Transformée de cosinus discrète

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Transformée de cosinus discrète

Tous les algorithmes que nous avons utilisés reposent sur des résolutions de l'équation

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lll} -div(c\nabla u)+u=v & dans & \Omega, \partial_n u = 0 & sur & \partial\Omega, \end{array} \right.$

(2.54)

avec différentes valeurs de

. Les premières résolutions concernent les systèmes direct et adjoint non perturbés, i.e. avec une conductivité

constante. En utilisant une transformée de cosinus discrète (DCT, équivalente à une transformée de Fourier discrète mais en ne gardant que les cosinus), le problème (2.54) est équivalent à résoudre

$\displaystyle \sum_{m,n} \left( 1+c(m\pi)^2+c(n\pi)^2\right) u_{m,n}\phi_{m,n} = \sum_{m,n} v_{m,n}\phi_{m,n},$

(2.55)

où les fonctions $\phi_{m,n}=\delta_{m,n} \cos(m\pi x)\cos(n\pi y)$ forment une base de cosinus dans $\mathbb{R}^2$ , et où $(v_{m,n})$ représente les c $\oe$ fficients de la DCT de l'image originale

. Par identification dans l'équation (2.55), les c $\oe$ fficients $(u_{m,n})$ de la DCT de l'image

que l'on cherche sont:

$\displaystyle u_{m,n} = \frac{v_{m,n}}{1+c(m\pi)^2+c(n\pi)^2}.$

(2.56)

La complexité d'une DCT est $\mathcal{O}(n.\log(n))$ où

est le nombre de pixels de l'image. La résolution des problèmes non perturbés se fait de la façon suivante:

$\bullet$: Calcul des c $\oe$ fficients $v_{m,n}$ de la DCT de l'image originale .
$\bullet$: Calcul des c $\oe$ fficients $u_{m,n}$ en utilisant (2.56).
$\bullet$: Assemblage de l'image à partir de ses c $\oe$ fficients $u_{m,n}$ par une DCT inverse.

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