Heuristique

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Heuristique

Considérons un problème d'évolution bien posé (ceci sera assuré par certaines hypothèses que nous verrons plus loin) du type :

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{du}{dt}+A(t)u=f, \qquad 0\le t\le T, [0.4cm] u(0) = \xi, \end{array}\end{displaymath}$

(4.1)

et cherchons la condition initiale $\xi$ telle que la solution

de (4.1) vérifie la condition $u(T)=\chi$ , $\chi$ étant la confition finale que l'on s'impose.

Généralement, le problème :

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{du}{dt}+A(t)u=f, \qquad 0\le t\le T, [0.4cm] u(T) = \chi \end{array}\end{displaymath}$

(4.2)

est mal posé et ne permet donc pas de résoudre notre problème.

Par contre, sous certaines hypothèses (à définir), le problème

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{du_\varepsilon }{dt}+A(t... ...ad 0\le t\le T, [0.4cm] u_\varepsilon (T) = \chi \end{array}\end{displaymath}$

(4.3)

admet une unique solution $u_\varepsilon$ . Il est alors possible de définir une suite de problèmes perturbés

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dU_\varepsilon }{dt}+A(t... ..., [0.4cm] U_\varepsilon (0) = u_\varepsilon (0), \end{array}\end{displaymath}$

(4.4)

et il convient de vérifier que $U_\varepsilon (T) \to \chi$ lorsque $\varepsilon \to 0$ . Il ne restera qu'à choisir numériquement $\varepsilon$ pour avoir la précision voulue.

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