Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Travaux dirigés : anneaux principaux

Notation : On désigne par A un anneau principal.

1. Montrer que tout corps est un anneau principal (i.e. qu’il est intègre et que tout idéal est principal).

2. Soit a ∈ A. Montrer que a est irréductible (i.e. non inversible et divisible seulement par les unités et les éléments s’écrivant ua, avec u ∈ A^{∗}) ssi l’idéal aA est un idéal non nul et strict (i.e. distinct de A) maximal pour l’inclusion. En déduire en utilisant le théorème de Krull (cf exercice 7, b.) que tout élément non inversible de A est divisible par un irréductible.

3. a) Soit a, b ∈ A. Montrer que aA + bA est un idéal de A.

b) Montrer qu’il existe c ∈ A divisant a et b et divisible par tout diviseur commun de a et b. Un tel c est il unique ? Montrer qu’il existe u, v tels que au + bv = c

b) Montrer que A vérifie le lemme de Gauss, i.e. que pour tout a, b, c ∈ A, si a et b n’ont pas de diviseur commun non inversible et que a divise bc, alors a divise c.

4. [P, p. 50] L’anneau B est dit euclidien si B est intègre et s’il existe une fonction v: B \ {0} → ℕ telle que pour tout a ∈ B et b ∈ B \ {0}, il existe q, r ∈ B tels que a = bq + r, avec r = 0 ou v(r) < v(b).

a) Montrer qu’alors B est principal.

b) Montrer que ℤ est principal.

c) Montrer que pour tout corps k, k[X] est principal.

c) [R. 1.2.10 p. 22] Montrer que l’anneau ℤ[i] des entiers de Gauss est principal.

5. Soit K un corps muni d’une valuation discrète, (i.e. d’une fonction surjective v: K^{∗} → ℤ telle que v(a + b) ≥ min(v(a), v(b)) et v(ab) = v(a) + v(b) pour tout a, b ∈ K^{∗}).

a) Soit A := {x ∈ K | x = 0 ou v(x) ≥ 0}. Montrer que A est un anneau. Comment caractériser l’ensemble des éléments inversibles de A?

b) Soit n ∈ ℕ et I_{n} := {x ∈ K | x = 0 ou v(x) ≥ n}. Montrer que c’est un idéal principal de A.

c) Montrer que tout idéal de A est l’un de ceux définis ci-dessus. En déduire que A est principal.

d) [R, 1.2.6 p. 19] Montrer que l’ensemble des nombres rationnels ayant un représentant dont le dénominateur est non divisible par p. est un anneau principal.

e) Soit k un corps et K = k(X) le corps des fractions rationnelles sur k. Montrer que l’ensemble des éléments de K constitué de 0 et de l’ensemble des fractions d’ordre positif à l’origine est un anneau principal.

6. a) Montrer que si p est irréductible, alors l’idéal pA est premier (i.e. si p divise le produit ab, alors p divise soit a, soit b).

d) [P., prop. 3.19 p. 48] Montrer que si k, l ∈ ℕ et si p_{1}, …, p_{k}, q_{1}, …, q_{l} sont des irréductibles tels que p_{1}, … p_{k} = q_{1} … q_{l}, alors k = l et il existe une permutation σ de 𝔖_{k} telle que pour tout i, 1 ≤ i ≤ k, p_{i} et q_{σ(i)} se divisent mutuellement.

7. a) [Voir P., corollaire 3.21 p. 49] Montrer que A est noethérien (i.e. que toute suite croissante d’idéaux est stationnaire).

b) En déduire le théorème de Krull^{1} : tout idéal de A est inclu dans un idéal maximal [P., th. 1.10 p. 43].

c) Montrer qu’il n’existe pas de suite (a_{n})_{n∈ℕ} vérifiant a_{n+1}|a_{n} et a_{n} |̸a_{n+1} pour tout n.

d) [Voir P., prop. 3.17 p. 48] Montrer que si a ∈ A n’est pas irréductible, alors il existe b ∈ A tel que b|a et a |̸b. En déduire que tout élément non-inversible de A est produit d’irréductibles.

1En fait, ce résultat est valable en toute généralité mais sa preuve repose sur le théorème de Zorn

Références

[P] Perrin, Cours d’algèbre, Ellipse.

[R] Ramis, Deschamps, Odoux, Algèbre (exercices avec solutions), Masson.