Étudions désormais le lien entre la matrice hessienne et la matrice
de covariance des erreurs d'analyse. Si on note 
les observations
du système, 
une estimation de l'état initial du système
et 
l'état initial réel du système,
on cherche alors à minimiser la fonctionnelle suivante :
est un opérateur d'observation qui fournit une estimation
des observations du système à l'état correspondant, 
et 
sont les matrices de covariance d'erreur relatives à l'état
initial 
et aux observations
respectivement.
Le minimum 
de la fonctionnelle 
est caractérisé par
La matrice hessienne au minimum est alors :
En supposant
linéaire et en introduisant l'état initial réel du système
dans
l'équation (3.9), on obtient :
![$\displaystyle \left[P_e(t_0)\right]^{-1}\left( (x^\ast-x_i)-(x_e-x_i) \right)
+ H'(x^\ast)^TR^{-1} \left( H(x_i)+H'(x_i)(x^\ast-x_i)-y \right) = 0,
$](img238.png){kind=small}
soit encore
![$\displaystyle \begin{array}{rcl}
\left(\left[P_e(t_0)\right]^{-1}+H'(x^\ast)^TR...
...\right]^{-1}(x_e-x_i) [0.2cm]
&-&H'(x^\ast)^T R^{-1}(H(x_i)-y). \end{array} $](img239.png)
En multipliant à droite par l'expression transposée et en prenant l'espérance mathématique, on trouve la matrice des covariances d'erreur d'analyse :
,
,
On peut toutefois remarquer que la formule (3.11) donnant la matrice
des covariances d'erreur d'analyse 
se déduit directement de (3.8)
lorsque l'opérateur
est supposé linéaire.
On en déduit alors que la hessienne inverse approche la matrice des
covariances d'erreur d'analyse lorsque les non linéarités sont
négligeables et que
est dans un voisinage de
où
peut être considérée comme constante.
![\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} J(x) & = & J_e(x) + J_o(x) [0.2cm] & = ...
...ft( H(x)-y \right)^T R^{-1}\left( H(x)-y \right)^T, \end{array}\end{displaymath}](img231.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \nabla J (x^\ast) & = & \left[ P_e(t_0)\ri...
...^{-1} \left( H(x^\ast)-y\right) [0.2cm] & = & 0. \end{array}\end{displaymath}](img236.png)
![\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \nabla^2J (x^\ast) & = & \left[ P_e(t_0)\r...
...ft( H(x^\ast)-y\right)^T R^{-1} H''(x^\ast) \right] \end{array}\end{displaymath}](img237.png)
![$\displaystyle P^\ast = E((x^\ast-x_i)(x^\ast-x_i)^T) = \left(\left[P_e(t_0)\right]^{-1} + H'(x^\ast)^TR^{-1}H'(x_i) \right)^{-1},$](img240.png)