Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Travaux dirigés : groupes

1. Soit G un groupe cyclique d’ordre n. Montrer que G est isomorphe à ℤ/nℤ.

2. [P, p. 10] Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Écrire la relation d’équivalence à droite ∼_{H} attachée à H, écrire G comme réunion disjointe des classes. En déduire que si G est fini d’ordre n, alors x^{n} = 1 pour tout x de G.

3. [R, 1.1.4 p. 4] On suppose que G est un groupe fini commutatif et que n est un entier annulant G (c’est-à-dire tel que pour tout x de G, on a x^{n} = 1).

a) Montrer que pour tout sous-groupe distingué H de G, n annule H et G/H.

b) Montrer par récurrence que l’ordre de G divise une puissance de n.

c) Soit p divisant l’ordre de G. Montrer qu’il divise le ppcm des ordres de tous les éléments de G. En déduire qu’il existe un élément de G d’ordre un multiple de p.

d) Conclure qu’il existe un élément de G d’ordre p.

4. [R, 1.1.6 p. 6] a) Soit x et y deux éléments d’un groupe G qui commutent. Montrer qu’il existe un élément de G d’ordre le ppcm des ordres de x et y.

b) Montrer que si G est commutatif et fini (ce que l’on suppose désormais), alors le plus grand ordre n des éléments de G est aussi le ppcm des ordres de tous les éléments de G.

c) Montrer que si pour tout entier d, G contient au plus d éléments d’ordre divisant d, alors G est cyclique.

d) Montrer que le groupe des éléments inversibles d’un corps fini est cyclique (cf. développement 64).

5. [P, 3.3 p. 13 et 8.2 p. 28] Soit G un groupe. On appelle commutateur de x ∈ G et y ∈ G le produit xyx^{−1}y^{−1}.

a) Montrer que le conjugué d’un commutateur est un commutateur, en déduire que le groupe D(G) engendré par les commutateurs est distingué (on l’appelle groupe dérivé). Montrer que G/D(G) est abélien.

b) Montrer que pour n ≥ 5, le groupe dérivé de 𝔖_{n} est 𝔄_{n} (on admettra que 𝔄_{n} est simple dans ce cas). Quel est le groupe dérivé de 𝔄_{n}?

Références

[P] Perrin, Cours d’algèbre, Ellipse.

[R] Ramis, Deschamps, Odoux, Algèbre (exercices avec solutions), Masson.