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\begin{document}
\begin{center}
\underline {PARTIEL D'HIVER SAMEDI 5 JANVIER: CONSULTEZ L'AFFICHAGE}
\end{center}\vspace{0.2cm}
M\'ethodo Exos9~~~{\Huge {\bf
R\'evisions (preuves)}} \hfill 17/12/01 ~Deug MIASSM TC\\ %
\vspace{0.4cm}
Dans chacun des textes suivants:\\
\vspace{-0.1cm}
a) reconstituez
l'encha\^{\i}nement des buts (avec leurs contextes) par les
tactiques;\\
\vspace{-0.1cm}
b) recensez les
ressources utilis\'ees et leurs arguments effectifs;\\
\vspace{-0.1cm}
c) donnez une preuve deux fois plus d\'etaill\'ee.
\begin{enumerate}
\item {\Large {\bf Pour $x \le -1$, on a $\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}
\le \frac {\sqrt 2}{2}.$}}
\vspace{0.4cm}
Pour $x \le -1$, on a $x^2 \ge 1$, donc $x^2+1 \ge 2$, d'o\`u
$ \sqrt {x^2+1} \ge \sqrt 2$. Par cons\'equent, on a bien
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}
\le \frac {\sqrt 2}{2}$.
\vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf La fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt {x^2+4}}$ est born\'ee.}}
\vspace{0.4cm}
Cette fonction est positive donc minor\'ee. Pour montrer qu'elle est major\'ee
par $\frac{1}{2}$, il nous suffit de montrer, pour $x$ quelconque,
$ \sqrt {x^2+4} \ge 2$,
ce qui r\'esulte du fait que tout carr\'e est positif.
\vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf Pour tout couple $(z,z')$ de nombres complexes,
$|zz'|=|z||z'|$.}}
\vspace{0.4cm}
Preuve (Guinin/Joppin). $|zz'|^2=zz' \overline {zz'}= zz' \overline {z}\overline {z'}=
(z \overline {z})(z'\overline {z'})=|z|^2|z'|^2.$
\vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf Pour tout r\'eel $a$ strictement positif:
$\ln \sqrt a = \frac {1}{2} \ln a$.}}
\vspace{0.4cm}
Preuve (Guinin/Joppin). La relation $(\sqrt a)^2= a$ et la propri\'et\'e 6
donnent $2 \ln \sqrt a =\ln a$, d'o\`u la conclusion.
\vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf Pour tout r\'eel $a$ strictement positif:
$\ln \frac {1}{a} =-\ln a$.}}
\vspace{0.4cm}
Preuve(d'apr\`es Guinin/Joppin). Il suffit de prouver
$\ln \frac {1}{a} +\ln a=0$, ou encore, d'apr\`es le th\'eor\`eme 1,
$\ln (\frac {1}{a}. a)=0$, ce qui r\'esulte de $\ln 1=0$.
\vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf Si deux fonctions ont m\^eme sens de variation sur $\rr$,
leur compos\'ee est croissante.}}
\vspace{0.4cm}
Preuve. Soient par exemple $f$ et $g$ deux fonctions d\'ecroissantes sur $\rr$,
et $x$ et $y$ deux r\'eels avec $x \le y$. Comme $f$ est d\'ecroissante, on
d\'eduit
$f(x) \ge f(y)$, puis $g(f(x))\le g(f(y))$ puisque $g$ est aussi d\'ecroissante,
ce qui prouve que $g\circ f$ est croissante.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
----
i) Enoncer correctement la r\'eponse.
ii) R\'ediger une preuve qui explicite tous les ingr\'edients.
\item{\bf R\'ecurrence:}
Dire (sans langue de bois) ce qu'est une fonction ind\'efiniment d\'erivable.
D\'emontrer que si $P$ est un polyn\^ome, la fonction $P(x)e^{-x^2}$ est
ind\'efiniment d\'erivable et tend vers z\'ero ainsi que toutes ses
d\'eriv\'ees lorsque $x$ tend vers l'infini; on formulera avec le plus grand
soin les \'eventuelles hypoth\`eses de r\'ecurrence.