Applications de la théorie locale des bifurcations à l'étude d'instabilités hydrodynamiques
Les sujets abordés concernent l'étude de bifurcations en Mécanique
des fluides, la motivation étant d'expliquer les mécanismes de transition
vers des régimes complexes.
La technique utilisée consiste à réduire le problème à un
système de petite dimension, sur la variété centrale, et à en
déterminer la structure par des arguments de symétrie et de forme normale. On obtient de
cette façon un système d'équations qui sont communément appelées
équations de Landau ou équations aux amplitudes. A ce niveau la part
la plus importante du travail consiste en l'élaboration de méthodes
spécifiques permettant d'une part de déterminer pour quelles valeurs des
paramètres cette transition a lieu ("stabilité linéaire"), et d'autre
part de calculer les coefficients de ce système ("étude non linéaire").
En effet, une fois que l'on aura obtenu ces coefficients, on pourra
utiliser tous les résultats théoriques concernant
les équations de Landau (travaux de J. Guckenheimer, G. Iooss, P.
Coullet, ..) [7,9,4] et prédire les nouveaux régimes observables.
On peut plus précisément distinguer deux actions. La première concerne
l'aspect méthodologique; il s'agit d'expliciter les algorithmes et
les méthodes numériques permettant de calculer les valeurs propres de
l'opérateur linéarisé et d'obtenir les valeurs numériques des
coefficients du système réduit.
Cette partie, commencée en collaboration avec Y. Demay, a été testée
avec succès sur le problème de Couette-Taylor.
Mais pour l'étude d'autres problèmes plus concrets, le calcul de la
stabilité linéaire (c'est à dire le calcul des valeurs propres) peut
devenir plus difficile.
La seconde consiste à essayer de comprendre l'influence de différents
paramètres physiques en regardant comment ils modifient le seuil du point de
bifurcation et le comportement non linéaire après la transition.
En effet, on obtient de cette manière toutes les solutions bifurquées, et
on peut indiquer leurs domaines de stabilité.
Cette approche est particulièrement intéressante dans le cas où le nombre
de paramètres est important.
Ces résultats permettent de mieux exploiter les codes de simulation directe et de guider l'expérimentateur.
On a abordé sous cet angle des problèmes de cristallisation dirigée (avec
B. Roux, IMFM), d'instabilités hydrodynamiques dans les systèmes tournants
(avec I. Mutabazi et J.-E. Wesfreid, Université du Havre et ESPCI)
(Articles [A.2], [A.3], [A.11], [A.12], [A.14], [A.16], [A.17]. [A.24] et
Rapports [R.1], [R.8], [R.10] et [R.11])
Pour le problème de Couette-Taylor (instabilités entre deux cylindres
coaxiaux en rotation),
le travail avait été initialisé durant ma thèse [R.1] avec Y. Demay
et G. Iooss.
Les dernières contributions concernent la détection de certains types
de bifurcations secondaires et le calcul de l'équation aux amplitudes en
tenant compte de certaines imperfections du système ([A.12] ,[A.11] et
[A.16] ).
A propos de l'étude des instabilités centrifuges qui se développent sur
des parois concaves (les plus connues étant les instabilités de Couette-Taylor,
Dean et Taylor-Görtler) et qui interviennent dans de nombreux processus
industriels, on a regardé avec I. Mutabazi l'écoulement entre deux
cylindres coaxiaux en position horizontale avec remplissage partiel (système de
Taylor-Dean).
Ce système qui est plus complexe que celui de Couette-Taylor,
semble mieux adapté pour décrire la transition vers des régimes
turbulents dans les systèmes réels [A.17] .
Pour le problème de Couette-Taylor, on a aussi regardé le cas limite où
l'entrefer devient petit par rapport aux rayons des cylindres [A.14] .
Dans ce cas, la solution bifurquée n'est pas homogène en espace et on a
développé une méthodologie permettant de calculer les équations de
Ginzburg-Landau qui décrivent la transition.
Dernièrement avec I. Mutabazi, on a essayé de mettre en évidence un scénario
d'intermittence spatio-temporelle à partir des spirales interpénétrantes
du problème de Couette-Taylor [A.24].
(Articles [A.6], [A.19], [A.20] et Rapport [R.2])
Initialement, on voulait développer un code de calcul symbolique
permettant d'obtenir les équations aux amplitudes pour des problèmes
d'évolutions en symétrie sphérique.
En effet, pour les problèmes usuels (Couette-Taylor, Bénard plan, ..) les
équations sont invariantes par l'action du groupe O(2) et un code de calcul
symbolique avait déjà été utilisé ([R.1], [A.2,A.3,A.12] ).
Si on considère le groupe continu O(3) c'est un peu plus compliqué: on
utilise
l'algèbre de Lie associée à ce groupe afin de calculer les fonctions qui
sont O(3)-équivariantes.
L'automatisation de tous ces calculs à l'aide de Maple a été faite
[R.2]. Puis on a couplé ces programmes avec des codes numériques
écrits en Fortran adaptés au problème physique considéré.
Finalement, on n'a pas exploité intensivement ces outils à cause
du manque d'exemples expérimentaux.
Les premières tentatives concernaient le problème de Bénard sphérique
et
les phénomènes de convection en auto-gravitation [R.2].
Puis avec M Rossi et G. Iooss, on a regardé la stabilité d'une bulle d'air
dans un fluide [A.6] .
Mais dans ces deux cas les modèles étaient trop
simples ou trop éloignés de la réalité physique et il n'y avait pas
suffisamment de données expérimentales pour nous stimuler durablement.
Dernièrement, on a étudié la génération d'un champ magnétique induit
par le mouvement convectif d'un fluide conducteur ("effet dynamo", [A.20] ) et
la convection en double diffusion dans un domaine sphériques [A.19].
Cette étude ne se réduit pas seulement à montrer que l'écoulement
purement convectif devient instable (stabilité linéaire), mais comprend une
véritable analyse du comportement non linéaire du champ magnétique.
En particulier, on donne des résultats concernant:
la possibilité ou non d'apparition d'une onde rotative bien que la valeur
propre critique soit nulle; la classification en terme de symétrie des solutions qui peuvent
apparaître; le type de bifurcation et la stabilité pour certaines solutions.
(Articles [A.1], [A.4], [A.5], [A.7], [A.8], [A.9], [A.10],
[A.12], [A.15] et Rapports [R.3], [R.4], [R.5], [R.6], [R.7] et [R.9])
On s'est attaché ici à utiliser la méthologie développée
précédemment sur un problème plus intéressant du point de vue des
applications (ce qui explique le nombre de publications).
Le procédé est lié à une technique de solidification de monocritaux (de
type Bridgman avec tirage horizontal).
Cette partie a été élaborée en collaboration avec des numériciens
(B. Roux, IMF Marseille), une équipe de théoriciens (A. Gerchuni, Perm) et
des expérimentateurs (J.J. Favier, CENG Grenoble).
Les résultats obtenus lors de cette collaboration sont rassemblés dans
[A.15] .
Toujours sur les problèmes de convection, on a montré avec J. Fröhlich
et R. Peyret (Lab. de Mathématique, Nice) que les rouleaux de
Rayleigh-Bénard
devenaient sous critiques quand on remplace l'approximation de Boussinesq par
l'approximation à faible nombre de Mach avec des conductivités variables
([A.12].
Il s'agissait d'étudier les conditions d'apparition de l'effet dynamo pour le système de
Couette-Taylor.
C'est à dire la formation de champ magnétique engendrée par le mouvement de
métal liquide (gallium, sodium,...).
Notre travail se rattachait à la série d'expériences
effectuées en géométrie cylindrique par trois équipes : le CEA-Saclay
(F. Daviaud, ..), ENS-Lyon (J.-F. Pinton, ..) et ENS-Paris (S. Fauve,..).
Cela nous a motivés pour conduire une étude numérique sur les conditions d'apparition de l'effet dynamo pour ce système.
Des calculs préliminaires ont été faits sur l'écoulement de Taylor [R.20].
On a montré que l'effet dynamo pouvait exister.
Cependant, on n'a pas observé l'apparition d'un champ magnétique se développant
sur tout le cylindre quand on augmente le nombre de rouleaux de Taylor.
L'extension de cette étude aux solutions spirales a été envisagée.
Mais cela aurait nécessité travail important sur les algorithmes de résolution et un gros investissement en moyen de calcul.
En effet ces calculs demandent une très grande précision car le champ magnétique
est concentré près des points de stagnation.
Cette collaboration est actuellement un peu freinée par manque de temps.
Patrice Laure
2004-09-05