\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}} \newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}} \newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}} \newcommand{\cc}{{\bf C}} \newcommand{\et}{\mathop{\rm et }} \newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }} \newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }} \newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }} \newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }} \newcommand{\si}{\mathop{\rm si }} \newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }} \newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }} \newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }} \newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }} \newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }} \newcommand{\non}{\mathop{\rm non }} \newcommand{\rr}{{\bf R}} \newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}} \newcommand{\rrn}{{\bf R^n}} \newcommand{\nn}{{\bf N}} \newcommand{\kk}{{\bf K}} \newcommand{\kx}{{\bf K}[X]} \newcommand{\rX}{{\bf R}[X]} \newcommand{\qq}{{\bf Q}} \newcommand{\zz}{{\bf Z}} \newcommand{\rar}{\rightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\limp}{\longleftarrow} \newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\ove}{\overline} \documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{0.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{15cm} %\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} \begin{document} \begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM TC UMED 31/01/02 \\} }% Calculettes et documents interdits. Dur\'ee: 2h. Bar\`eme: $8\times 3=24 >20=$ note\_max. \end{center} \vspace{1cm} \begin{enumerate} \item On d\'efinit un connecteur logique $recimp: \bb \times \bb \rar \bb$ par $recimp (A, B)= B \imp A$. Etendre de fa\c{c}on pertinente ce connecteur \`a $\bb_\perp = \bb \amalg \{\perp\}$. \item Sachant que $P$ est une partie de $\rr$, donnez une d\'efinition formelle pour la phrase suivante: $P$ est un intervalle. \item Sachant que $f$ est une fonction sur l'intervalle $I$, formalisez la phrase suivante: $f$ est constante. \item L'une des formules de la feuille du bac est: $\overline {z}=\rho e^{-i\theta}$. a) Quelles y sont les variables libres et leurs types? b) Indiquez les ressources mises en oeuvre avec leur type. c) Quel est le contexte sous-entendu? d) Donner une version quantifi\'ee et une version r\'edig\'ee de cette formule. \vspace{0.5cm} \item Quelle ressource appliquez-vous \`a quels arguments pour r\'eduire le but A au but B? A: Contexte: $x\in \rr$; \'enonc\'e: $ \frac{1}{4} \ge \frac {1}{x^2+4}$ B: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 < 4 \le x^2+4$. \item D\'emontrer (en termes de tactiques) l'\'enonc\'e suivant, o\`u $f$ est d\'efinie par $f(x)=x^4-x^2$: \vspace{-0.2cm} $$(\forall x \in \rr, \exists M \in \rr, f(x) \le M )\et \forall x \in \rr, \exists T \in \rr^*, f(x+T)=f(x).$$ \noindent Est-ce que $f$ est major\'ee? p\'eriodique? \item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \frac {2x}{1-x^2}$, et on pose $\hat \rr := \rr \amalg \{\infty\}$. a) Proposez une extension $\tilde f$ de $f$ \`a $\hat \rr$. Expliquez votre choix. b) Proposez une extension $\tilde \tan$ d\'efinie sur $\rr$ de la fonction tangente \`a valeurs dans dans $\hat \rr$. c) On rappelle la formule $\tan 2x=f(\tan x)$. Indiquez son domaine de validit\'e. d) Avec vos choix de a) et b), dans quelle mesure la formule pr\'ec\'edente s'\'etend-elle? \item On consid\`ere le texte suivant: La fonction $x\mapsto \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}}$ est major\'ee. Preuve. En majorant le num\'erateur par $3$ et en minorant le d\'enominateur par $2$, on voit que la fonction est major\'ee par $\frac{3}{2}$. Dans l'analyse de ce texte, on peut faire appara\^{\i}tre les deux buts suivants: C: Contexte: $x\in \rr$; \'enonc\'e: $ \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}} \le \frac{3}{2}$ D: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 < 4 \le x^2+4$. a) Expliquez l'encha\^{\i}nement de deux tactiques qui a g\'en\'er\'e le but C. b) Proposer un encha\^{\i}nement de tactiques pour passer de C \`a D. Indiquez le(s) but(s) interm\'ediaire(s). c) Quelle tactique proposez-vous pour passer de D au but suivant? d) Citez une ressource que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve. \end{enumerate} \end{document} \item L'une des formules du bac est (F): ~~$(ku)'=ku'$. a) Quels sont, dans (F), les types de $k$ et de la multiplication (on ne demande pas la r\'eponse la plus g\'en\'erale)? b) R\'edigez un \'enonc\'e correspondant \`a (F) (on ne demande pas l'\'enonc\'e le plus g\'en\'eral). c) On note $der_\perp: (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar \rr_\perp)$ et $|\, |_\perp: \rr_\perp \rar \rr_\perp$ les extensions naturelles de la d\'erivation et de la valeur absolue. D\'ecrivez $der_\perp(|\,|_\perp)$. d) Proposez une extension pertinente de la multiplication des nombres: $mult_\perp: \rr_\perp \times \rr_\perp \rar \rr_\perp$ et de la multiplication des fonctions $mult_\perp: \rr_\perp \times (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar \rr_\perp)$, et formulez l'extension correspondante de (F). Justifiez vos choix. \end{enumerate} \end{document} \item On consid\`ere le texte suivant: Pour tout r\'eel $a$, la fonction $x\mapsto \sin ax$ est p\'eriodique. Preuve. Si $a$ est non-nul, on v\'erifie que la fonction est p\'eriodique de p\'eriode $\frac{2\pi}{a}$. ... Dans l'analyse de ce texte, on peut faire appara\^{\i}tre les deux buts suivants: A: Contexte: $a\in \rr, a \neq 0$; \'enonc\'e: $\exists T \in \rr^*, \forall x \in \rr, \sin ax =\sin a(x+T)$ C: Contexte: $a, x \in \rr, a \neq 0$; \'enonc\'e: $ \sin ax =\sin a(x+\frac{2\pi}{a})$. a) Quelle tactique a g\'en\'er\'e le but A? b) Quel couple de tactiques proposez-vous pour passer de A \`a C? Indiquez le but interm\'ediaire. c) Quel tactique proposez-vous pour passer de C \`a un autre but? d) Citez une ressource que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve.