Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’agrégaion de Mathématiques Algèbre et géométrie

Développement : fonction bipériodique de Weierstrass

Théorème 1 (Cartan, V.2.1) Soit U un ouvert de ℂ et pour tout k ≥ 0 une fonction holomorphe f_{k}: U → ℂ. Si la série ∑_{k≥0} f_{k} converge normalement sur tout compact de U, alors sa somme définit une fonction holomorphe sur U, dont la dérivée est la somme de la série ∑_{n≥0} f′_{n} qui converge aussi normalement sur tout compact de U.

Lemme 2 (Cartan, V.2.5) Soit G un réseau du ℝ-espace vectoriel ℂ. Alors la série ∑_{g∈G\{0}} 1/g^{t} converge absolument pour tout réel t ≥ 3.

Corollaire 3 (Cartan, prop. V.2.5.1) Soit G un réseau du ℝ espace vectoriel ℂ et soit

℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{g∈G\\{0\}} \frac{1}{(z − g)^{2}} − \frac{1}{g^{2}} .

La série définissant ℘ converge normalement sur tout compact de U = ℂ \ G et définit une fonction holomorphe G-périodique sur U admettant un pôle double en tout point de G.

Elle satisfait l’équation différentielle :

℘′^{2} = 4℘^{3} − a℘ − b

où a et b sont les nombre complexes définis par a := 60 ∑_{g∈G\{0}} 1/g^{4} et b := 140 ∑_{g∈G\{0}} 1/g^{6}.

Preuve du lemme 2 :

1. Soit (u, v) une base de G. Montrer qu’il existe r ≥ 0 tel que pour tout élément non-nul g de G, |g| ≥ r. Interprétation géométrique.

2. Réécrire la somme de l’énoncé à l’aide de la partition G = ∪_{k≥0}{mu + nv, (m, n) ∈ ℤ^{2}, max{|m|, |n|} = k. Montrer que si max{|m|, |n|} = k, alors |mu + nv| ≥ kr. Interprétation géométrique.

3. Déterminer un majorant de ∑_{max{|m|,|n|}=k} 1/|mu + nv|^{t} à k fixé, puis un équivalent de ce majorant lorsque k → +∞ et conclure. Preuve du corollaire 3 :

4. Soit R ∈ ℝ_{+} ; déterminer un majorant du terme général de la série définissant ℘ en fonction de |g|, lorsque |z| ≤ R et |g| ≥ 2R. En déduire que cette série converge normalement sur tout compact de U inclu dans \overline{B}(0, R), puis que ℘ est bien définie et holomorphe sur U.

5. Montrer que ℘ est G-périodique ainsi que ℘′.

6. Montrer que ℘ admet un pôle double en zéro, puis en tout point de G. Calculer les trois premiers termes du développement de ℘ en série de Laurent en 0.

7. Calculer ℘′ sous forme d’une somme sur g ∈ G, montrer qu’elle admet un pôle triple en tout point de G et calculer les quatre premiers termes de son développement en série de Laurent.

8. Calculer les sept premiers termes du développement en série de Laurent de f := ℘^{′2} − 4℘^{3} + a℘ + b et en déduire que f admet un prolongement holomorphe de U à ℂ tout entier.

9. Montrer que f est G-périodique sur ℂ, en déduire qu’elle est bornée et conclure.

Référence : H. Cartan, Théorie des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann.