\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{~\mathop{\rm et }~} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{~\mathop{\rm ou }~} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }} \newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }} \newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} M\'ethodo Exos5~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf Nier, traduire}} \hfill 18/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ % \vspace{0.9cm} \begin{enumerate} \item {\Large {\bf Nier}} \vspace{-0.7cm} $$\binom {n}{p} = \dfrac {n!}{ p! (n-p)!};~~~ \forall n,p \in \nn, \binom {n}{p} = \dfrac {n!}{ p! (n-p)!};~~~ \lim _{x \rar 0} x^ {\alpha} = 0;~~~ \tan x=0 \imp \exists k \in \zz, x=\dfrac {\pi}{2} +k\pi;$$ \vspace{-0.7cm} $$ \forall \alpha \in \rr, \lim _{x \rar 0} x^ {\alpha} = 0;~~ \forall x \in I, f'(x) >0;~~~ \forall x,y \in I, x \le y \imp x^2 \le y^2;~~ \forall x,y \in I, x < y \imp f(x) < f(y);$$ \vspace{-0.7cm} $$ \forall x,y \in I, x \le y \ssi f(x) \le f(y);~~ \forall x,y \in I, x < y \ssi f(x) < f(y);~~ \forall x, y \in \rr, \ln (xy)=\ln x +\ln y;$$ \vspace{-0.7cm} $$ \forall \theta, \theta ' \in \rr , \rho e^{i\theta} =\rho ' e^{i\theta '} \imp \rho=\rho';~ \exists T \in \rr, \forall x \in \rr, f(x+T)=f(x);~~ \forall x \in \rr,\exists T \in \rr, f(x+T)=f(x).$$ \vspace{0.3cm} \item {\Large {\bf Formuler la contrapos\'ee puis la r\'eciproque}} $\forall x,y \in I, x \le y \imp x^2 \le y^2; ~~ \forall x,y \in I, x < y \imp f(x) < f(y);~~ \forall x,y \in I, x^4=y^4 \imp x=y.$ \vspace{0.3cm} \item {\Large {\bf Traduire sous contexte}}\\ Dans le contexte donn\'e, formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants. \begin{enumerate} \item {Contexte : $x$ et $y$ sont r\'eels.} \vspace{.1mm}\par\noindent $x$ et $y$ ont m\^eme partie enti\`ere; ~~ $(x \geq 0 \et y \leq 0) \ou (x \leq 0 \et y \geq 0)$; ~~ $x$ est d\'ecimal. \vspace{0.2cm} \item {Contexte : $I$ est un intervalle, $f$ et $g$ sont des fonctions sur $I$.} \vspace{.1mm}\par\noindent $f$ est positive; \hfill $\exists m \in \rr,\ \forall x \in I,\ f(x) \geq m$; \\ $f$ est constante; \hfill $\forall x\in I,\ f(x) \neq g(x)$;\\ $f$ est croissante; \hfill $f$ est major\'ee par $2$; \\ $f$ est born\'ee; \hfill $\forall x,\ x' \in I,\ f(x)=0 \et f(x')=0 \Rightarrow x=x'$;\\ $f$ et $g$ sont distinctes;\hfill $f$ majore $g$; \\ $f$ change de signe une et une seule fois sur $I$; \hfill $\forall x \in I,\ x+\pi \in I \et f(x+\pi)=f(x)$; \\ $f$ est monotone; \hfill $(\forall x\in I,\ f(x) > g(x)) \ou (\forall x\in I,\ f(x) < g(x)$; \\ $\exists x \in I,\ \forall y\in I,\ y \geq x \Rightarrow f(y) \geq 0$. \end{enumerate} \vspace{0.3cm} \item {\Large {\bf Traduire sans contexte}}\\ Formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants. \begin{enumerate} \item{Concernant les nombres entiers et rationnels}: \vspace{.1mm}\par\noindent $\exists x \in \nn,\ \forall y\in \nn,\ y \geq x \Rightarrow \exists z \in \nn,\ y^3 \leq z^2 \leq (y+1)^3$; \\ $\forall n \in \nn^*,\ \exists a,\ b,\ c,\ d\in \nn^*,\ n=a^2+b^2+c^2+d^2$. \vspace{0.2cm} \item{Concernant les nombres complexes}: \vspace{.1mm}\par\noindent Deux nombres complexes sont \'egaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments le sont;\\ $\forall z \in \cc^*,\ \exists r,\ r'\in \cc,\ r \neq r' \et r^2=z \et {r'}^2=z$;\\ $\forall z \in \cc^*,\ \forall \theta \in \rr,\ \Arg z=\theta \, [2\pi] \, \Rightarrow \Arg z^{-1} =-\theta \, [2 \pi]$;\\ $\forall z,\ z' \in \cc,\ z^2={z'}^2 \Rightarrow z=z' \ou z=-z'$;\\ Il y a exactement $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e distinctes, et ce pour tout $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} \item{Petit rab}: \vspace{.1mm}\par\noindent Tout polyn\^ome de coefficient dominant positif tend vers l'infini \`a l'infini;\\ Un trin\^ome du second degr\'e qui s'annule en trois points est identiquement nul;\\ Un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues de discriminant non-nul admet une unique solution; \\ Deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues peuvent n'avoir aucune solution commune. \end{enumerate} \item {\Large {\bf R\'ediger}} Traduire informellement et \'evaluer les \'enonc\'es suivants; pour chaque \'enonc\'e faux, proposer une variante juste. $\forall x,y \in {\bf R},\, x\leq y \Longrightarrow x^2 \leq y^2;$ \hfill $\forall x,y \in [0, +\infty[,\, x^3 < y^3 \ssi x < y;$\\ $\forall x,y \in {\bf R},\, max(x, y)=min(x,y) \Longrightarrow x=y;$ \hfill $\forall x, y \in {\bf R},\, max(x,y)=x \ou max(x,y)=y;$\\ $\forall x,y,a \in {\bf R},\, x