Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’Agrégation de Mathématiques

Travaux dirigés : autour de ℤ/nℤ

Notations : la lettre n désigne un entier.

1. Montrer que tout sous-groupe de ℤ/nℤ est cyclique.

2. Pour quelles valeurs de n l’anneau ℤ/nℤ est-il principal ?

3. Soit p_{1}, …, p_{k} les facteurs premiers de n d’exposants respectifs α_{1}, …, α_{k}. Pour tout i, 1 ≤ i ≤ k, n_{i} désigne le quotient de la division euclidienne de n par p_{i}^{α_{i}} et u_{i} est le morphisme de groupe de ℤ/nℤ dans lui même qui à x attache n_{i}x et G_{i} l’image de u_{i}.

a) Montrer que G_{i} est un sous-groupe de ℤ/nℤ pour tout i et que la somme des G_{i} est ℤ/nℤ tout entier.

b) Montrer que l’intersection des G_{i} est réduite à 0.

c) Montrer que chaque G_{i} est un p_{i}-groupe cyclique. Quel est son ordre ? Que conclure sur ℤ/nℤ?

4. [P., §7 p. 27] Soit φ la fonction indicatrice d’Euler, qui attache à l’entier n le nombre d’entiers k vérifiant 1 ≤ k < n et premiers à n.

a) Montrer que φ(n) est le cardinal du groupe (ℤ/nℤ)^{∗} des élements de ℤ/nℤ inversibles pour la multiplication.

b) Montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors φ(mn) = φ(m)φ(n). Exhiber un contrexemple montrant que l’hypothèse que m et n sont premiers entre eux est indispensable.

c) [P., 2.8 p. 74] Montrer la formule ∑_{d|n} φ(d) = n, avec la convention φ(1) = 1 (on partitionnera ℤ/nℤ à l’aide de l’ordre).

5. Soit k un entier premier à n. Montrer que k^{φ(k)} = 1 modulo n (théorème d’Euler). En déduire que tout entier premier à 10 admet un multiple qui ne s’écrit qu’avec des 1.

6. [P., prop. 7.10 p. 26] Soit p un nombre premier, k un entier non nul et G le groupe (ℤ/p^{k}ℤ)^{∗}. Pour tout entier l vérifiant 1 ≤ l ≤ k, on pose G_{l} := {1 + p^{l}u | u ∈ ℤ/p^{k}ℤ}.

a) Montrer que G_{l} est un sous-groupe de G ainsi que les inclusions G ⊃ G_{1} ⊃ … ⊃ G_{k−1} ⊃ G_{k} = 0. Quel est le cardinal de G_{l}?

b) Montrer que G/G_{1} est isomorpe à (ℤ/pℤ)^{∗}, en déduire φ(p^{k}) et une méthode de calcul de φ(n) pour tout n.

c) Montrer que G_{l}/G_{l+1} est isomorphe à ℤ/pℤ pour tout l < k. Montrer que^{1} pour tout u premier à p, 1 + up^{l} engendre G_{l} pour tout l si p ≥ 3 et pour tout l ≥ 2 si p = 2.

d) Si p ≥ 3, en déduire que G_{1} et G sont cycliques.

e) Si p = 2 et k ≥ 3, déduire de c. que G_{2} est cyclique. Montrer que G/G_{3} est isomorphe à (ℤ/2ℤ)^{2} et que G est isomorphe à (ℤ/2ℤ) × (ℤ/2^{k−2})ℤ.

7. Déterminer tous les entiers n tels que (ℤ/nℤ)^{∗} est cyclique.

8. [P., preuve de 2.7 p. 74] Soit G un groupe d’ordre n. a) Montrer que le sous-groupe de G engendré par un élément d’ordre d admet exactement ϕ(d) générateurs.

b) Soit ψ: G → ℕ la fonction qui attache à un élément de G son ordre. Montrer la formule ∑_{d|n} ψ(d) = n.

c) On suppose que pour tout diviseur d de n, G a au plus d éléments annulés par d. Montrer que ψ(d) ≠ 0 ssi ψ(d) = ϕ(d) et en déduire l’inégalité ψ(d) ≤ ϕ(d).

d) Conclure que G est cyclique (voilà une autre preuve de l’ex. 4, TD sur les groupes, qui constitue le Développement 64).

1Procéder par récurrence descendante et s’appuyer sur le lemme suivant : soit G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, x un élément de G et k un entier. On suppose que G/H et H sont cycliques engendrés respectivement par la classe de x et x^{k}. alors G est cyclique engendré par x.