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Séries de Fourier

\underline{Notations} : On note C_{P}^{k} les fonctions de C^{k}(IR, I C ), P périodique et C̃_{P}^{k} les fonctions C^{k} par morceaux et P périodique. Soit f ∈ C̃_{P}^{0} et ω = \frac{2π}{P} , on note le nème coefficient de Fourier : c_{n}[f] = \frac{1}{P} ∫_{0}^{P} f(t) exp(−inωt)dt, n ∈ ZZ , S_{N}[f](t) = ∑_{|n|≤N} c_{n}[f] exp(inωt), et, la série de Fourier de f : S[f](t) = ∑_{n∈ZZ} c_{n}[f] exp(inωt). Lorsque f est à valeurs

réelles on préfère travailler avec a_{n}[f] = \frac{2}{P} ∫_{0}^{P} f(t) cos(nωt)dt, n ≥ 0, b_{n}[f] = \frac{2}{P} ∫_{0}^{P} f(t) sin(nωt)dt, n ≥ 1,

et S_{N}[f](t) = \frac{a_{0}[f]}{2} + ∑_{n=1}^{N}(a_{n}[f] cos(nωt) + b_{n}[f] sin(nωt)), S[f](t) = lim_{N→∞} S_{N}[f](t).

Théorème de Parseval pour f ∈ C̃_{P}^{0} : \frac{1}{P} ∫_{0}^{P} |f(t)|^{2}dt = ∑_{n∈ZZ} |c_{n}[f]|^{2} = \frac{1}{4}|a_{0}[f]|^{2} + \frac{1}{2} ∑_{n=1}^{+∞}(|a_{n}[f]|^{2} + |b_{n}[f]|^{2}).

1 Créneaux et dents de scie

Pour les fonctions de période 2π suivantes, calculer leur série de Fourier. Puis étudier la convergence simple et uniforme de ces séries de Fourier.

1. f est impaire, et f(t) = 1 sur ]0, π[.

2. f(0) = 0, f(t) = \frac{π − t}{2} sur ]0, 2π[. En déduire que ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

2 Régularité et décroissance des coefficients de Fourier

1. On suppose que f ∈ C_{2π}^{1}. Montrer que c_{n}[f′] = inc_{n}[f]. On dérivera formellement la série de Fourier de f. On justifiera ce calcul à l’aide d’une intégrations par parties sur l’intégrale qui définit c_{n}[f].

2. On suppose que f ∈ C_{2π}^{k}, où k ≥ 2.

(a) Montrer que c_{n}[f^{(k)}] = i^{k}n^{k}c_{n}[f]. En déduire que c_{n}[f] = O (\frac{1}{n^{k}} )

(b) Montrer que ∥f − S_{N}[f]∥_{∞} := sup_{x∈ℝ}|f(t) − S_{N}[f](t)| = O (\frac{1}{n^{k−1}} )

3. Réciproquement, on suppose que f ∈ C_{P}^{0} ∩ C̃_{P}^{1} et que c_{n}[f] = O (\frac{1}{n^{k+2}} ), montrer que f ∈ C_{P}^{k} .

4. On pose f(t) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nt)}{n!}, t ∈ IR. Montrez directement que f ∈ C^{∞}(IR, IR). Calculer explicitement a_{n}[f] et b_{n}[f]. En redéduire que f ∈ C_{2π}^{∞}. Donner une formule explicite de f.

3 f(t) = ∑_{n=2}^{+∞} \frac{sin(nt)}{ln(n)}

1. Montrer que f est bien définie sur ℝ, continue sur ℝ − 2πℤ paire et 2π périodique.

2. Cependant, à l’aide du théorème de Parseval montrez que la série trigonométrique définissant f n’est pas la série de fourier d’une fonction continue par morceaux sur ℝ.

4 Séries de Fourier normalement convergentes

Dans cette exercice on va obtenir l’égalité ponctuelle entre une fonction f ∈ C_{2π}^{0} et sa série de Fourier à l’aide du théorème de Parseval. Le théorème de Dirichlet ne sera guère utilisable ici.

1. Montrez que la série de Fourier de f converge normalement si et seulement si ∑_{n∈ZZ} |c_{n}[f]| converge si et

seulement si ∑_{n=1}^{+∞} |a_{n}[f]| converge et ∑_{n=1}^{+∞} |b_{n}[f]| converge.

2. Soit (γ_{n})_{n∈ℤ} telle que ∑_{n∈ZZ} |γ_{n}| converge. Soit g(x) := ∑_{n∈ZZ} γ_{n} exp(inx).

Montrez que g ∈ C_{2π}^{0} et que c_{n}[g] ≡ γ_{n} pour tout n ∈ ℤ.

3. On suppose que ∑_{n∈ZZ} |c_{n}[f]| converge. Montrez que, sur tout ℝ, la série de fourier de f converge normalement

et simplement vers f. On utilisera le Théorème de Parseval sur h := f − S[f] pour montrer que f = S[f].

4. Soit f ∈ C_{2π}^{2}, à l’aide d’intégration par parties, montrez que sa série de Fourier converge normalement vers f.

5. Soit f ∈ C_{2π}^{1}, montrez que sa série de Fourier converge normalement vers f.

5 La méthode des rectangles converge très rapidement ? !

Soit k ≥ 2, f ∈ C_{2π}^{k}, N ∈ IN − \{0\}, h = \frac{2π}{N} , x_{l} = lh pour l = 0, 1, …, N et R_{N}(f) = h ∑_{l=1}^{N} f(x_{l})

1. Pour n ∈ ZZ , montrer que R_{N}(exp(int)) = \{ \begin{matrix}2π & si N divise n \\ 0 & sinon \end{matrix}

2. Montrer que ∑_{|q|=1}^{+∞} c_{qN}[f] = O (\frac{1}{N^{k}} ) . En déduire que R_{N}(f) = ∫_{0}^{2π} f(x)dx + O (h^{k}) .

3. Si f ∈ C_{2π}^{∞} quelle méthode utiliseriez vous pour calculer ∫_{0}^{2π} f(x)dx? rectangles, trapèzes, Simpson?Romberg

6 Soit f, g ∈ C_{2π}^{0} et φ(x) := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x − t)g(t)dt, x ∈ ℝ.

1. Montrez que φ ∈ C_{2π}^{0}.

2. Montrez que c_{n}[φ] = c_{n}[f]c_{n}[g], n ∈ ZZ .

3. En déduire que ∑_{n∈ZZ} |c_{n}[φ]| converge.

4. En déduire que φ ≡ S[φ] sur ℝ.

5. Enoncer une réciproque aux deux résultats précédents.

6. \underline{Une application}: On cherche à résoudre l’équation fonctionelle suivante

f(x + y) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ ℝ (1)

dans C_{2π}^{0}. (i.e. f ∈ C_{2π}^{0}). Pour cela, on se fixe k ∈ ℤ et on pose g(x) := exp(ikx) et φ la fonction définie plus haut.

(a) En calculant les c_{n}[g] puis les c_{n}[φ], montrez que φ ≡ c_{k}[f]g.

(b) A l’aide de l’équation fonctionelle vérifiée par f, montrez que φ ≡ c_{k}[f]f.

(c) En déduire toute les solutions continues et 2π périodique de l’équation fonctionnelle (1).