Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’Agrégation Externe de Mathématiques Algèbre et Géométrie

Travaux dirigés : sous-groupes discrets de ℝ^{n}

Notation : V désigne un espace vectoriel réel de dimension finie.

Définition 1 On appelle réseau (resp. sous-réseau) de V tout sous-groupe de (V, +) engendré par une base (resp. une famille libre) de V.

Proposition 2 Un sous-groupe est un sous-réseau de V ssi c’est un sous-groupe d’un réseau.

Preuve^{1} : Utiliser le théorème des diviseurs élémentaires, dit encore de la base adaptée.

Lemme 3 Tout sous-réseau de V est discret dans V.

Preuve : Se ramener à V = ℝ^{n} et G = ℤ^{p} × {0}^{n−p} par un isomorphisme V ≃ ℝ^{n} bien choisi, puis utiliser la norme ∥.∥_{∞}.

Théorème 4 Tout sous-groupe discret de V en est un sous-réseau.

Preuve via la proposition 2^{2} : On désigne par G un sous-groupe discret de V.

(a) Soit v_{1}, …, v_{p} une famille libre maximale de V ; et K l’image de [0, 1]^{p} par l’application f: ℝ^{p} → V qui à (x_{1}, …, x_{p}) attache ∑ x_{i}v_{i}. Montrer que K ∩ G est fini.

(b) Soit H = f(ℤ^{p}). Montrer que H ⊂ G et que tout élément de G est somme d’un élément de H et d’un élément de K ∩ G.

(c) Montrer que tout élément x de G est combinaison linéaire de v_{1}, …, v_{p} à coefficients rationnels (appliquer (b) aux multiples de x, puis (a)).

(d) Montrer qu’il existe un entier d > 0 tel que tous les éléments de K∩G soient combinaisons linéaires de v_{1}, …, v_{p} à coefficients dans \frac{1}{d}ℤ (appliquer (c) et (a)). En déduire que G est un sous-groupe de f((\frac{1}{d}ℤ)^{p}) (appliquer (b)). En déduire que c’est un sous-réseau de V (appliquer la proposition 2).

Preuve directe : (a) Prouver le résultat lorsque V est une droite.

(b) Soit D une droite de V telle que D ∩ G ≠ {0}. Montrer que H := D ∩ G est un sous-groupe discret de G et que H est monogène (utiliser (a)).

(c) Montrer que G/H est un sous-groupe de V/D; montrer que c’est un sous-réseau de V/D ssi G est un sous-réseau de V (utiliser (b)).

(d) Soit W un supplémentaire de D dans V et u: W → V/D la restriction à W de la projection canonique V → V/D. Montrer que u est un isomorphisme d’espaces vectoriels et que u^{−1}(G/H) est discret dans W (si C est un compact de W, on montrera que tout élément de (C + D) ∩ G est somme d’un élément de H et d’un élément de (C + [0, 1]x) ∩ G, où x est un générateur de H).

(f) Démontrer le théorème par récurrence sur la dimension de V (utiliser (a), (d), (c)).

(g) Montrer par un exemple tel que W ∩ G = {0} que u^{−1}(G/H) n’est pas en général un sous-groupe de G.

1Cf. Tauvel, Mathématiques générales pour l’agrégation, 1.5 p. 324.

2D’après loc. cit., th. 3.2 p. 326.