Université de Nice Année 2007-2008 Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Travaux dirigés : dualité

Notation : Si E est un espace vectoriel sur ℝ, E^{∗} désigne le dual de E.

1. Calculer la base de (ℝ^{∗})^{3} duale de la base (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de ℝ^{3} , ou e_{1} = (0, 1, 1), e_{2} = (1, 1, −1) et e_{3} = (−2, −1, 1).

2. Quel est l’orthogonal dans ℝ^{3} du singleton {(x, y, z) ↦ 2x − y − z} de (ℝ^{3})^{∗}? Le caractériser avec une équation, puis sans.

3. Calculer l’orthogonal A^{⊥} dans (ℝ^{3})^{∗} de la droite A de ℝ^{3} de vecteur directeur (1, −2, 3), en déduire un système d’équations de cette droite.

4. Soit E = ℝ^{4}. Calculer l’orthogonal A^{⊥} dans E^{∗} de la partie A = {(1, 1, 0, −1), (0, 1, −1, 0)} de E. Calculer l’orthogonal A^{⊥^{∘}} de A^{⊥} dans E et donner un système d’équations pour l’espace engendré par A.

5. Soit K un corps, n ≥ 2 un entier, E l’espace des polynômes de degré ≤ n − 1 sur K et a_{1}, ..., a_{n} des éléments distincts de K

a) Montrer que P ↦ (P (a_{i}))_{1≤i≤n} est une base de E^{∗}.

b) Soit (b_{i})_{1≤i≤n} une famille d’éléments de K, montrer l’existence d’un unique polynôme^{1} P, de degré ≤ n − 1, tel que P (a_{i}) = b_{i} pour tout i, 1 ≤ i ≤ n.

c) Calculer explicitement P.

d) Soit (c_{i})_{1≤i≤n} une famille d’éléments de K. Reprendre la question (b) en imposant de plus la condition P′(a_{i}) = c_{i} pour tout i, 1 ≤ i ≤ n. Quel doit être le degré de P pour que l’on ait à la fois existence et unicité d’un tel polynôme ?

6. Soit K un corps ; montrer^{2} que le dual de l’espace des polynômes K^{(ℕ)} est l’espace de suites K^{ℕ}.

1Que l’on appelle polynôme d’interpolation de Lagrange.

2Lorsque K = ℚ, cet exercice fournit un exemple d’espace - obligatoirement de dimension infinie - qui n’est pas isomorphe à son dual. En effet, ℚ^{(ℕ)} est dénombrable et ℚ^{ℕ} ne l’est pas.