Équations de base

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Équations de base

Les deux équations mécaniques sur lesquelles tout le modèle est construit expriment la convervation de la quantité de mouvement (équations de Navier-Stokes) et la conservation de la masse (équation de continuité). La dynamique quasi-géostrophique néglige quasiment tous les aspects thermodynamiques pour ne conserver que les équations mécaniques. Nous allons voir comment, à partir des équations de base, on obtient les équations quasi-géostrophiques au prix de plusieurs hypothèses simplificatrices. Le détail complet de ce cheminement est expliqué dans Pedlosky [40].

En coordonnées sphériques $(r,\theta,\lambda)$ ( $\theta$ représentant la latitude et $\lambda$ la longitude) dans un repère ayant son origine au centre de la terre, elles s'écrivent :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{Du}{Dt}+\frac{uw}{... ...ac{\partial p}{\partial r} - g + \frac{\mathcal{F}_r}{\rho} \end{array} \right.$

(4.22)

$\displaystyle \displaystyle \frac{D\rho}{Dt}+\rho\left[ \frac{\partial \rho}{\p... ... \theta} +\frac{1}{r\cos\theta}\frac{\partial u}{\partial \lambda} \right] = 0.$

(4.23)

Il y a inconnues ( , , , et $\rho$ ) donc il faut rajouter une cinquième équation pour compléter le système. Comme la quasi-géostrophie néglige la thermodynamique, les échanges de chaleur sont donc considérés comme nuls (adiabacité du système). Nous allons supposer de plus que la densité $\rho$ du fluide vérifie :

$\displaystyle \frac{D\rho}{Dt} = 0.$

(4.24)

Dans ces équations,

, et sont les composantes de la vitesse dans le repère sphérique ;
$\rho$ désigne la densité et la pression du fluide ;
représente l'accélération de la pesanteur ;
$\mathcal{F}$ représente les forces de frictions internes au fluide ;
enfin, $\displaystyle \frac{D}{Dt}$ est la dérivée lagrangienne suivant le mouvement :

$\displaystyle \frac{D}{Dt} = \frac{\partial }{\partial t} + \frac{u}{r\cos\thet... ...a} +\frac{v}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+w\frac{\partial }{\partial r}$

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