Analyse , S. Junca Mathématiques - 2004-2005

Lissages et espaces de Hilbert

1 Lissages de séries chronologique par moyenne mobile

En statistiques on a l’habitude de régulariser une série chronologique pour mieux interpréter les données et réduire les fluctuations. Soit (x_{i})_{i=0}^{N+1} une série chronologique (i représente le temps). On construit une nouvelle série (y_{j})_{j=1}^{N} par moyenne mobile d’ordre 3 à l’aide de la formule suivante pour 1 ≤ j ≤ N: y_{j} := \frac{x_{j−1} + x_{j} + x_{j+1}}{3} . Si cette nouvelle série n’est pas assez régulière on peut itérer le procédé.

1. Calculez \overline{y} := \frac{1}{N} ∑_{j=1}^{N} y_{j} en fonction de \overline{x} := \frac{1}{N + 2} ∑_{i=0}^{N+1} x_{i} et des termes de bords: x_{0}, x_{1}, x_{N}, x_{N+1}.

2. Comparez V ar(y) et V ar(x). On pourra commencer par le cas où \overline{x} = 0 = \overline{y}.

2 Suites lissées

Pour simplifier l’étude du lissage, on élimine les termes de bords en considérant des suites indicées dans ℤ. Soit

\begin{aligned}M : & ℂ^{ℤ} & → & ℂ^{ℤ} \\ & u = (u_{n})_{n∈ℤ} & ↦ & v = (v_{n})_{n∈ℤ} avec v_{n} := \frac{u_{n−1} + u_{n} + u_{n+1}}{3} \end{aligned}

1. On note l^{∞}(ℤ) l’ensemble des suites bornées de ℂ^{ℤ}. On muni l^{∞}(ℤ) de sa norme naturelle: ∥u∥_{∞} := sup_{n∈ℤ}|u_{n}|.

(a) Vérifiez que M est un endomorphisme continue de l^{∞}(ℤ). Calculer ∥|M∥|_{∞} := sup_{u∈l^{∞}(ℤ)−\{0\}} \frac{∥M(u)∥_{∞}}{∥u∥_{∞}}.

(b) Donnez une condition nécessaire et suffisante sur u pour que ∥M(u)∥_{∞} = ∥u∥_{∞}.

2. Soit p > 3. On note l_{p}^{2}(ℤ) l’ensemble des suites de ℂ^{ℤ} p-périodiques: u ∈ l_{p}^{2}(ℤ) ⟺ u_{n+p} = u_{n} pour tout n.

On notera ⟨u, v⟩_{p} := \frac{1}{p} ∑_{n=1}^{p} u_{n}\overline{v_{n}}, ∥u∥_{2,p} := \sqrt{⟨u, u⟩_{p}} et ⟨u⟩_{p} := ⟨u, 1⟩_{p}.

(a) Montrez que ⟨u, v⟩_{p} munie l_{p}^{2}(ℤ) d’une structure hermitienne. Donnez une base orthogonale et dim l_{p}^{2}(ℤ).

(b) Vérifiez que M, restreint à l_{p}^{2}(ℤ), est un endomorphisme symétrique défini positif de l_{p}^{2}(ℤ).

(c) Calculer ∥|M∥|_{2} := sup_{u∈l_{p}^{2}(ℤ),⟨u,u⟩_{p}=1}∥M(u)∥_{2,p}.

(d) En déduire que la plus grande valeur propre de M sur l_{p}^{2}(ℤ) est 1. Calculer la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre 1 dans l_{p}^{2}(ℤ).

(e) En déduire que lim_{k→+∞} M^{k}(u) = ⟨u⟩_{p} , pour tout u ∈ l_{p}^{2}(ℤ).

3. On note l^{2}(ℤ) l’ensemble des suites de ℂ^{ℤ} dont le carré des modules sont sommables:

u ∈ l^{2}(ℤ) ⟺ ∑_{n∈ℤ} |u_{n}|^{2} converge. On note: ⟨u, v⟩ := ∑_{n∈ℤ}u_{n}\overline{v_{n}}, ∥u∥_{2}^{2} := ⟨u, u⟩.

(a) Vérifiez que ⟨u, v⟩ est un produit scalaire sur l^{2}(ℤ) qui le muni d’une structure hilbertienne.

(b) Montrez que ∥M(u)∥_{2} ≤ ∥ u∥_{2}. A quelle condition a-t-on l’égalité?

(c) Trouver la lim_{k→+∞} M^{k}(u) pour tout u ∈ l^{2}(ℤ).

4. Pour u ∈ l_{p}^{2}(ℤ), on note \overline{u} := ⟨u⟩_{p} et V ar(u) := \overline{(u − \overline{u})^{2}}.

(a) Démontrez et commentez cette égalité: \overline{M(u)} = \overline{u}.

(b) Démontrez et commentez cette inégalité:V ar(M(u)) ≤ V ar(u). Quand a-t-on égalité?

5. \underline{utilisation de modèle linéaire}: En pratique, on peut considérer que la suite représente une échantillon bruité d’une fonction modèle f, i.e. u_{n} = f(nδt) + ε_{n}. Prenons δt = 1 sans perte de généralité et, pour simplifier, le bruit (ε_{n})_{n} ∈ l_{p}^{2}(ℤ) de moyenne nulle: \overline{ε} = 0. On se propose de voir sur quelques exemples dans quelle mesure le lissage affecte la fonction modèle. On notera v := M(u)

(a) \underline{modèle linéaire}: f(x) := ax + b, vérifiez que v_{n} = f(n) + η_{n}, avec, η ∈ l_{p}^{2}(ℤ), \overline{η} = 0, V ar(η) ≤ V ar(ε).

(b) \underline{modèle polynomiale}: étudiez l’effet du lissage si f(x) = ax^{2} + bx + c, ax^{3} + bx^{2} + cx + d ou un polynme.

(c) \underline{modèle de croissance exponentielle}: Commentez l’intért de ce lissage si f(x) = exp(x).

3 Lissage de fonction

\underline{Notations}: Pour T > 0, on note C_{T #}^{0} l’espace des fonctions de C^{0}(ℝ, ℂ) périodique de période T; et C_{T #}^{1} = C_{T #}^{0} ∩ C^{1}(ℝ, ℂ). Pour k ∈ ℤ, on note: e_{k}(x) := exp(2ikπx) où i^{2} = −1,

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{1} f(x)\overline{g(x)}dx, ⟨f⟩ := ⟨f, 1⟩, ∥f∥_{2}^{2} := ⟨f, f⟩, c_{k}[f] := ⟨f, e_{k}⟩. Soit 0 < h < 1, on considère l’opérateur:

\begin{aligned}M : & C_{1#}^{0} & → & C_{1#}^{0} \\ & f & ↦ & g avec g(x) := \frac{f(x − h) + f(x) + f(x + h)}{3} \end{aligned}

1. Vérifiez que M, restreint à C_{1#}^{0}, est un endomorphisme symétrique défini positif de C_{1#}^{0}.

2. Montrez que M(e_{k}) = λ_{k}e_{k} où λ_{k} est un réel que l’on encadrera.

3. En déduire que M(f) := ∑_{k∈ℤ}λ_{k}c_{k}[f]e_{k}, d’abord pour f ∈ C_{1#}^{1} puis aussi pour f ∈ C_{1#}^{0}.

4. On vérifier que M^{∞}(f) := lim_{n→+∞} M^{n}(f) est bien définie pour tout f_{i}nC_{1#}^{0}.

(a) Montrez que si h ∉ ℚ alors M^{∞}(f) = ⟨f⟩.

(b) En revanche, si h = \frac{p}{q}, p, q ∈ ℕ − \{0\}, pgcd(p, q) = 1,

alors, démontrez que M^{∞} est le projecteur orthogonal de C_{1#}^{0} sur C_{1/q#}^{0}.

4 Un modèle probabiliste pour l’étude du lissage par moyenne mobile

On suppose qu’une suite (X_{n})_{n∈ℤ} de variable aléatoire satisfait, X_{n} = an+b+ε_{n}, pour tout n, où le ”bruit” (ε_{n})_{n∈ℤ} est une famille de v.a. indépendantes de moyenne nulle et de variance σ^{2} > 0. Soit m ∈ ℕ − {0}, on se donne

2m + 1 réels positifs: (α_{k})_{k=−m}^{m} dont la somme est égale à 1. On considère le lissage suivant Y_{n} := ∑_{k=−m}^{m} α_{k}X_{n+k}

pour tout n.

1. Vérifiez que le lissage préserve le modèle linéaire bruité, i.e.: Y_{n} = an + b + η_{n}, E(η_{n}) = 0, ∀n. Et montrez

que τ^{2} := V ar(η_{n}) = σ^{2} ∑_{k=−m}^{m} α_{k}^{2} ≤ V ar(ε_{n}).

2. On va chercher à réduire au maximum la variance. Pour cela, on peut se ramener à une fonction de 2m

variables: f(α_{−m}, ⋯, α_{0}, ⋯, α_{m−1}) := ∑_{k=−m}^{m} α_{k}^{2} sachant que ∑_{k=−m}^{m} α_{k} = 1.

Pour résoudre ce problème d’optimisation avec contrainte, proposez une élégante, simple, et rapide solution géométrique ou, tentez les calculs algébriques suivants:

(a) Vérifiez que que f n’admet qu’un extrémum local lorsque tous les coefficients sont égaux.

(b) Calculez la Hessienne de f, en déduire que l’on a un minimum global stricte et conclure le problème de

réduction de la variance. On pourra utilser la matrice de projecteur: P ∈ M_{2m}(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1/(2m).