Université de Nice Année 2006-2007 Préparation à l’agrégation

Développement : translatées et dimension finie

Ce développement est issu de l’exercice 3.9, pages 144-146 de Beck, Malick, Peyré, Objectif Agrégation [OA]. Il peut se développer dans deux directions distinctes, algèbre linéaire ou analyse fonctionnelle. Notations. Pour tout f ∈ C^{0}(ℝ, ℝ), on note f_{τ} la fonction x ↦ f(x − τ) et T_{f} = Vect(f_{τ})_{τ∈ℝ}, vu comme sous-espace de l’espace des fonctions de ℝ dans ℝ.

Dans une leçon portant sur l’analyse fonctionnelle, la dualité ou encore les déterminants, l’énoncé peut être le suivant : Théorème 1. Soit f ∈ C^{0}(ℝ, ℝ) telle que T_{f} est de dimension finie. Alors f est C^{∞}. Preuve : on suit [OA], b), c), d), e), f). Les ingrédients sont :

b) orthogonalité,

c) base antéduale et changement de base dans le dual,

d) système de Cramer,

e) convolution avec une identité approchée C^{∞}, linéarité de la convolution, régularité de la convolée, continuité du déterminant.

Noter que f) peut être simplifié puisque l’évaluation en 0 de l’identité f_{−τ} = ∑_{i} a_{i}(−τ)f_{τ_{i}} (valable pour tout τ ∈ ℝ) fournit directement que f est C^{∞} comme combinaison linéaire des fonctions τ ↦ a_{i}(−τ).

Dans un leçon sur les équations différentielles, la dualité, les polynômes d’endomorphismes ou les déterminant, les deux énoncés suivants sont plus adéquats : Théorème 2. Soit f ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) telle que T_{f} est de dimension finie, alors T_{f} est stable par dérivation. Corollaire 3. Soit E un sous-espace de dimension finie de C^{∞}(ℝ, ℝ) stable par translation. Alors E est inclu dans l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire.

En particulier, toute fonction vérifiant les hypothèses du théorème est solution d’une équation différentielle linéaire. Preuve du théorème 3 : On suit [OA], b), c), d), f), et encore une fois on peut simplifier f) en dérivant l’identité f(x − τ) = ∑_{i} a_{i}(τ)f_{τ_{i}}(x) (valable pour tout τ, x ∈ ℝ) par rapport à τ, ce qui donne directement que f′_{τ} est dans E puisque c’est une combinaison linéaire des fonctions (f_{τ_{i}})_{i}. Preuve du corollaire 3 : L’espace E est stable par la dérivation d, puisque pour tout f ∈ E, on a f ∈ T_{f} ⊂ E et T_{f} est stable par d.

Pour conclure, on remarque que tout sous-espace E de dimension finie de C^{∞}(ℝ, ℝ) stable par la dérivation d est inclu dans l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire. En effet, il existe alors un polynôme P non-nul à coefficients réels tel que P (d) = 0 puisque le morphisme d’algèbre ℝ[X] → End(E) qui attache d à X a un noyau non trivial.

Le développement peut aussi comprendre cette réciproque au théorème 2 : pour tout f ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ), T_{f} est de dimension finie si l’espace engendré par les dérivées de f l’est. Ceci nécessite de résoudre les équations différentielles linéaires ([OA], question a) et de prouver que les espaces de solutions correspondants sont stables par translation ([OA], fin de la question f).