De la restauration à la segmentation

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De la restauration à la segmentation

On considère à nouveau l'algorithme de restauration dans lequel on utilise la conductivité suivante pour le problème perturbé:

$\displaystyle c(\varepsilon) = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \textrm{ su... ...ystyle\frac{1}{\varepsilon} \textrm{ en dehors de } \omega, \end{array} \right.$

(2.40)

où $\omega\subset\Omega$ représentera par la suite l'ensemble des contours de l'image. Dans un premier temps, on suppose que $\omega$ n'est pas d'intérieur vide, i.e. qu'il est de co-dimension 0 dans $\Omega$ . En utilisant (2.40), l'algorithme revient alors à considérer le problème suivant:

$\displaystyle (\mathcal{P}_\varepsilon) \left\{ \begin{array}{lll} -div(\var... ...ega, \partial_n u_\varepsilon = 0 & sur & \partial\Omega, \end{array} \right.$

(2.41)

où $u_\varepsilon\in H^1(\Omega)$ , i.e. avec la condition implicite de recollement de $c(\varepsilon)\partial_n u_\varepsilon$ des deux côtés de $\partial\omega$ .

Nous avons alors le résultat asymptotique suivant [19]:

Théorème 2.2 Si $u_\varepsilon$ est l'unique solution du problème $(\mathcal{P}_\varepsilon)$ dans $H^1(\Omega)$ , alors

$\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0} (\Vert\nabla u_\varepsilon - \nabla u_0\V... ...^2(\Omega\backslash\omega)} + \Vert u_\varepsilon-u_0\Vert _{L^2(\omega)}) = 0,$

(2.42)

où $u_0\in H^1(\Omega\backslash\omega)\cap L^2(\Omega)$ est la solution de

$\displaystyle (\mathcal{P}_0) \left\{ \begin{array}{lll} u_0 = v & dans & \o... ...partial\omega, \partial_n u_0 = 0 & sur & \partial\Omega. \end{array} \right.$

(2.43)

Ce résultat nous indique qu'on peut approcher l'image segmentée à l'aide de $u_\varepsilon$ . Désormais, on suppose que $\omega$ est de co-dimension dans $\Omega$ , ce qui permet de mieux gérer la situation réelle. En effet, du point de vue des applications, il est naturel de considérer que les contours forment un ensemble de dimension lorsque l'image est de dimension par exemple. Pour garder la cohérence avec les sections précédentes, nous noterons désormais $\sigma$ cet ensemble, qui désigne donc les contours de l'image. On suppose que cet ensemble est connu, grâce à la méthode de détection des contours que nous avons vue à plusieurs reprises précédemment.

Le problème $(\mathcal{P}_\varepsilon)$ devient désormais

$\displaystyle (\tilde{\mathcal{P}}_\varepsilon) \left\{ \begin{array}{lll} \... ...gma, \partial_n u_\varepsilon = 0 & sur & \partial\Omega, \end{array} \right.$

(2.44)

où $u_\varepsilon\in H^1(\Omega\backslash\sigma)$ . L'existence et unicité de la solution est garantie si $v\in L^2(\Omega)$ . Le résultat asymptotique devient alors [19]:

Théorème 2.3 Si $u_\varepsilon$ est l'unique solution du problème $(\tilde{\mathcal{P}}_\varepsilon)$ dans $H^1(\Omega\backslash\sigma)$ , alors

$\displaystyle \Vert u_\varepsilon\Vert _{L^2(\Omega)}\le\Vert v\Vert _{L^2(\Ome... ..._{L^2(\Omega\backslash\sigma)}\le\sqrt{\varepsilon}\Vert v\Vert _{L^2(\Omega)},$

(2.45)

$\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0} \Vert\nabla u_\varepsilon - \nabla u_0\Vert _{L^2(\Omega\backslash\sigma)} = 0,$

(2.46)

où $u_0\in H^1(\Omega\backslash\sigma)$ est l'unique solution de

$\displaystyle (\tilde{\mathcal{P}}_0) \left\{ \begin{array}{lll} -div\left(\... ... sur & \sigma, \partial_n u_0 = 0 & sur & \partial\Omega. \end{array} \right.$

(2.47)

La résolution directe du problème $(\tilde{\mathcal{P}}_0)$ peut s'avérer extrêmement coûteuse en pratique, à cause du très mauvais conditionnement du système. L'idée est alors de résoudre des approximations $(\tilde{\mathcal{P}}_\varepsilon)$ , et d'approcher la solution à l'aide des solutions $u_\varepsilon$ ainsi construites.

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