Université de Nice Année 2007-2008 Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Travaux dirigés : exercices d’arithmétique de base

1. Soit p un entier. Montrer que si a et b (resp. c et d) sont des entiers congrus modulo p, alors a + c et b + d (resp. ac et bd) le sont aussi. Que dire de a^{c} et b^{d}?

2. Montrer^{1} que pour tout nombre premier p et tout entier k vérifiant 0 < k < p, C_{p}^{k} est congru à 0 modulo p.

3. Montrer que si a et n sont des entiers naturels, avec n impair, alors a + 1 divise a^{n} + 1.

4. Soit n un entier naturel. Montrer que si 2^{n} + 1 est premier alors n est une puissance de 2 (on utilisera l’exercice 3)^{2}.

5. Montrer pour tout nombre premier p et tout couple d’entiers naturels (m, n), p^{n} − 1 divise p^{m} − 1 si et seulement si n divise m (on pourra écrire la division euclidienne de m par n).

6. Soit m et n deux entiers naturels. Montrer que 2^{2^{n}} + 1 divise 2^{2^{m}} + 1 si et seulement si n = m (voir l’indication de l’exercice 5).

7. Soit a ≥ 2 et n ≥ 1 deux entiers naturels. Montrer que si a^{n} + 1 est premier, alors a est pair et n est une puissance de 2.

8. Quel est le critère de divisibilité par 3 d’un entier écrit en numération décimale ? Démontrer sa validité.

9. Calculer la congruence de 10^{3} modulo 7 ; en déduire un critère de divisibilité par 7.

1Ce fait implique que l’élévation à la puissance p définit un endomorphisme de toute F p -algèbre commutative, cf.

leçon 112.

2Ces nombres sont dits de Fermat ; cet exercice est une étape importante du critère de constructibilité à la règle et au compas des polygônes réguliers, cf. leçon 143.