plus
 petit possible.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Pour 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 donné, on désigne par 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 la fonction
\begin_inset Formula 
\[
f(x)=\1_{[0;a]}(x)\exp(-x)\,,\,x\in\R\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une constante 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $Cf$
\end_inset

 soit une densité.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une constante 
\begin_inset Formula $c_{1}>1$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula 
\[
Cf(x)\leq c_{1}\frac{\1_{[0;a]}(x)}{a}\,,\,x\in\R\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une constante 
\begin_inset Formula $c_{2}>1$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula 
\[
Cf(x)\leq c_{2}\1_{[0;+\infty[}(x)\exp(-x)\,,\,x\in\R\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
On veut mettre en place une méthode de rejet pour simuler la loi densité
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en utilisant la loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $[0;a]$
\end_inset

 ou la loi exponentielle de paramètre 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

.
 Laquelle vaut-il mieux choisir ? Coder la méthode.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On souhaite simuler suivant la loi de densité
\begin_inset Formula 
\[
f\,:\,x\in\R\mapsto\frac{1}{Z}\exp(-x^{2})\1_{x\geq1}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $Z=\int_{1}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une densité 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 (suivant laquelle on sait simuler) et une constante 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 telles que 
\begin_inset Formula $f\leq Cg$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Soit 
\begin_inset Formula $X\sim\mathcal{N}(0,1/2)$
\end_inset

.
 Montrer que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est la densité de la loi de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 sachant 
\begin_inset Formula $X\geq1$
\end_inset

 (on pourra calculer l'espérance sur une fonction test).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Coder la simulation de la loi de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 (suivant la méthode du rejet basée sur 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soit 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable aléatoire admettant pour fonction de répartition 
\begin_inset Formula 
\[
F(x)=(1-\exp(-\alpha x^{\beta}))\1_{[0;+\infty[}(x)\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 des paramètres 
\begin_inset Formula $>0$
\end_inset

.
 Expliciter la densité de la loi de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 et proposer une méthode de simulation de cette loi.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soit 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une loi géométrique de paramètre 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\p(X=k)=p(1-p)^{k-1}\,,\,\mbox{pour }k\in\N^{*}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Rappeler la méthode classique de simulation de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 à l’aide de tirages à pile ou face.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Donner une autre méthode de simulation de cette loi utilisant la fonction
 de répartition.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Comment comparer l’efficacité des 2 méthodes ?
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soit 
\begin_inset Formula $n\in\N^{*}$
\end_inset

.
 Soient 
\begin_inset Formula $U_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $U_{2}$
\end_inset

, …, 
\begin_inset Formula $U_{n}$
\end_inset

 des variables i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

.
 On note 
\begin_inset Formula $(V_{1},\dots,V_{n})$
\end_inset

 la variable aléatoire telle que, pour tout 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{V_{1}(\omega),\dots,V_{n}(\omega)\}=\{U_{1}(\omega),\dots,U_{n}(\omega)\}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $V_{1}(\omega)\leq V_{2}(\omega)\leq\dots\leq V_{n}(\omega)$
\end_inset

 (c'est une remise en ordre des variables 
\begin_inset Formula $U_{1},\dots,U_{n}$
\end_inset

).
 Le vecteur aléatoire 
\begin_inset Formula $(V_{1},\dots,V_{n})$
\end_inset

 est appelé 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
statistique d'ordre
\end_layout

\end_inset

statistique d'ordre uniforme sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

.
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\#$"
description "Cardinal"

\end_inset

 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Soit 
\begin_inset Formula $C_{n}=\{(v_{1},\dots,v_{n})\in[0;1]\,:\,v_{1}\leq v_{2}\leq\dots\leq v_{n}\}$
\end_inset

.
 Montrer que la densité de la loi de 
\begin_inset Formula $(V_{1},\dots,V_{n})$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula 
\[
(v_{1},\dots,v_{n})\in\R^{n}\mapsto n!\times\1_{C_{n}}(v_{1},\dots,v_{n})\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Soient 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots,X_{n},X_{n+1}$
\end_inset

 des variables i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{E}(1)$
\end_inset

.
 Montrer que 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n+1}},\frac{X_{1}+X_{2}}{X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n+1}},\dots,\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n+1}}\right)
\]

\end_inset

a même loi que 
\begin_inset Formula $(V_{1},\dots,V_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Chapter
Réduction 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "chap:Réduction-de-variance"

\end_inset

de variance
\end_layout

\begin_layout Standard
Nous avons vu au chapitre 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "chap:Introduction"

\end_inset

 (section 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "subsec:Vitesse-de-convergence"

\end_inset

) que si nous calculons une quantité 
\begin_inset Formula $\E(X)$
\end_inset

 par la méthode de Monte-Carlo, c'est à dire si nous approchons 
\begin_inset Formula $\E(X)$
\end_inset

 par une moyenne empirique 
\begin_inset Formula $\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

), alors l'erreur 
\begin_inset Formula $\left|\E(X)-\frac{X_{1}+\dots+X_{n}}{n}\right|$
\end_inset

 est d'ordre 
\begin_inset Formula $\sigma/\sqrt{n}$
\end_inset

, où 
\begin_inset Formula $\sigma^{2}=\var(X)$
\end_inset

.
 Nous allons présenter ici des méthodes qui permettent d'écrire 
\begin_inset Formula $\E(X)=\E(Y)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $\var(Y)\leq\var(X)$
\end_inset

.
 Ces méthodes sont dites 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

de réduction de variance
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Échantillonage préférentiel (
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

importance sampling
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 en anglais)
\end_layout

\begin_layout Standard
Nous cherchons à calculer 
\begin_inset Formula $\E(g(X))$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 variable à valeurs dans 
\begin_inset Formula $\R^{d}$
\end_inset

 , de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Pour toute densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}>0$
\end_inset

, nous pouvons écrire 
\begin_inset Formula 
\[
\E(g(X))=\int_{\R^{d}}g(x)f(x)dx=\int_{\R^{d}}\frac{g(x)f(x)}{\widetilde{f}(x)}\widetilde{f}(x)dx=\E\left(\frac{g(Y)f(Y)}{\widetilde{f}(Y)}\right)\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 de densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

.
 Nous avons donc deux méthodes de Monte-Carlo pour approcher 
\begin_inset Formula $\E(g(X))$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\E(g(X))\approx\frac{g(X_{1})+\dots+g(X_{n})}{n}\,,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\E(g(X))\approx\frac{1}{n}\left(\frac{g(Y_{1})f(Y_{1})}{\widetilde{f}(Y_{1})}+\dots+\frac{g(Y_{n})f(Y_{n})}{\widetilde{f}(Y_{n})}\right)\,,
\]

\end_inset

avec des 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, des 
\begin_inset Formula $Y_{1},Y_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
 La deuxième méthode est plus intéressante que la première si 
\begin_inset Formula $\var\left(\frac{g(Y)f(Y)}{\widetilde{f}(Y)}\right)\leq\var(g(X))$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Supposons 
\begin_inset Formula $g\geq0$
\end_inset

 et choisissons 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}:x\mapsto\frac{g(x)f(x)}{\E(g(X))}$
\end_inset

 (c'est bien une densité de probabilité), nous avons alors
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\var\left(\frac{g(Y)f(Y)}{\widetilde{f}(Y)}\right) & = & \E\left(\left(\frac{g(Y)f(Y)}{\widetilde{f}(Y)}\right)^{2}\right)-\left(\E\left(\frac{g(Y)f(Y)}{\widetilde{f}(Y)}\right)\right)^{2}\\
 & = & \int_{\R^{d}}\frac{g(u)^{2}f(u)^{2}}{g(u)^{2}f(u)^{2}}(\E(g(X)))^{2}\widetilde{f}(u)du-\left(\int_{\R^{d}}\E(g(X))\widetilde{f}(u)du\right)^{2}\\
 & = & (\E(g(X)))^{2}-(\E(g(X)))^{2}=0\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nous avons donc ici une méthode de Monte-Carlo de variance nulle, ce qui
 semble n'avoir aucun sens.
 En fait, la variance de cette méthode n'a pas d'intérêt car cette méthode
 n'est pas implémentable.
 En effet, il faudrait pour cela savoir simuler suivant la densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

, mais l'expression de 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

 contient la constante 
\begin_inset Formula $\E(g(X))$
\end_inset

, que nous ne connaissons pas.
\end_layout

\begin_layout Standard
La discussion ci-dessus nous donne une idée d'une démarche à suivre pour
 réduire la variance.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une fonction 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}_{1}$
\end_inset

 proche de 
\begin_inset Formula $|f\times g|$
\end_inset

 
\bar under
et
\bar default
 telle que l'on sache simuler suivant la densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}=\widetilde{f}_{1}/\int_{\R^{d}}\widetilde{f}_{1}(x)dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Soit 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 variable aléatoire de densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

.
 Comparer 
\begin_inset Formula $\var(g(X))$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\var(g(Y)f(Y)/\widetilde{f}(Y))$
\end_inset

 (il faut en général approcher ces variables par un estimateur, voir par
 exemple le lemme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "lem:estimateur-variance"

\end_inset

 à ce sujet).
\end_layout

\begin_layout Standard
La fonction 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

 s'appelle la fonction d'importance
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Fonction d'importance
\end_layout

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Example
On cherche à calculer 
\begin_inset Formula $I=\int_{0}^{1}\cos(\pi x/2)dx$
\end_inset

 par une méthode de Monte-Carlo.
 On peut approcher 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 par
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
I\approx\frac{\cos(\pi U_{1}/2)+\dots+\cos(\pi U_{n}/2)}{n}\,,\label{eq:meth-01}
\end{equation}

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 (toujours pour 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset


\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 grand
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

).
 Si nous reprenons les notations ci-dessus, nous avons 
\begin_inset Formula $g(x)=\cos(\pi x/2)$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $f(x)=1$
\end_inset

 (pour 
\begin_inset Formula $x\in[0;1]$
\end_inset

).
 Soit 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}_{1}(x)=1-x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\widetilde{f}(x)=\frac{1-x}{(1/2)}\,.
\]

\end_inset

La fonction 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}_{1}$
\end_inset

 est (grossièrement) proche de 
\begin_inset Formula $g\times f$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula $1-\sqrt{U}$
\end_inset

 est de loi de densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

 (nous trouvons ce résultat par la méthode d'inversion de la fonction de
 répartition, voir chapitre 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "chap:Simulation-de-variables"

\end_inset

).
 Donc nous savons simuler suivant la loi de densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

.
 Dans le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Échantillonage-d'importance"

\end_inset

, nous estimons les variances des deux méthodes.
 Nous trouvons 
\begin_inset Formula $\approx1.10^{-1}$
\end_inset

 pour la méthode de l'équation (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:meth-01"

\end_inset

) ci-dessus et 
\begin_inset Formula $7.10^{-3}$
\end_inset

 pour la méthode d'échantillonage d'importance par 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

.
 La variance est donc réduite.
 
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
simu<-function(t) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

return(1-sqrt(u)) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u1=cos(pi*u/2) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v1=cos(pi*v/2) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s+(u1-v1)^2 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=s/(2*n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

cat("Variance de la première méthode : ",s)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=simu(1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v1=cos(pi*v/2)/(2*(1-v)) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

w=simu(1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

w1=cos(pi*w/2)/(2*(1-w)) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s+(v1-w1)^2 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=s/(2*n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

cat("Variance de la méthode d'échantillonage préférentiel : ",s
\family default
)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Comparaison de variances
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Échantillonage-d'importance"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Variable de contrôle
\end_layout

\begin_layout Standard
Supposons que l'on veuille calculer 
\begin_inset Formula $\E(f(X))$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable aléatoire.
 La première méthode consiste à faire l'approximation
\begin_inset Formula 
\[
\E(f(X))\approx\frac{f(X_{1})+\dots+f(X_{n})}{n}
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 (toujours pour 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset


\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 grand
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

).
 Si on sait calculer 
\begin_inset Formula $\E(h(X))$
\end_inset

 pour une certaine fonction 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, alors on peut aussi faire l'approximation
\begin_inset Formula 
\[
\E(f(X))\approx\frac{(f(X_{1})-h(X_{1}))+\dots+(f(X_{n})-h(X_{n}))}{n}+\E(h(X))\,.
\]

\end_inset

Il faut ensuite comparer les variances pour savoir quelle est la méthode
 la plus avantageuse.
 Dans le cas de la deuxième méthode, l'erreur est 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\E(f(X))-\left(\frac{(f(X_{1})-h(X_{1}))+\dots+(f(X_{n})-h(X_{n}))}{n}+\E(h(X))\right)\\
=\E(f(X)-h(X))-\frac{(f(X_{1})-h(X_{1}))+\dots+(f(X_{n})-h(X_{n}))}{n}\,.
\end{multline*}

\end_inset

Elle est d'ordre de grandeur 
\begin_inset Formula $\var(f(X)-h(X))^{1/2}/\sqrt{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

 La méthode est donc la suivante.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Trouver une fonction 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 proche de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 
\bar under
et
\bar default
 telle que l'on sache calculer 
\begin_inset Formula $\E(h(X))$
\end_inset

 (le fait que 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 soit proche de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 devrait faire en sorte que 
\begin_inset Formula $\var(f(X)-h(X))$
\end_inset

 est petite).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Estimer les variances 
\begin_inset Formula $\var(f(X))$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\var(f(X)-h(X))$
\end_inset

, et les comparer.
 
\end_layout

\begin_layout Example
On chercher à calculer 
\begin_inset Formula $I=\int_{0}^{1}\exp(x^{2})dx$
\end_inset

 par une méthode de Monte-Carlo.
 Nous avons 
\begin_inset Formula $I=\E(e^{U^{2}})$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

.
 Donc nous pouvons faire l'approximation 
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{e^{U_{1}^{2}}+\dots+e^{U_{n}^{2}}}{n}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d., 
\begin_inset Formula $\simU$
\end_inset

 (toujours pour 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset


\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 grand
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

).
 Nous avons donc une première méthode de Monte-Carlo.
 Avec les notations ci-dessus, nous avons 
\begin_inset Formula $f(x)=\exp(x^{2})$
\end_inset

.
 Remarquons que 
\begin_inset Formula $h:x\mapsto1+x^{2}$
\end_inset

 est proche de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $[0;1]$
\end_inset

 (c'est le débit du développement limité de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

).
 Nous savons calculer 
\begin_inset Formula 
\[
\E(h(U))=\int_{0}^{1}1+x^{2}dx=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\,.
\]

\end_inset

Nous pouvons faire l'approximation
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{\left(e^{U_{1}^{2}}-1-U_{1}^{2}\right)+\dots+\left(e^{U_{n}^{2}}-1-U_{n}^{2}\right)}{n}+\E(h(U))\,.
\]

\end_inset


\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
n=5000
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s+(exp(u*u)-exp(v*v))^2 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=s/(2*n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

cat("Variance de la première méthode : ",s) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s+(exp(u*u)-1-u*u-exp(v*v)+1+v*v)^2 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

s=s/(2*n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

cat("Variance de la méthode de variable de contrôle : ",s)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Variable de contrôle
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Variable-de-contrôle."

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset

Nous estimons les deux variances dans le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Variable-de-contrôle."

\end_inset

.
 La variance est réduite d'un facteur 
\begin_inset Formula $10$
\end_inset

 grâce à cette méthode.
\end_layout

\begin_layout Section
Variables antithétiques
\end_layout

\begin_layout Standard
Supposons que l'on cherche à calculer 
\begin_inset Formula $I=\int_{[0;1]^{d}}f(u_{1},\dots,u_{d})du_{1}\dots du_{d}$
\end_inset

 (une intégrale sur l'hypercube de dimension 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

).
 Nous avons 
\begin_inset Formula $I=\E(f(U))$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $U=(U_{1},\dots,U_{d})$
\end_inset

 variable aléatoire dont les composantes sont indépendantes et de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

.
 Nous pouvons utiliser l'approximation 
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{f(X_{1})+\dots+f(X_{n})}{n}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

.
 Nous avons 
\begin_inset Formula $(1,\dots,1)-U\overset{\mbox{loi}}{=}U$
\end_inset

.
 Alors
\begin_inset Formula 
\[
I=\E\left(\frac{f((1,\dots,1)-U)+f(U)}{2}\right)\,,
\]

\end_inset

 ce qui nous donne l'idée d'une deuxième approximation
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{f((1,1,\dots,1)-X_{i})+f(X_{i})}{2}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
Sous les hypothèses ci-dessus, 
\begin_inset Formula $\var\left(\frac{f((1,\dots,1)-U)+f(U)}{2}\right)\leq\var(f(U))$
\end_inset

.
 (La variance est donc toujours réduite.)
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\var\left(\frac{f((1,\dots,1)-U)+f(U)}{2}\right)\\
=\E\left(\left(\frac{f((1,\dots,1)-U)+f(U)}{2}\right)^{2}\right)-\E\left(\frac{f((1,\dots,1)-U)+f(U)}{2}\right)^{2}\\
=\frac{1}{4}\E(f((1,\dots,1)-U)^{2})+\frac{1}{4}\E(f(U)^{2})+\frac{1}{2}\E(f((1,\dots,1)-U)f(U))-\E(f(U))^{2}\\
\mbox{(Cauchy-Schwarz)}\\
\leq\frac{1}{4}\E(f((1,\dots,1)-U)^{2})+\frac{1}{4}\E(f(U)^{2})+\frac{1}{2}\E(f((1,\dots,1)-U)^{2})^{1/2}\E(f(U)^{2})^{1/2}-\E(f(U))^{2}\\
=\var(f(U))\,.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Remark
Le même résultat est encore valable si on remplace 
\begin_inset Formula $[0;1]^{d}$
\end_inset

 par un domaine quelconque 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\R^{d}$
\end_inset

, si on remplace 
\begin_inset Formula $(u_{1},\dots,u_{d})\in[0;1]^{d}\mapsto(1-u_{1},\dots,1-u_{d})\in[0;1]^{d}$
\end_inset

 par une transformation bijective 
\begin_inset Formula $\varphi:A\rightarrow A$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $|\det(\jac\varphi)(x)|=1$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\forall x$
\end_inset

) et si 
\begin_inset Formula $f(\varphi(x))=f(x)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x\in A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Méthode de stratification
\end_layout

\begin_layout Standard
On veut calculer une intégrale de la forme 
\begin_inset Formula $I=\E(g(X))$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 variable de densité 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sur un ensemble 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 (par exemple par rapport à la mesure de Lebesgue).
 Cette écriture nous donne l'idée d'une première méthode de Monte-Carlo
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{g(X_{1})+\dots+g(X_{n})}{n}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $X_{1},X_{2},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 L'erreur commise 
\begin_inset Formula $I-\frac{g(X_{1})+\dots+g(X_{n})}{n}$
\end_inset

 est approximativement de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,\sigma^{2}/n)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $\sigma=\var(g(X))$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Supposons que 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 est partitionné en 
\begin_inset Formula $D_{1},D_{2},\dots,D_{m}$
\end_inset

 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Partition.
\end_layout

\end_inset

(ce que nous noterons 
\begin_inset Formula $D=\bigsqcup_{1\leq i\leq m}D_{i}$
\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\bigsqcup$"
description "Partition"

\end_inset

).
 Nous décomposons 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 en
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I=\sum_{i=1}^{m}p_{i}I_{i}
\]

\end_inset

avec pour tout 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $I_{i}=\E(g(X)|X\in D_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{i}=\p(X\in D_{i})$
\end_inset

 
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\p$"
description "Probabilité"

\end_inset

(nous avons 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}p_{i}=1$
\end_inset

).
 Nous supposons que nous savons simuler suivant la loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}(X|X\in D_{i})$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 et que tous les 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 sont connus.
 Pour chaque 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, nous pouvons approcher 
\begin_inset Formula $I_{i}$
\end_inset

 par une méthode de Monte-Carlo à 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 tirages
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I_{i}\approx\widehat{I}_{i}=\frac{g(X_{1}^{(i)})+\dots+g(X_{n_{i}}^{(i)})}{n_{i}}\,,
\]

\end_inset

avec des variables 
\begin_inset Formula $X_{1}^{(i)},X_{2}^{(i)},\dots$
\end_inset

 i.i.d.
 
\begin_inset Formula $\sim\mathcal{L}(X|X\in D_{i})$
\end_inset

.
 Chacune de ces approximations a un coût numérique 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 (puisqu'on fait 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 boucles pour calculer la somme ci-dessus).
 Nous en déduisons une deuxième approximation
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I\approx p_{1}\widehat{I}_{1}+\dots+p_{m}\widehat{I}_{m}\,.
\]

\end_inset

L'erreur commise se décompose dans ce cas en une somme d'erreur
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
I-(p_{1}\widehat{I}_{1}+\dots+p_{m}\widehat{I}_{m})=\sum_{i=1}^{m}p_{i}(I_{i}-\widehat{I}_{i})\,.
\]

\end_inset

Dans cette somme, chacun des termes est (approximativement) de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}/n_{i})$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{i}^{2} & = & \var(g(X)|X\in D_{i})\\
 & = & \E((g(X)-\E(g(X)|X\in D_{i}))^{2}|X\in D_{i})\\
 & = & \frac{\E((g(X)-\E(g(X)|X\in D_{i}))^{2}\1_{\{X\in D_{i}\}})}{p_{i}}\\
 & = & p_{i}^{-1}\E(g(X)^{2}\1_{\{X\in D_{i}\}})+p_{i}^{-1}\E(g(X)|X\in D_{i})^{2}\E(\1_{\{X\in D_{i}\}})\\
 &  & -2p_{i}^{-1}\E(g(X)|X\in D_{i})\E(g(X)\1_{\{X\in D_{i}\}})\\
 & = & p_{i}^{-1}\E(g(X)^{2}\1_{\{X\in D_{i}\}})-p_{i}^{-2}\E(g(X)\1_{\{X\in D_{i}\}})^{2}\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

 Donc l'erreur 
\begin_inset Formula $ $
\end_inset

est (approximativement) de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,\sum_{i=1}^{m}\sigma_{i}^{2}/n_{i})$
\end_inset

.
 Nous voulons que cette erreur soit la plus petite possible donc nous voulons
 minimiser la variance 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}/n_{i}$
\end_inset

.
 Comme nous voulons pouvoir faire une comparaison avec la première méthode,
 nous ajoutons la contrainte 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}n_{i}=n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Lemma
Soit 
\begin_inset Formula $S=\{(x_{1},\dots,x_{m})\in\R_{+}^{m}:x_{1}+\dots+x_{m}=n\}$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula 
\[
f:x=(x_{1},\dots,x_{m})\in S\mapsto\sum_{i=1}^{m}\frac{p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}}{x_{i}}\,.
\]

\end_inset

Alors 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 atteint son minimum en 
\begin_inset Formula $n\left(\frac{p_{1}\sigma_{1}}{p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m}},\dots,\frac{p_{m}\sigma_{m}}{p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m}}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
L'ensemble 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 est la surface 
\begin_inset Formula $\{x\in\R^{m}:g(x)=n\}$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $g:x=(x_{1},\dots,x_{m})\in\R^{m}\mapsto x_{1}+\dots+x_{m}$
\end_inset

 (plus précisément, l'intersection de cette surface avec 
\begin_inset Formula $\R_{+}^{m}$
\end_inset

).
 Nous commençons par chercher les points critiques de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 (voir le cours d'optimisation pour les détails de la démonstration qui
 va suivre).
 Ce sont les points 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $\nabla f(x)$
\end_inset

 est colinéaire à 
\begin_inset Formula $\nabla g(x)$
\end_inset

 (nous notons 
\begin_inset Formula $\nabla$
\end_inset

 pour le gradient
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\nabla$"
description "Gradient"

\end_inset

).
 Nous avons
\begin_inset Formula 
\[
\nabla f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_{m}}(x)\right)=\left(\frac{-p_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}}{x_{1}^{2}},\dots,\frac{-p_{m}^{2}\sigma_{m}^{2}}{x_{m}^{2}}\right)\,\text{,}
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\nabla g(x)=(1,1,\dots,1)\,.
\]

\end_inset

Donc nous cherchons 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\lambda\in\R$
\end_inset

 tels que, pour tout 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,m\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{-p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}}{x_{i}^{2}}=\lambda$
\end_inset

.
 L'unique solution est 
\begin_inset Formula $x_{i}=n\frac{p_{i}\sigma_{i}}{p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m}}$
\end_inset

, pour tout 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

.
 La fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est convexe (sur 
\begin_inset Formula $\R_{+}^{m}$
\end_inset

) donc ce point critique est un minimum.
 Comme il est l'unique point critique alors, c'est un minium absolu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Comme nous voulons des 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 entiers, nous prenons 
\begin_inset Formula $n_{i}=\left\lfloor n\frac{p_{i}\sigma_{i}}{p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m}}\right\rfloor $
\end_inset

, pour tout 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 (rappel
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $\lfloor x\rfloor=\inf\{n\in\Z:n\leq x\}$
\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\lfloor \\dots \\rfloor$"
description "Partie entière inférieure\\\\"

\end_inset

).
 Dans la pratique, il faudra donc estimer les 
\begin_inset Formula $\sigma_{i}$
\end_inset

 et les 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 (par une méthode de Monte-Carlo).
 Si oublie les parties entières, la deuxième méthode est de variance 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{m}\frac{p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}}{n_{i}}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}\frac{(p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m})}{np_{i}\sigma_{i}}=\frac{(p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m})^{2}}{n}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
Nous avons 
\begin_inset Formula 
\[
\sigma^{2}\geq(p_{1}\sigma_{1}+\dots+p_{m}\sigma_{m})^{2}.
\]

\end_inset

 (La variance est donc bien réduite par la stratification.)
\end_layout

\begin_layout Proof
Nous avons 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\var(g(X)) & = & \E\left(\left(\sum_{i=1}^{m}g(X)\1_{\{X\in D_{i}\}}\right)^{2}\right)-\E(g(X))^{2}\\
\mbox{(les \ensuremath{D_{i}} partitionnent \ensuremath{D})} & = & \E\left(\sum_{i=1}^{m}g(X)^{2}\1_{\{X\in D_{i}\}}\right)-\left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}\E(g(X)|X\in D_{i})\right)^{2}\\
 & = & \sum_{i=1}^{m}\left\{ p_{i}\E(g(X)^{2}|X\in D_{i})-p_{i}\E(g(X)|X\in D_{i})^{2}\right\} \\
 &  & +\sum_{i=1}^{m}\left\{ p_{i}\E(g(X)|X\in D_{i})^{2}\right\} -\left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}\E(g(X)|X\in D_{i})\right)^{2}
\end{eqnarray*}

\end_inset

Rappelons que pour 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{m}\in\R$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}\in\R_{+}$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}=1$
\end_inset

, nous avons
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}x_{i}^{2}\geq\left(\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}x_{i}\right)^{2}\label{eq:convexite-carre}
\end{equation}

\end_inset

(c'est l'inégalité de convexité pour la fonction carré).
 Donc
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\var(g(X)) & \geq & \sum_{i=1}^{m}\left\{ p_{i}\E(g(X)^{2}|X\in D_{i})-p_{i}\E(g(X)|X\in D_{i})^{2}\right\} \\
\mbox{(encore (\ref{eq:convexite-carre}))} & \geq & \left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}(\E(g(X)^{2}|X\in D_{i})-\E(g(X)|X\in D_{i})^{2})^{1/2}\right)^{2}\\
 & = & \left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}\sigma_{i}\right)^{2}\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Valeur moyenne ou conditionnement
\end_layout

\begin_layout Standard
On cherche à calculer une intégrale de la forme 
\begin_inset Formula 
\[
I=\E(g(X,Y))=\int g(x,y)f(x,y)dxdy
\]

\end_inset

où 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est la densité du couple 
\begin_inset Formula $(X,Y)$
\end_inset

.
 Cette écriture nous donne l'idée d'une première approximation
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g(X_{i},Y_{i})
\]

\end_inset

avec des 
\begin_inset Formula $(X_{i},Y_{i})$
\end_inset

 i.i.d.
 de même loi que 
\begin_inset Formula $(X,Y)$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $h(x)=\frac{1}{m(x)}\int g(x,y)f(x,y)dy$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $m(x)=\int f(x,y)dy$
\end_inset

.
 Nous avons
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(h(X)) & = & \int_{x,y}h(x)f(x,y)dxdy\\
 & = & \int_{x,y}\frac{1}{\int_{u}f(x,u)du}\left(\int_{v}g(x,v)f(x,v)dv\right)f(x,y)dy\\
\mbox{(Fubini)} & = & \int_{v,x}g(x,v)f(x,v)\frac{\int_{y}f(x,y)dy}{\int_{u}f(x,u)du}dxdv\\
 & = & \int_{v,x}g(x,v)f(x,v)dxdv\\
 & = & \E(g(X,Y))\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Supposons que nous savons calculer 
\begin_inset Formula $h(x)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Nous avons alors l'idée d'une deuxième approximation
\begin_inset Formula 
\[
I\approx\frac{h(X_{1})+\dots+h(X_{n})}{n}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
Nous avons 
\begin_inset Formula 
\[
\var(h(X))\leq\var(g(X,Y))\,.
\]

\end_inset

 (Donc la méthode de la valeur moyenne réduit la variance.)
\end_layout

\begin_layout Proof
Nous savons que 
\begin_inset Formula $\E(h(X))=\E(g(X,Y))$
\end_inset

 donc pour comparer 
\begin_inset Formula $\var(h(X))$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\var(g(X,Y))$
\end_inset

, il suffit de comparer 
\begin_inset Formula $\E(h(X)^{2})$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\E(g(X,Y)^{2})$
\end_inset

.
 Nous avons
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\E(h(X)^{2}) & = & \int_{x,y}h(x)^{2}f(x,y)dxdy\\
 & = & \int_{x,y}\left(\frac{\int_{v}g(x,v)f(x,v)dv}{\int_{u}f(x,u)du}\right)^{2}f(x,y)dxdy\\
\mbox{(Cauchy-Schwarz)} & \leq & \int_{x,y}\frac{\int_{v}g(x,v)^{2}f(x,v)dx}{\int_{u}f(x,u)du}f(x,y)dxdy\\
\mbox{(Fubini)} & = & \int_{x,v}\frac{g(x,v)^{2}f(x,v)}{\int_{u}f(x,u)du}\left(\int_{y}f(x,y)dy\right)dxdv\\
 & = & \int_{x,v}g(x,v)^{2}f(x,v)dxdv\\
 & = & \E(g(X,Y)^{2})\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Donc 
\begin_inset Formula $\var(h(X))\leq\var(g(X,Y))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Exercices
\end_layout

\begin_layout Exercise
Cet exercice est inspiré par l'exercice 1.7 de 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "pardoux-2008"

\end_inset

.
 On veut calculer
\begin_inset Formula 
\[
I=\mathbb{E}(\1_{X>0}e^{\beta X})\,,
\]

\end_inset

 où 
\begin_inset Formula $X\sim\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\beta=5$
\end_inset

.
 On estimera la variance à chaque étape de l'exercice.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer (par Monte-Carlo) la variance de la méthode 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

naïve
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 (quand on tire des 
\begin_inset Formula $X_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

,… i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}(0,1)$
\end_inset

 et que l'on approche 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 par 
\begin_inset Formula $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mbox{\textbf{1}}_{X_{i}>0}e^{\beta X_{i}}$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode d'échantillonage préférentiel.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode de variable de contrôle.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Améliorer la méthode à l'aide d'une technique de variable antithétique.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
On s'intéresse au programme suivant.
\begin_inset Float algorithm
placement H
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
n=1000
\begin_inset Newline newline
\end_inset

 s=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (i in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=rnorm(1,0,1) #tire une variable N(0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

s=s+sqrt(abs(u)) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

} 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

print(s/n)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout

\family roman
Boucle de Monte-Carlo
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

On note 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 le résultat affiché par l'algorithme.
 Quelle est la quantité 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 approchée par 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 ?
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:Écrire-un-programme"

\end_inset

Écrire un programme qui estime la variance de la méthode ci-dessus.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode de réduction de variance pour le calcul de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Écrire un programme qui implémente cette nouvelle méthode.
 Écrire un programme qui estime la nouvelle variance (elle soit être plus
 petite que la variance de la question 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "enu:Écrire-un-programme"

\end_inset

).
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On veut calculer 
\begin_inset Formula $p_{l}=\p(X\in[l;l+1])$
\end_inset

 pour 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 une variable exponentielle de paramètre 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $l\geq0$
\end_inset

.
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode de Monte-Carlo pour calculer 
\begin_inset Formula $p_{l}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer la variance de cette méthode.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Proposer une méthode d'échantillonage préférentiel (par exemple
\begin_inset space ~
\end_inset

: telle que les nouveaux tirages soient tous dans 
\begin_inset Formula $[l;l+1]$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer la variance de cette méthode.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Comparer les variances des deux méthodes quand 
\begin_inset Formula $l\rightarrow+\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Recommencer avec 
\begin_inset Formula $X\sim\mathcal{N}(0;1)$
\end_inset

.
 On pourra comparer les variances entre les cas suivants
\begin_inset space ~
\end_inset

: densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

 uniforme sur 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

 et densité 
\begin_inset Formula $\widetilde{f}$
\end_inset

 de la loi exponentielle conditionnée à tomber dans 
\begin_inset Formula $[l;l+1]$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Recyclage dans la méthode du rejet
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Méthode de rejet
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On veut évaluer par une méthode de Monte-Carlo
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\R}f(x)p(x)dx
\]

\end_inset

(où 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 est une densité de probabilité).
 On fixe un entier 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 On simule 
\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
\end_inset

 de densité 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 par la méthode du rejet (basée sur une inégalité 
\begin_inset Formula $p\leq Mq$
\end_inset

).
 On doit donc simuler un nombre aléatoire 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 de variables aléatoires 
\begin_inset Formula $Y_{i}$
\end_inset

 de densité 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Parmi celles-ci, notons 
\begin_inset Formula $Z_{1},\dots,Z_{N-n}$
\end_inset

 les variables 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 qui sont rejetées, c'est à dire telles que
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
p(Y_{i})\leq MU_{i}q(Y_{i})\,.
\]

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Quelle est la loi de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

?
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Quelle est la loi de 
\begin_inset Formula $Z_{1},\dots,Z_{N-n}$
\end_inset

 conditionnellement à 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

?
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrez que
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^{n}f(X_{i})+\sum_{i=1}^{N-n}\frac{(M-1)p(Z_{i})}{(Mq-p)(Z_{i})}f(Z_{i})\right)
\]

\end_inset

 est un estimateur sans biais de 
\begin_inset Formula $E(f(X_{i}))$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Chapter
Méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov
\end_layout

\begin_layout Standard
Dans tout ce chapitre, on suppose que l'on est dans un espace 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 fini.
 Les algorithmes décrits fonctionnent aussi dans le cas 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 dénombrable.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Rappels sur les chaînes de Markov
\end_layout

\begin_layout Theorem
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

[Théorème ergodique]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Théorème ergodique
\end_layout

\end_inset

Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 un noyau de Markov irréductible (sur E).
 Alors, il existe une probabilité 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-invariante 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

 et de plus
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

 est l'unique probabilité 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-invariante.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Tous les états sont récurrents (pour 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(\overline{X}_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 est une chaîne de Markov de loi initiale 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

 et de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 alors
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{n}f(\overline{X}_{p})\convps\int f(x)\pi_{0}(dx)\,,
\]

\end_inset

pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 qui est 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

-intégrable.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 est une chaîne de Markov de loi initiale 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 quelconque et de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{n}f(X_{p})\convps\int f(x)\pi_{0}(dx)\,,
\]

\end_inset

pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 qui est 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

-intégrable.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Ce théorème nous permet d'approcher une intégrale par une moyenne empirique.
 Ici, la suite des 
\begin_inset Formula $(X_{p})$
\end_inset

 n'est pas i.i.d.
 mais est une chaîne de Markov.
 On parle alors de méthode de Monte-Carlo par chaîne de Markov (
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

MCMC
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
MCMC
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 pour 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

Monte Carlo Markov Chain
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 en anglais).
\end_layout

\begin_layout Definition
Si 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 une probabilité sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 vérifie 
\begin_inset Formula $\pi(x)Q(x,y)=\pi(y)Q(y,x)$
\end_inset

 pour tous 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

, alors 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est dite symétrique
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Symétrique
\end_layout

\end_inset

 (par rapport à 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

) ou 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-symétrique.
 
\begin_inset Formula $ $
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "lem:sym->inv"

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-symétrique, alors elle est 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Invariante
\end_layout

\end_inset

invariante.
\end_layout

\begin_layout Proof
Pour tout 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
(\pi Q)(y) & = & \sum_{x\in E}\pi(x)Q(x,y)\\
\mbox{(symétrie)} & = & \sum_{x\in E}\pi(y)Q(y,x)\\
 & = & \pi(y)\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

-symétrique, on dit que la chaîne 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 de loi initiale 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 et transition 
\end_layout

\end_inset

Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 un noyau de Markov.
 Pour 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\N^{*}$
\end_inset

, on note 
\begin_inset Formula 
\[
Q^{n}(x,y)=\sum_{x_{1},\dots,x_{n-1}}Q(x,x_{1})Q(x_{1},x_{2})\dots Q(x_{n-1},y)\,.
\]

\end_inset

Pour 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, on note
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$:=$"
description "Définition"

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
d(x):=PGCD\{n:Q^{n}(x,x)>0\}\,.
\]

\end_inset

 Un élément 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 est dit 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Apériodique
\end_layout

\end_inset

apériodique si 
\begin_inset Formula $d(x)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Example
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "exa:marche-simple"

\end_inset


\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Marche simple dans 
\begin_inset Formula $\Z$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Marche simple dans 
\begin_inset Formula $\Z$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 noyau de Markov de 
\begin_inset Formula $\Z$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\Z$
\end_inset

 donné par 
\begin_inset Formula 
\[
Q(x,x+1)=\frac{1}{2}\,,\,Q(x,x-1)=\frac{1}{2}\,,\,\forall x\,.
\]

\end_inset

Pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q^{2}(x,x)=\p(X_{2}=x|X_{0}=x)$
\end_inset

 (où 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 chaîne de Markov de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

).
 Nous avons donc
\begin_inset Formula 
\[
Q^{2}(x,x)\geq\p(X_{2}=x,X_{1}=x+1|X_{0}=x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}>0\,.
\]

\end_inset

Par ailleurs, si 
\begin_inset Formula $Q^{n}(x,x)>0$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 est pair (on fait forcément un nombe pair de pas pour aller de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 à 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

).
 Donc 
\begin_inset Formula $d(x)=2$
\end_inset

.
 Donc 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 n'est pas apériodique.
\end_layout

\begin_layout Definition
Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 un noyau de Markov.
 Si tous les 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 sont apériodique alors 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est dit apériodique.
\end_layout

\begin_layout Lemma
Si 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Irréductible
\end_layout

\end_inset

irréductible, 
\begin_inset Formula $[\exists x\in E$
\end_inset

 qui est apériodique
\begin_inset Formula $]$
\end_inset


\begin_inset Formula $\Rightarrow$
\end_inset


\begin_inset Formula $[$
\end_inset


\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est apériodique
\begin_inset Formula $]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Theorem
Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 un noyau de Markov irréductible et 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 une probabilité invariante par 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 Alors
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est l'unique probabilité invariante,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
tous les états sont récurrents,
\end_layout

\begin_layout Enumerate
si 
\begin_inset Formula $(\overline{X}_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 est une chaîne de Markov de loi initiale 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 et de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $\int_{E}|f(x)|\pi(dx)<\infty$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{n+1}f(\overline{X}_{p})\convps\int_{E}f(x)\pi(dx)\,,
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
pour tout 
\begin_inset Formula $x\in E,$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 est une chaîne de Markov de loi initiale 
\begin_inset Formula $\delta_{x}$
\end_inset

 et de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $\int_{E}|f(x)|\pi(dx)<\infty$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{n+1}f(X_{p})\convps\int_{E}f(x)\pi(dx)\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Theorem
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "thm:vitesse-ergodique"

\end_inset

Supposons que 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est une matrice de transition irréductible, apériodique et admettant une
 probabilité invariante 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

.
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:Il-existe-deux"

\end_inset

Il existe deux réels 
\begin_inset Formula $\alpha\in[0;1[$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M\in\R_{+}$
\end_inset

 tels que pour tout 
\begin_inset Formula $x,y\in E$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
|Q^{n}(x,y)-\pi_{0}(y)|\leq M\alpha^{n}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:Pour-tout-"

\end_inset

Pour toute fonction 
\begin_inset Formula $f:E\rightarrow\R$
\end_inset

, si on appelle 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 une chaîne de Markov de loi initiale 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 quelconque et de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\sqrt{n+1}\left(\frac{1}{n+1}\sum_{p=0}^{n}f(X_{p})-\sum_{y\in E}\pi_{0}(y)f(y)\right)\convloi\mathcal{N}(0,\overline{\sigma}^{2})\,,
\]

\end_inset

avec une variance 
\begin_inset Formula $\overline{\sigma}^{2}<+\infty$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Remark
Dans le cas d'un espace fini ou dénombrable, 
\begin_inset Formula $\int_{x\in E}f(x)\pi(dx)=\sum_{x\in E}f(x)\pi(x)$
\end_inset

 pour toute probabilité 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 et toute fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Remark
Pour toute chaîne 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 vérifiant les hypothèses du théorème ci-dessus, 
\begin_inset Formula $X_{n}\convloi\pi_{0}$
\end_inset

 (c'est le point 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "enu:Il-existe-deux"

\end_inset

).
 Le point 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "enu:Pour-tout-"

\end_inset

 du théorème ci-dessus nous donne une vitesse de convergence pour la convergence
 du théorème ergodique (comme le théorème de la limite centrale nous donne
 la vitesse de convergence de la loi des grands nombres).
\end_layout

\begin_layout Section
Algorithme de Hastings-Metropolis
\end_layout

\begin_layout Standard
On se fixe une loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 suivant laquelle on aimerait simuler ou dont on voudrait calculer une intégrale
 
\begin_inset Formula $\int_{E}f(x)\pi(dx)$
\end_inset

.
 Nous appellerons 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 la 
\emph on
loi cible
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout

\emph off
Loi cible
\end_layout

\end_inset


\emph default
.
 On se donne un noyau de Markov 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 Nous appellerons 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 le 
\emph on
noyau de proposition
\emph default

\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Noyau de proposition
\end_layout

\end_inset

.
 Nous allons construire une chaîne de Markov 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Nous prenons 
\begin_inset Formula $X_{0}=x_{0}$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $\pi(x_{0})>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $X_{n}=x,$
\end_inset

 nous simulons 
\begin_inset Formula $Y_{n+1}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $U_{n+1}$
\end_inset

 indépendants (et indépendants des simulations passées) avec 
\begin_inset Formula 
\[
Y_{n+1}\sim Q(x,.)\,,\,U_{n+1}\sim\mathcal{U}([0;1])\,.
\]

\end_inset

La variable 
\begin_inset Formula $Y_{n+1}$
\end_inset

 s'appelle une 
\emph on
proposition
\emph default

\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Proposition
\end_layout

\end_inset

.
 Posons, pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\alpha(x,y)=\min\left(1,\frac{\pi(y)Q(y,x)}{\pi(x)Q(x,y)}\right)\,.
\]

\end_inset

Alors
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
X_{n+1}=\begin{cases}
Y_{n+1} & \mbox{ si }U_{n+1}\leq\alpha(X_{n},Y_{n+1})\,,\\
X_{n} & \mbox{ sinon .}
\end{cases}
\]

\end_inset

Dans le cas où 
\begin_inset Formula $U_{n+1}\leq\alpha(X_{n},Y_{n+1})$
\end_inset

, on dit qu'on accepte la proposition, et dans le cas contraire on dit qu'on
 refuse la proposition.
\end_layout

\begin_layout Proposition
La suite aléatoire 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 construite ci-dessus est une chaîne de Markov de transition 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{cases}
P(x,y)=Q(x,y)\alpha(x,y) & \mbox{ si }x\neq y\,,\\
P(x,x)=1-\sum_{y\neq x}P(x,y)\,.
\end{cases}
\]

\end_inset

La loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

-invariante
\end_layout

\begin_layout Proof
Pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\p(X_{n+1}=x|X_{0},\dots,X_{n})=\p(X_{n+1}=x|X_{n})$
\end_inset

 (d'après la construction ci-dessus).
 Donc 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 est bien une chaîne de Markov.
 Calculons
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\pperp$"
description "Indépendant"

\end_inset

, pour tout 
\begin_inset Formula $x\neq y$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\p(X_{n+1}=y|X_{n}=x) & = & \p(Y_{n+1}=y,\,U_{n+1}\leq\alpha(X_{n},Y_{n+1})|X_{n}=x)\\
 & = & \p(Y_{n+1}=y,\,U_{n+1}\leq\alpha(x,Y_{n+1})|X_{n}=x)\\
 & = & \p(Y_{n+1}=y,\,U_{n+1}\leq\alpha(x,y)|X_{n}=x)\\
\mbox{(}Y_{n+1}\pperp U_{n+1}\mbox{)} & = & Q(x,y)\alpha(x,y)\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nous en déduisons
\begin_inset Formula 
\[
\p(X_{n+1}=x|X_{n}=x)=1-\sum_{y\neq x}P(x,y)=1-\sum_{y\neq x}Q(x,y)\alpha(x,y)\,.
\]

\end_inset

Pour tout 
\begin_inset Formula $x\neq y$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\pi(x)P(x,y) & = & \pi(x)Q(x,y)\alpha(x,y)\\
 & = & \pi(x)Q(x,y)\min\left(1,\frac{\pi(y)Q(y,x)}{\pi(x)Q(x,y)}\right)\\
 & = & \min\left(\pi(x)Q(x,y),\pi(y)Q(y,x)\right)\\
 & = & \min\left(\pi(y)Q(y,x),\pi(x)Q(x,y)\right)\\
\mbox{(on refait le calcul en inversant \ensuremath{x} et \ensuremath{y})} & = & \pi(y)P(y,x)\,
\end{eqnarray*}

\end_inset

Donc 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est symétrique par rapport à 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

.
 D'après le lemme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "lem:sym->inv"

\end_inset

, nous avons donc 
\begin_inset Formula $\pi P=\pi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Example
Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 défini dans l'exemple 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "exa:marche-simple"

\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 une loi sur 
\begin_inset Formula $\Z$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $\pi(x)=C\exp(-\sqrt{|x|})$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 est alors la constante telle que 
\begin_inset Formula $\sum_{x\in\Z}\pi(x)=1$
\end_inset

.
 Le programme 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:Chaîne-de-Metropolis"

\end_inset

 fait une simulation d'une marche de Metropolis de noyau de proposition
 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi-cible 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 On remarque qu'il n'est pas nécessaire de connaître 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 pour implémenter l'algorithme.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float algorithm
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
n=100
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
f<-function(k)
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

return(exp(-sqrt(abs(k)))) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left

\family typewriter
liste=c() 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

x=0 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

for (k in 1:n) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

{ 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

liste=c(liste,x)
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

v=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (v<0.5) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ y=x+1 } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

else 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ y=x-1 } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

u=runif(1,0,1) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

alpha=min(1,f(y)*0.5/(f(x)*0.5)) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

if (u<alpha) 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

{ x=y } 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\align left
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:Chaîne-de-Metropolis"

\end_inset

Chaîne de Metropolis
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
Avec les notations définies ci-dessus, si 
\begin_inset Formula $Q(x,y)$
\end_inset

 est irréductible et vérifie : 
\begin_inset Formula $\forall x,y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q(x,y)\neq0\Rightarrow Q(y,x)\neq0$
\end_inset

, et 
\begin_inset Formula $\pi(x)>0$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 est irréductible.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
Soient 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\neq y$
\end_inset

.
 Il existe 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $\N$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula 
\[
Q(x,x_{1})Q(x_{1},x_{2})\dots Q(x_{n},y)>0\,.
\]

\end_inset

On peut toujours supposer 
\begin_inset Formula $x\neq x_{1}$
\end_inset

, \SpecialChar ldots
 , 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq y.$
\end_inset

 On déduit des hypothèses que 
\begin_inset Formula 
\[
P(x,x_{1})P(x_{1},x_{2})\dots P(x_{n},y)>0\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Algorithme de Metropolis simple
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $Q(x,y)=Q(y,x)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 (on dit que le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est 
\emph on
symétrique
\emph default

\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Noyau symétrique
\end_layout

\end_inset

).
 Dans la version originale de l'algorithme de Metropolis, le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est symétrique.
 Dans ce cas, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 se simplifie en 
\begin_inset Formula $\alpha(x,y)=\min\left(1,\frac{\pi(y)}{\pi(x)}\right)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proposition
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "prop:metropolis-simple"

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est un noyau de Markov irréductible, symétrique et si 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est une probabilité non constante telle que 
\begin_inset Formula $\pi(x)>0$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, alors la chaîne de Markov de Metropolis de noyau de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi cible 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est irréductible, apériodique, de loi invariante 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Soit 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 le noyau de Metropolis de noyau de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi cible 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 Pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha(x,y)>0$
\end_inset

.
 De plus, pour tout 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

, il existe 
\begin_inset Formula $p\in\N$
\end_inset

 et une suite 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{p}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $Q(x,x_{1})Q(x_{1},x_{2})\dots Q(x_{p-1},x_{p})Q(x_{p},y)>0$
\end_inset

.
 Donc
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
P(x,x_{1})P(x_{1},x_{2})\dots P(x_{p},y)=Q(x,x_{1})\alpha(x,x_{1})\dots Q(x_{p},y)\alpha(x_{p},y)>0\,.
\]

\end_inset

Pour prouver l'apériodicité de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, il suffit de montrer qu'il existe 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $P(x,x)>0$
\end_inset

.
 
\bar under
Supposons que 
\begin_inset Formula $P(x,x)=0$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset


\bar default
.
 Or, pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P(x,x) & = & 1-\sum_{y:y\neq x}P(x,y)\\
 & = & \sum_{y}Q(x,y)-\sum_{y:y\neq x}Q(x,y)\alpha(x,y)\\
 & = & Q(x,x)+\sum_{y:y\neq x}Q(x,y)(1-\alpha(x,y))\\
 & = & Q(x,x)+\sum_{y:x\neq y}Q(x,y)\left(1-\frac{\pi(y)}{\pi(x)}\right)_{+}\,,
\end{eqnarray*}

\end_inset

donc 
\begin_inset Formula 
\[
P(x,x)-Q(x,x)=\sum_{y:x\neq y}Q(x,y)\left(1-\frac{\pi(y)}{\pi(x)}\right)_{+}\,.
\]

\end_inset

Fixons 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

.
 Les deux termes de l'équation ci-dessus sont de signes opposés, ils valent
 donc 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

.
 Nous avons donc, pour tout 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $y\neq x$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Q(x,y)\neq0$
\end_inset

 (il en existe car 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est irréductible), 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left(1-\frac{\pi(y)}{\pi(x)}\right)_{+}=0\,,\label{eq:diff}
\end{equation}

\end_inset

 c'est à dire 
\begin_inset Formula $\pi(y)\geq\pi(x)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
Nous avons donc montré, pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, que si 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 est tel que 
\begin_inset Formula $Q(x,y)\neq0$
\end_inset

, alors 
\begin_inset Formula $\pi(y)\geq\pi(x)$
\end_inset

.
 Nous fixons maintenant 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $Q(x,y)\neq0$
\end_inset

.
 Comme 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est symétrique, nous avons 
\begin_inset Formula $Q(y,x)=Q(x,y)$
\end_inset

 et donc 
\begin_inset Formula $\pi(x)\geq\pi(y)$
\end_inset

.
 Donc 
\begin_inset Formula $\pi(x)=\pi(y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
Nous avons maintenant montré que pour tous 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $Q(x,y)\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\pi(x)=\pi(y)$
\end_inset

.
 Comme 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est irréductible, cela implique que 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est constante, ce qui est en 
\bar under
contradiction
\bar default
 avec les hypothèses.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\bar under
Conclusion
\bar default
: Il existe 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $P(x,x)>0$
\end_inset

.
 Donc le noyau 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 est apériodique.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Sous les hypothèse de cette proposition, nous pouvons appliquer le théorème
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:vitesse-ergodique"

\end_inset

 sur la vitesse de convergence.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Le modèle d'Ising
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Le-modèle-d'Ising"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
C'est un modèle très populaire en physique statistique.
 Soit 
\begin_inset Formula $N\in\N$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula 
\[
\Lambda=\{-N,-N+1,\dots,-1,0,1,\dots,N\}^{2}\subset\Z^{2}
\]

\end_inset

(on pourrait aussi regarder ce modèle en dimension quelconque en prenant
 l'exposant 
\begin_inset Formula $d\in\N^{*}$
\end_inset

 à la place de 
\begin_inset Formula $ $
\end_inset


\begin_inset Formula $2$
\end_inset

).
 Nous définissons l'
\emph on

\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout

\emph off
Espace de configurations
\end_layout

\end_inset

espace des configurations 
\emph default
par
\begin_inset Formula 
\[
E=\{-1;1\}^{\Lambda}
\]

\end_inset

(il s'agit donc des fonctions 
\begin_inset Formula $f:\Lambda\rightarrow\{-1;1\}$
\end_inset

).
 Le cardinal de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 est 
\begin_inset Formula $2^{2N+1}$
\end_inset

.
 Pour 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, nous posons
\begin_inset Formula 
\[
H(x)=\frac{1}{2}\sum_{\substack{m,m'\in\Lambda\\
|m-m'|=1
}
}|x(m)-x(m')|^{2}\,,
\]

\end_inset

où la somme porte sur toutes les paires de sites 
\begin_inset Formula $m,m'$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 qui sont voisins.
 Remarquons que 
\begin_inset Formula $H(x)$
\end_inset

 est nulle si 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 est contante.
 Soit 
\begin_inset Formula $\beta>0$
\end_inset

, nous définissons la probabilité sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\pi(x)=\frac{1}{Z(\beta)}e^{-\beta H(x)}\,,
\]

\end_inset

avec 
\begin_inset Formula $Z(\beta)=\sum_{x\in E}e^{-\beta H(x)}$
\end_inset

.
 La constante 
\begin_inset Formula $Z(\beta)$
\end_inset

 n'est pas connue.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Nous aimerions simuler suivant la loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 ou calculer des intégrales contre la loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 Pour cela, nous allons utiliser l'algorithme de Metropolis.
 Nous allons utiliser un noyau de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 particulier (appelé échantilloneur de Gibbs
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Échantilloneur de Gibbs
\end_layout

\end_inset

).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Nous définissons une partition de 
\begin_inset Formula $\Lambda$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Lambda^{+} & =\{(m_{1},m_{2})\in\Lambda;m_{1}+m_{2}\mbox{ pair}\}\,,\\
\Lambda^{-} & =\{(m_{1},m_{2})\in\Lambda;m_{1}+m_{2}\mbox{ impair}\}\,.
\end{align*}

\end_inset

 Remarquons que si 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 appartient à 
\begin_inset Formula $\Lambda^{+}$
\end_inset

 alors tous ses voisins sont dans 
\begin_inset Formula $\Lambda^{-}$
\end_inset

 (et réciproquement).
\end_layout

\begin_layout Standard
Pour 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, nous notons
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
x^{+} & =(x(m),m\in\Lambda^{+})\,,\\
x- & =(x(m),m\in\Lambda^{-})\,.
\end{align*}

\end_inset

 Les composantes 
\begin_inset Formula $x^{+}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $x^{-}$
\end_inset

 sont des restrictions de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 (respectivement à 
\begin_inset Formula $\Lambda^{+}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\Lambda^{-}$
\end_inset

) et nous écrivons 
\begin_inset Formula $x=(x^{+},x^{-})$
\end_inset

.
 Nous cherchons maintenant à calculer 
\begin_inset Formula $\pi(x^{+}|x^{-})$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\pi(x^{+}|x^{-})=\p(X^{+}=x^{+}|X^{-}=x^{-})$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 variable aléatoire de loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

).
 Nous avons
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\pi(x^{+}|x^{-}) & = & \frac{\pi(x^{+},x^{-})}{\pi(x-)}\\
 & = & \frac{\pi(x^{+},x^{-})}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\pi(y)}\\
 & = & \frac{\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(x^{+}(m)-x^{-}(m'))^{2}\right)}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(y^{+}(m)-y^{-}(m'))^{2}\right)}\\
 & = & \frac{\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(1+1-2x^{+}(m)x^{-}(m))\right)}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(1+1-2y^{+}(m)x^{-}(m'))\right)}\\
 & = & \frac{\exp\left(2\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x^{+}(m)x^{-}(m')\right)}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\exp\left(2\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}y^{+}(m)x^{-}(m')\right)}\\
 & = & \frac{\prod_{m\in\Lambda^{+}}\exp\left(2\beta x^{+}(m)\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x(m')\right)}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\exp\left(2\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}y^{+}(m)x^{-}(m')\right)}\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Cette expression est un produit de fonctions de 
\begin_inset Formula $x^{+}(m)$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $m\in\Lambda^{+}$
\end_inset

.
 Donc, sous la loi 
\begin_inset Formula $\pi(.|x^{-})$
\end_inset

, les composantes 
\begin_inset Formula $X^{+}(m)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m\in\Lambda$
\end_inset

 sont indépendantes et de loi
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\propto$"
description "Proportionnel à"

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
\p(X^{+}(m)=x^{+}(m)|X^{-}=x^{-})\propto\exp\left(2\beta x^{+}(m)\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x^{-}(m')\right)\,.
\]

\end_inset

Donc, en notant 
\begin_inset Formula $M=\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x^{-}(m')$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\p(X^{+}(m)=1|X^{-}=x^{-}) & =\frac{e^{2\beta M}}{e^{2\beta M}+e^{-2\beta M}}\,,\\
\p(X^{+}(m)=-1|X^{-}=x^{-}) & =\frac{e^{-2\beta M}}{e^{2\beta M}+e^{-2\beta M}}\,.
\end{align*}

\end_inset

Il est donc très facile de simuler suivant 
\begin_inset Formula $\pi(.|x^{-})$
\end_inset

.
 Nous définissons maintenant un noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 en décrivant comment simuler un saut selon 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 Nous tirons 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{B}(1/2)$
\end_inset

.
 
\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$\\mathcal{B}(p)$"
description "Loi de Bernoulli de paramètre $p$"

\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $U\leq1/2$
\end_inset

, nous tirons 
\begin_inset Formula $Y^{+}$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\pi(.|x^{-})$
\end_inset

 et nous sautons en 
\begin_inset Formula $(Y^{+},x-)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $U>1/2$
\end_inset

, nous tirons 
\begin_inset Formula $Y^{-}$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\pi(.|x^{+})$
\end_inset

 et nous sautons en 
\begin_inset Formula $(x^{+},Y^{-})$
\end_inset

.
 Nous pouvons alors écrire
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
Q(x,y)=\begin{cases}
\frac{1}{2}\pi(y^{+}|x^{-}) & \mbox{ si }y^{-}=x^{-}\mbox{ et }y^{+}\neq x^{+},\\
\frac{1}{2}\pi(y^{-}|x^{+}) & \mbox{ si }y^{+}=x^{+}\mbox{ et }y^{-}\neq x^{-}\,,\\
\frac{\pi(x^{+}|x^{-})+\pi(x^{-}|x^{+})}{2} & \mbox{ si }x=y\,,\\
0 & \mbox{ dans les autres cas .}
\end{cases}
\]

\end_inset

 Soit
\begin_inset Formula 
\[
\alpha(x,y)=\min\left(1,\frac{\pi(y)Q(y,x)}{\pi(x)Q(x,y)}\right)\,.
\]

\end_inset

Calculons dans le cas 
\begin_inset Formula $x^{-}=y^{-}$
\end_inset

 (les autres cas étant similaires)
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{\pi(y)Q(y,x)}{\pi(x)Q(x,y)} & = & \frac{\pi(y^{+}|y^{-})\p(X^{-}=y^{-})(1/2)\pi(x^{+}|y^{-})}{\pi(x^{+}|x^{-})\p(X^{-}=x^{-})(1/2)\pi(y^{+}|x^{-})}\\
 & = & 1\,.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Donc 
\begin_inset Formula $\alpha(x,y)=1$
\end_inset

 tout le temps
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Nous sommes donc en présence d'un algorithme de Metropolis un peu dégénéré,
 qui s'appelle en fait un «échantilloneur de Gibbs».
 Voir 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "pardoux-2008"

\end_inset

 pour plus de précisions sur cette classe d'algorithmes.
\end_layout

\end_inset

.
 En particulier, pour 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, nous n'avons pas besoin de 
\begin_inset Formula $Z(\beta)$
\end_inset

 pour calculer 
\begin_inset Formula $\alpha(x,y)$
\end_inset

.
 Nous pouvons donc simuler la cha
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
^i
\end_layout

\end_inset

ne de Metropolis de noyau de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi cible 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 Nous noterons 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 cette chaîne.
 Le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est irréductible et symétrique.
 La loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 n'est pas constante.
 Donc par la proposition 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "prop:metropolis-simple"

\end_inset

 et le théorème 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:vitesse-ergodique"

\end_inset

, la loi de 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 est proche de 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 (pour 
\begin_inset Formula $n\rightarrow+\infty$
\end_inset

) et, pour une fonction 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, nous pouvons faire l'approximation
\begin_inset Formula 
\[
\int_{E}f(x)\pi(dx)\approx\frac{1}{n+1}\sum_{n=0}^{n+1}f(X_{n})\,,
\]

\end_inset

quand 
\begin_inset Formula $n\rightarrow+\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/beta=0.3-a.gif
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta=0,3$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Phantom HPhantom
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/beta=0.5-a.gif
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta=0,5$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:tirage-ising-01"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/beta=0.8-a.gif
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta=0,8$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Phantom HPhantom
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/beta=1-a.gif
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta=1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:tirage-ising-02"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dans les figures (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:tirage-ising-01"

\end_inset

) et (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:tirage-ising-02"

\end_inset

), nous avons simulé des tirages suivant la loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 à l'aide de l'algorithme de Metropolis (les résultats sont donc approximativeme
nt de loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

) pour 
\begin_inset Formula $N=25$
\end_inset

.
 Les sites en rouge (ou gris foncé) représentent des 
\begin_inset Formula $+1$
\end_inset

 et les sites en vert (ou gris clair) représentent des 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

.
 On s'attend à ce que les variables tirées soient représentatives de la
 loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 On remarque que plus 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 est grand, plus la loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 privilégie les configurations 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tels que le nombre de couples de voisins en désaccord est petit (on dit
 que 
\begin_inset Formula $m,m'\in\Lambda$
\end_inset

 sont en désaccord si 
\begin_inset Formula $x(m)\neq x(m')$
\end_inset

).
 Et en effet, dans les tirages effectués, les deux couleurs sont plus mélangées
 pour 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 petit que pour 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 grand.
\end_layout

\begin_layout Section
Analyse bayésienne d'image
\end_layout

\begin_layout Standard
Reprenons le modèle précédent et associons à chaque 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 une image
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $m\in\Lambda$
\end_inset

 représente un pixel, le pixel est noir si 
\begin_inset Formula $x(m)=+1$
\end_inset

 et blanc si 
\begin_inset Formula $x(m)=-1$
\end_inset

.
 Nous observons les couleurs des pixels et l'observation nous donne la couleur
 exacte de chaque pixel avec probabilité 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $p\in]0;1[$
\end_inset

).
 Alors, la 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Loi a posteriori
\end_layout

\end_inset

loi a posteriori, ou encore la loi conditionnelle de 
\begin_inset Formula $X=x$
\end_inset

 sachant que l'on a observé 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 (l'image de départ est modélisée par une variable aléatoire 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 parce que nous ne la connaissons pas) est
\begin_inset Formula 
\[
\pi(x|y)\propto e^{-\beta H(x)}p^{a(x,y)}(1-p)^{d(x,y)}\,,
\]

\end_inset

où 
\begin_inset Formula $a(x,y)=\#\{m\in\Lambda:x(m)=y(m)\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(x,y)=\#\{m\in\Lambda:x(m)\neq y(m)\}$
\end_inset

.
 Nous cherchons alors à simuler une variable de loi 
\begin_inset Formula $\pi(.|y)$
\end_inset

 (pour avoir une idée de l'image de départ).
\end_layout

\begin_layout Remark
Le paramètre 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 représente l'erreur de mesure.
 Plus 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 est petit, plus l'image observée est bruitée par rapport à l'image de départ.
 Le paramètre 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 dépend de l'idée que l'on se fait du contraste de l'image de départ.
 Plus 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 est grand, plus on privilégie les images de fort contraste.
 
\end_layout

\begin_layout Remark
Nous allons construire une chaîne de Metropolis semblable à celle de la
 partie précédente.
 L'observation 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 est fixée (c'est l'image dont nous disposons) et la loi cible est 
\begin_inset Formula $\mu=(\mu(x),x\in E)$
\end_inset

 avec 
\begin_inset Formula $\mu(x)=\pi(x|y)$
\end_inset

 pour tout 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 En nous inspirant de la partie précédente, nous obtenons
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\mu(x^{+}|x^{-})=\frac{\mu(x^{_{+}},x^{-})}{\sum_{\substack{z\in E\\
z^{-}=x^{-}
}
}\mu(z)}\\
=\frac{\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(x^{+}(m)-x^{-}(m'))^{2}\right)p^{a(x,y)}(1-p)^{d(x,y)}}{\sum_{\substack{z\in E\\
z-=x^{-}
}
}\exp\left(-\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}(z^{+}(m)-z^{-}(m'))^{2}\right)p^{a(z,y)}(1-p)^{d(z,y)}}\\
=\frac{\prod_{m\in\Lambda^{+}}\exp\left(2\beta x^{+}(m)\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x(m')\right)}{\sum_{\substack{y\in E\\
y^{-}=x^{-}
}
}\exp\left(2\beta\sum_{m\in\Lambda^{+}}\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}y^{+}(m)x^{-}(m')\right)p^{a(z,y)}(1-p)^{d(z,y)}}\\
\times\prod_{m\in\Lambda^{+}}p^{1-|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}(1-p)^{|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}\\
\times\prod_{m\in\Lambda^{-}}p^{1-|x^{-}(m)-y^{-}(m)|/2}(1-p)^{|x^{-}(m)-y^{-}(m)|/2}\\
\propto\prod_{m\in\Lambda^{+}}\exp\left(2\beta x^{+}(m)\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x(m')\right)p^{1-|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}(1-p)^{|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}\,.
\end{multline*}

\end_inset

Cette expression est un produit de fonctions de 
\begin_inset Formula $x^{+}(m)$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $m\in\Lambda^{+}$
\end_inset

.
 Donc, sous la loi 
\begin_inset Formula $\mu(.|x^{-})$
\end_inset

, les composantes 
\begin_inset Formula $X^{+}(m)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m\in\Lambda$
\end_inset

 sont indépendantes et de loi
\begin_inset Formula 
\[
\mu(x^{+}(m)|x^{-})\propto\exp\left(2\beta x^{+}(m)\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x(m')\right)p^{1-|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}(1-p)^{|x^{+}(m)-y^{+}(m)|/2}\,.
\]

\end_inset

Donc, en notant 
\begin_inset Formula $M=\sum_{\substack{m'\in\Lambda^{-}\\
|m-m'|=1
}
}x^{-}(m')$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $y^{+}(m)=1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\mu(x^{+}(m)=1|x^{-}) & =\frac{e^{2\beta M}p}{e^{2\beta M}p+e^{-2\beta M}(1-p)}\,,\\
\mu(x^{+}(m)=-1|x^{-}) & =\frac{e^{-2\beta M}(1-p)}{e^{2\beta M}p+e^{-2\beta M}(1-p)}\,;
\end{align*}

\end_inset

et si 
\begin_inset Formula $y^{+}(m)=-1,$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\mu(x^{+}(m)=1|x^{-}) & =\frac{e^{2\beta M}(1-p)}{e^{2\beta M}(1-p)+e^{-2\beta M}p}\,,\\
\mu(x^{+}(m)=-1|x^{-}) & =\frac{e^{-2\beta M}p}{e^{2\beta M}(1-p)+e^{-2\beta M}p}\,.
\end{align*}

\end_inset

Il est donc très facile de simuler suivant 
\begin_inset Formula $\mu(.|x^{-})$
\end_inset

.
 Nous définissons maintenant un noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 en décrivant comment simuler un saut selon 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 Nous tirons 
\begin_inset Formula $U\sim\mathcal{B}(1/2)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $U\leq1/2$
\end_inset

, nous tirons 
\begin_inset Formula $Z^{+}$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\mu(.|x^{-})$
\end_inset

 et nous sautons en 
\begin_inset Formula $(Z^{+},x-)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $U>1/2$
\end_inset

, nous tirons 
\begin_inset Formula $Z^{-}$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $\mu(.|x^{+})$
\end_inset

 et nous sautons en 
\begin_inset Formula $(x^{+},Z^{-})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Remark
Comme dans la section 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Le-modèle-d'Ising"

\end_inset

, pour tous 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\alpha(x,y)=\min\left(1,\frac{\mu(y)Q(y,x)}{\mu(x)Q(x,y)}\right)=1\,.
\]

\end_inset

 Nous pouvons donc simuler la chaîne de Metropolis de noyau de proposition
 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi cible 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

.
 Nous noterons 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 cette chaîne.
 Le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est irréductible et symétrique.
 La loi 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 n'est pas constante.
 Donc par la proposition 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "prop:metropolis-simple"

\end_inset

 et le théorème 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:vitesse-ergodique"

\end_inset

, la loi de 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 est proche de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 (pour 
\begin_inset Formula $n\rightarrow+\infty$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Remark
Pour manipuler des images en 
\family typewriter
R
\family default
, nous utilisons le package PNG
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
voir 
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

https://iut-info.univ-reims.fr/users/nocent/R/##dimensions-de-limage
\end_layout

\end_inset

 pour un tutoriel sur ce package
\end_layout

\end_inset

.
 Nous partons de l'image de gauche dans la Figure 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:homer"

\end_inset

 (cette image est bruitée) et après quelques itérations, nous arrivons à
 l'image de droite (
\begin_inset Formula $\beta=4$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p=0.9$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement h
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/simpsons-bruitee.png
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Avant
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Phantom HPhantom
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/simpsons-debruitee.png
	lyxscale 40
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Après
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:homer"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Cryptographie
\end_layout

\begin_layout Standard
Une des techniques de cryptographie les plus simples consiste à remplacer
 les caractères du texte à coder au moyen d'une bijection.
 Supposons par exemple que l'ensemble des caractères utilisés soit 
\begin_inset Formula $\mathcal{A}=$
\end_inset

{'a', 'b', 'c', ...,'x', 'y', 'z', '.', ' ' (espace), '-', ''' (guillemet simple),
 '”' (guillemet double à l'anglaise), ',', ';', '?', '!', ':'}.
 Cet ensemble est de cardinal 
\begin_inset Formula $ $
\end_inset


\begin_inset Formula $36$
\end_inset

, on l'identifiera dans la suite à 
\begin_inset Formula $[36]=\{1,2,\dots,36\}$
\end_inset

 (chaque caractère est identifié par son numéro).
 Le codage consiste en une permutation des caractères, c'est à dire en une
 application 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 bijective 
\begin_inset Formula $[36]\rightarrow[36]$
\end_inset

.
 Voici une phrase codée tirée d'une 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

{
\backslash
oe}
\end_layout

\end_inset

uvre littéraire bien connue
\end_layout

\begin_layout Quote
g,hpobv ,gpochb:chbp;hgpo'og,hpo"b?:'sbyo"bos,gpbymbkohgoabhgbox,eebroch
 ogn'm' vo?'po:n' yovy bpo gvb:: lbgvro?'y:'ochb:chbpo gpv'gvpo'mbsohgoe,gp
 bhyoch opbovy,hm' vo'os,vbo"bo:h ro? h 
\begin_inset Newline newline
\end_inset

po :o'::'opn'ppb,yko"bhuoxbhybpo?:hpov'y"roabo:boybgs,gvy' o"bog,hmb'hoqo
 :obv' vobgos ,e?'lg bo"nhgos'e'y'"bobvo?'y:' vosx !!,gp
\end_layout

\begin_layout Standard
Chaque lettre 'a' de la phrase d'origine a été remplacée par la lettre '
\begin_inset Formula $g(\mbox{a})$
\end_inset

', etc.
 Nous notons 
\begin_inset Formula $E=\{f:[36]\rightarrow[36]\,,\,\mbox{bijective}\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
On se donne une matrice de Markov 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 de taille 
\begin_inset Formula $36\times36$
\end_inset

 qui représente les probabilités de transition d'un caractère à l'autre
 quand on regarde les caractères les uns après les autres dans un texte
 écrit en français.
 Par exemple, si on calibre cette matrice sur un volume des 
\emph on
Trois Mousquetaires 
\emph default
, 
\begin_inset Formula $M(2,1)=0,14$
\end_inset

 parce qu'un 'a' est suivi d'un 'b' dans environ 
\begin_inset Formula $14\%$
\end_inset

 des cas.
 Notons 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c_{2}$
\end_inset

, ..., 
\begin_inset Formula $c_{314}$
\end_inset

 la suite des numéros des caractères apparaissant dans la phrase codée.
 On s'intéresse à la loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 telle que, pour toute 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
\pi(f)\propto\prod_{i=1}^{313}M(f(c_{i}),f(c_{i+1}))\,.
\]

\end_inset

On remarque que plus 
\begin_inset Formula $\pi(f)$
\end_inset

 est grande, plus 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est un décodage plausible.
 Nous voulons construire une chaîne de Markov 
\begin_inset Formula $(F_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 converge en loi vers 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 quand 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tend vers l'infini.
 Soit un noyau de Markov de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 décrit par
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Quand on est en 
\begin_inset Formula $f\in E$
\end_inset

.
 On tire 
\begin_inset Formula $\{X,Y\}$
\end_inset

 suivant la loi uniforme sur 
\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{2}([36])$
\end_inset

 (les parties à deux éléments de 
\begin_inset Formula $[36]$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Itemize
On saute en 
\begin_inset Formula $f^{(X,Y)}$
\end_inset

 définie par 
\begin_inset Formula 
\[
f^{(X,Y)}(z)=\begin{cases}
f(z) & \mbox{ si }z\notin\{X,Y\}\,,\\
f(X) & \mbox{ si }z=Y\,,\\
f(Y) & \mbox{ si }z=X\,.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nous remarquons que le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est symétrique.
 Ce noyau est irréductible (parce que les transpositions engendrent le groupe
 symétrique).
 La loi 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 est non constante.
 Soit 
\begin_inset Formula $(F_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 une chaîne de Metropolis de noyau de proposition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 et de loi cible 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 La proposition 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "prop:metropolis-simple"

\end_inset

 et le théorème 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "thm:vitesse-ergodique"

\end_inset

 nous disent que pour 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 grand, la loi de 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 est proche de 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
 Voici ce que l'on peut obtenir après 
\begin_inset Formula $10000$
\end_inset

 itérations
\end_layout

\begin_layout Quote
nous etions quelqueshuns a nous declamer de monserve, un jeune boppe.
 qui n'avait cas l'air tres in telligent.
 carla quelques instants avem un ponsieur qui se trouvait a mote de lui.
 cuis il all a s'asseoir, deux beures clus tard.
 je le renmontrai de nouveau - il etait en mopcagnie d'un m aparade et carlait
 mbiffons
\end_layout

\begin_layout Standard
Donc le texte d'origine a de fortes chances d'être
\begin_inset space ~
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Quote
Nous étions quelques-uns à nous déplacer de conserve.
 Un jeune homme, qui n'avait pas l'air très intelligent, parla quelques
 instants avec un monsieur qui se trouvait à côté de lui, puis il alla s'asseoir.
 Deux heures plus tard, je le rencontrai de nouveau ; il était en compagnie
 d'un camarade et parlait chiffons.
 
\end_layout

\begin_layout Quote
Raymond Queneau, 
\emph on
Exercices de style (Litotes), 
\emph default
1947.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pour coder cet algorithme de Metropolis, on pourra consulter les archives
 2012-2013
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://math.unice.fr/~rubentha/archives-12-13.html
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 de la page 
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://www.math.unice.fr/~rubentha/enseignement
\end_layout

\end_inset

 (le devoir no 2 contient des indications sur comment s'y prendre en 
\family typewriter
scilab
\family default
, la matrice 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 …) et aussi les archives 2014-2015
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Flex URL
status open

\begin_layout Plain Layout

http://math.unice.fr/~rubentha/archives-14-15.html
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 , ligne 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

TP sur la cryptographie …
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 (pour savoir comment s'y prendre en 
\family typewriter
R
\family default
).
\end_layout

\begin_layout Section
Exercices
\end_layout

\begin_layout Exercise
Soit 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 des espaces finis.
 Soit 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 noyau de transition de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 (pour tout 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q(x,.)$
\end_inset

 est une loi de probabilité sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

).
 Le noyau 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est supposé irréductible et apériodique.
 On suppose que 
\begin_inset Formula $Q(x,y)>0\Rightarrow Q(y,x)>0$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 noyau de transition de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 dans 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 (pour tout 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(x,.)$
\end_inset

 est une loi de probabilité sur 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

).
 On suppose que pour tout 
\begin_inset Formula $(x,y)\in E\times F$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(x,y)>0$
\end_inset

.
 On dispose de 
\begin_inset Formula $Z:E\times F\rightarrow\R^{+*}$
\end_inset

 et on note, pour tout 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{u\in F}Z(x,u)K(x,u)=z(x)$
\end_inset

.
 On s'intéresse à la chaîne de Markov suivante dans 
\begin_inset Formula $E\times F$
\end_inset

.
 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $X_{0}=x_{0}\in E$
\end_inset

 (quelconque), 
\begin_inset Formula $U_{0}\sim K(x_{0},.)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si on a 
\begin_inset Formula $(X_{n},U_{n})\in E\times F$
\end_inset

.
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
On tire 
\begin_inset Formula $X_{n+1}^{*}\sim Q(X_{n},.)$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $V_{n+1}\sim\mathcal{U}([0;1])$
\end_inset

 (indépendant de tout le reste).
 On tire 
\begin_inset Formula $U_{n+1}^{*}\sim K(X_{n+1}^{*},.)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
On calcule 
\begin_inset Formula 
\[
\alpha(X_{n},U_{n},X_{n+1}^{*},U_{n+1}^{*})=\inf\left(1,\frac{Z(X_{n+1}^{*},U_{n+1}^{*})Q(X_{n+1}^{*},X_{n})}{Z(X_{n},U_{n})Q(X_{n},X_{n+1}^{*})}\right)\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $V_{n+1}\leq\alpha(X_{n},U_{n},X_{n+1}^{*},U_{n+1}^{*})$
\end_inset

 alors 
\begin_inset Formula $X_{n+1}=X_{n+1}^{*}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $U_{n+1}=U_{n+1}^{*}$
\end_inset

.
 Sinon 
\begin_inset Formula $X_{n+1}=X_{n}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $U_{n+1}=U_{n}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
On remarque que pour tout 
\begin_inset Formula $(x,y)\in E\times F$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(x',y')\mapsto Q(x,x')K(x',y')$
\end_inset

 définit une mesure de probabilité sur 
\begin_inset Formula $E\times F$
\end_inset

 (on a bien 
\begin_inset Formula $\sum_{x'\in E}\sum_{y'\in F}Q(x,x')K(x',y')=1$
\end_inset

).
 On notera 
\begin_inset Formula $\overline{Q}((x,y),.)$
\end_inset

 cette mesure.
 Montrer que 
\begin_inset Formula $\overline{Q}$
\end_inset

 est un noyau de Markov irréductible sur 
\begin_inset Formula $E\times F$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $((X_{n},U_{n}))_{n\geq0}$
\end_inset

 est une chaîne de Metropolis.
 Préciser son noyau de proposition et sa loi cible.
 Nous noterons 
\begin_inset Formula $\overline{P}$
\end_inset

 sa transition.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $\overline{P}$
\end_inset

 est irréductible.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $\overline{P}$
\end_inset

 est apériodique.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $(X_{n})_{n\geq0}$
\end_inset

 converge en loi vers une loi proportionnelle à 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
Soient 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 des probabilités sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 (espace fini) avec 
\begin_inset Formula $\forall x,0<p(x)\leq cq(x)$
\end_inset

 où 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 constante 
\begin_inset Formula $>0$
\end_inset

.
 On prend des variables 
\begin_inset Formula $Y_{n}$
\end_inset

 i.i.d.
 de loi 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, indépendantes de 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

.
 On définit par récurrence une cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

ne 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
On tire 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

 suivant 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Quand on a 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

, on tire 
\begin_inset Formula $U_{n}\sim\mathcal{U}([0,1])$
\end_inset

 indépendamment de toutes les autres variables et
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
X_{n+1}=\begin{cases}
Y_{n+1} & \text{ si }U_{n}\leq\frac{p(Y_{n+1})}{cq(Y_{n+1})}\\
X_{n} & \text{ sinon }\ .
\end{cases}
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 est une cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

ne de Markov.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer la probabilité de transition 
\begin_inset Formula $P(x,y)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Quel rapport y-a-t-il entre cette cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

ne et une méthode de rejet classique ? 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Calculer 
\begin_inset Formula $\mu P$
\end_inset

 pour une probabilité 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

.
 En déduire que la loi de 
\begin_inset Formula $X_{n}$
\end_inset

 converge vers une unique probabilité invariante égale à 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
On se place sur 
\begin_inset Formula $E=\Z$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 loi sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $q(x)=q(-x)$
\end_inset

.
 Soit 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 une loi telle que 
\begin_inset Formula $p(x)>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\forall x$
\end_inset

.
 On définit une cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

ne de Markov 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 par
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $X_{0}\sim p$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
On tire 
\begin_inset Formula $U_{n}\sim\mathcal{U}([0,1])$
\end_inset

 indépendante de toutes les autres variables et 
\begin_inset Formula $Z_{n}$
\end_inset

 de loi 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 indépendante de toutes les autres variables.
 On pose 
\begin_inset Formula $Y_{n}=X_{n}+Z_{n}$
\end_inset

 et
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\[
X_{n+1}=\begin{cases}
Y_{n} & \text{ si }U_{n}\leq\inf\left(1,\frac{p(Y_{n})}{p(X_{n})}\right)\\
X_{n} & \text{ sinon }\ .
\end{cases}
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Notons 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 le noyau tel que 
\begin_inset Formula $Y_{n}$
\end_inset

 est de loi 
\begin_inset Formula $Q(X_{n},.)$
\end_inset

.
 Montrer que 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 est symétrique.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Soit 
\begin_inset Formula $\pi(x)=\frac{1}{Z}\exp(-\beta H(x))$
\end_inset

 une loi sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 (où 
\begin_inset Formula $H(x)=x^{3}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\beta=3$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 est la constante de normalisation, non connue).
 Comment approcher 
\begin_inset Formula $\int_{E}f(x)\pi(dx)$
\end_inset

 à l'aide d'un algorithme de Métropolis
\begin_inset space ~
\end_inset

? 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Separator parbreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Exercise
\begin_inset Argument 1
status open

\begin_layout Plain Layout
Couplage
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Couplage
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 On suppose que l'on a un noyau de Markov irréductible 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 sur un espace 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 fini (ou dénombrable) et 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 probabilité sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $\pi Q=\pi$
\end_inset

.
 On suppose qu'il existe une probabilité 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 sur 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $\epsilon>0$
\end_inset

 tels que 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in E$
\end_inset

,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\epsilon\lambda(y)\leq Q(x,y)\ .
\]

\end_inset

 On construit deux cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

nes de Markov 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $(Y_{n})$
\end_inset

 par
\begin_inset space ~
\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
On tire 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

 suivant 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Y_{0}$
\end_inset

 (indépendamment de 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

) suivant 
\begin_inset Formula $\pi'$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si on a tiré 
\begin_inset Formula $X_{0},\dots,X_{n}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Y_{0},\dots,Y_{n}$
\end_inset

, on tire 
\begin_inset Formula $U_{n}\sim\mathcal{U}([0,1])$
\end_inset

 indépendamment de toutes les autres variables.
 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $U_{n}\leq\epsilon$
\end_inset

, on tire 
\begin_inset Formula $X_{n=1}=Y_{n+1}$
\end_inset

 suivant 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sinon 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $X_{n}=Y_{n}$
\end_inset

, on tire 
\begin_inset Formula $X_{n=1}=Y_{n+1}$
\end_inset

 suivant la loi 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1-\epsilon}(Q(X_{n},.)-\epsilon\lambda(.))$
\end_inset

 (c'est bien une loi de probabilité).
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sinon on tire 
\begin_inset Formula $X_{n+1}$
\end_inset

 suivant 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1-\epsilon}(Q(X_{n},.)-\epsilon\lambda(.))$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $Y_{n+1}$
\end_inset

 suivant 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1-\epsilon}(Q(X_{n},.)-\epsilon\lambda(.))$
\end_inset

 (indépendamment).
 
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Montrer que 
\begin_inset Formula $(X_{n})$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $(Y_{n})$
\end_inset

 sont des cha
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

{
\end_layout

\end_inset

î
\begin_inset ERT
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset

nes de Markov de transition 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Montrer que pour presque tout 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n$
\end_inset

 tel que 
\begin_inset Formula $X_{n}(\omega)=Y_{n}(\omega)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
On prend 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 une fonction bornée.
 On rappelle que 
\begin_inset Formula $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(X_{n})\convps\sum_{x\in E}f(x)\pi(x)$
\end_inset

.
 Montrer que 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(Y_{n})\convps\sum_{x\in E}f(x)\pi(x)\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
clearpage 
\backslash
addcontentsline{toc}{chapter}{Liste des symboles}
\backslash
pagestyle{empty} 
\backslash
printnomenclature
\end_layout

\end_inset

 
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
clearpage 
\backslash
addcontentsline{toc}{chapter}{Index} 
\backslash
printindex
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Si l'index disparaît, il faut rajouter un index avec la fonction Insert
 de \SpecialChar LyX
, puis l'enlever.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{appendix}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
chapter{Table de la loi normale}
\backslash
label{chap:table}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
pagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Table de la loi normale
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "chap:table"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
placement H
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename figures/Table-loi-normale.eps
	lyxscale 60
	scale 80

\end_inset


\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Table de la loi normale
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
chapter{Fonctions, intégrales et sommes usuelles}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Fonctions, intégrales et sommes usuelles
\end_layout

\begin_layout Standard
Nous rappelons (
\begin_inset Formula $\forall a,b$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}e^{-x}dx=[-e^{-x}]_{a}^{b}=-e^{-b}+e^{-a}\,.
\]

\end_inset

Par intégration par parties, nous avons
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}xe^{-x}dx=[-xe^{-x}]_{a}^{b}+\int_{a}^{b}e^{-x}dx\,.
\]

\end_inset

Et 
\begin_inset Formula $\forall\alpha$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}x^{\alpha-1}e^{-x}dx=\left[-x^{\alpha-1}e^{-x}\right]_{a}^{b}+(\alpha-1)\int_{a}^{b}x^{\alpha-2}e^{-x}dx\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Formule du binôme (de Newton)
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Formule du binome@Formule du binôme
\end_layout

\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\forall x,y\in\R\,,\,\forall0\leq k\leq n\,(k,n\in\N)\,,\,(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}y^{n-k}\,,
\]

\end_inset

où 
\begin_inset Formula $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
\end_inset


\begin_inset CommandInset nomenclature
LatexCommand nomenclature
symbol "$C$"
description "Nombre de parties (...)"

\end_inset


\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Nombre de parties (...)
\end_layout

\end_inset

 (c'est nombre de parties à 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 éléments dans un ensemble à 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 éléments)(
\begin_inset Formula $n!=1\times2\times3\times\dots\times n$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Somme géométrique
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Somme geometrique@Somme géométrique
\end_layout

\end_inset

 : 
\begin_inset Formula 
\[
\forall p\in\R\,,\,\forall n\in\N\,\text{,\,}\sum_{k=0}^{n}p^{k}=\frac{1-p^{n+1}}{1-p}\,,
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\mbox{si, de plus ,}|p|<1\,,\,\sum_{k=0}^{+\infty}p^{k}=\frac{1}{1-p}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Somme arithmétique 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Somme arithmetique@Somme arithmétique
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Somme de carrés 
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Somme de carres@Somme de carrés
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
1^{2}+2^{2}+\dots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Exponentielle
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Exponentielle
\end_layout

\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
\forall x\in\R\,,\,e^{x}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}\,.
\]

\end_inset

Cosinus hyperbolique
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Cosinus hyperbolique
\end_layout

\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\forall x\in\R\,,\,\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\,.
\]

\end_inset

Sinus hyperbolique
\begin_inset Index idx
status open

\begin_layout Plain Layout
Sinus hyperbolique
\end_layout

\end_inset


\begin_inset space ~
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\forall x\in\R\,,\,\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{appendix}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cleardoublepage 
\backslash
phantomsection
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
btprint "btPrintAll"
bibfiles "bib-poly-monte-carlo"
options "alpha"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset nomencl_print
LatexCommand printnomenclature
set_width "auto"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset index_print
LatexCommand printindex
type "idx"
name "Index"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
