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\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
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\newcommand{\ou}{\mathop{\,\rm ou \,}}
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\newcommand{\rr}{{\bf R}}
\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
\newcommand{\rrn}{{\bf R^n}}
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\newcommand{\kx}{{\bf K}[X]}
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\documentclass[12pt]{article} 
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\pagestyle{empty} 
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\begin{document}
 MIASSM 1 - Variante d'un \hfill  \hfill 3/12/01 

\vspace{10mm}

\centerline{\Huge {\bf 
                     Contr\^ole express (gpe 8)}}
		   
\vspace{1cm}
Voici une d\'emonstration d'un c\'el\`ebre th\'eor\`eme d'Euclide (300 a.J.-C.):
\begin{quote}
Il existe un nombre premier plus grand que tout nombre entier donn\'e.
\end{quote}
\noindent{\it D\'emonstration}. Soit $n$ un entier au moins \'egal \`a 2,  et 
soit $\mathbb P_n $ 
l'ensemble des nombres premiers inf\'erieurs
\`a
$n$. Nous devons trouver un nombre premier qui n'appartient pas \`a 
$\mathbb P_n $ . On sait que tout
entier au moins \'egal \`a 2 admet un diviseur premier;  il nous suffit alors 
de construire un entier
$A>2$ qui n'est divisible par aucun des \'el\'ements de $\mathbb P_n $ . 
En effet,  un tel entier $A$
admettra un diviseur premier $q$,  qui ne peut appartenir \`a $\mathbb P_n $ 
puisqu'aucun des \'el\'ements
de $\mathbb P_n $ ne divise $A$. Il ne reste plus qu'\`a trouver $A$ : il 
suffit de poser 
$A = 1+\prod_{p\in\mathbb P_n} p $. Pour tout $p$ dans $\mathbb P_n $ ,  le 
reste de la division de $A$
par $p$ est 1,  donc $p$ ne divise pas $A$.
                                   
\begin{enumerate}

\item Identifier
les ressources mises en jeu dans l'\'enonc\'e en pr\'ecisant leur type.
\item  Formaliser l'\'enonc\'e. 
\item Identifier
les tactiques de la d\'emonstration.
\end{enumerate}

Solution: 

                                  
\begin{enumerate}

\item 

L'\'enonc\'e parle de l'ensemble $\nn: Ens$, de la relation $> : \nn \times \nn
\rar \bb$, et de la propri\'et\'e $premier: \nn \rar \bb$.

\item  $\forall n \in \nn, \exists p \in \nn, p>n \et premier(p)$.

%\newpage

\item 
{\bf Soit $n$ un entier au moins \'egal \`a 2}: \\
Introduire $n$; Distinguer selon $n
\ge 2$; \\
on ne traite que le premier cas; 

 {\bf et soit $\mathbb P_n $ 
l'ensemble des nombres premiers inf\'erieurs
\`a
$n$}: \\ce n'est pas une tactique mais une d\'efinition;

{\bf Nous devons trouver un nombre premier qui n'appartient pas \`a 
$\mathbb P_n $}: \\
Observer $\exists p \in \nn, premier(p) \et p \notin P_n$; \\
ceci g\'en\`ere deux buts dont le second est consid\'er\'e comme \'evident;


 
{\bf On sait que tout
entier au moins \'egal \`a 2 admet un diviseur premier}:\\ 
Rappel de la ressource $R_1$: \\
$\forall x \in \nn, \, x \ge 2 \imp \exists q \in \nn, premier(q) \et q |x$.


{\bf  il nous suffit alors 
de construire un entier
$A>2$ qui n'est divisible par aucun des \'el\'ements de $\mathbb P_n $}:\\
Observer $\exists A \in \nn, A>2 \et \forall x \in P_n, \forall m \in \nn, mx
\neq A$;  \\
cette tactique g\'en\`ere deux buts, et on commence par le deuxi\`eme;

{\bf En effet,  un tel entier $A$
admettra un diviseur premier $q$}: \\
Eliminer $\exists$ (cette tactique introduit
$A$); Appliquer $R1$ \`a $x:=A$; Eliminer $\exists$ (cette tactique introduit
$q$);

{\bf qui ne peut appartenir \`a $\mathbb P_n $}: \\
Observer $q \notin P_n$;

{\bf puisqu'aucun des \'el\'ements
de $\mathbb P_n $ ne divise $A$}: \\
Appliquer la ressource qui dit:
$\forall E \in Ens, \forall P \in \pp(E), \forall x \in E,
(\forall y \in P, y \neq x) \imp x \notin P$ \\
\`a $E := \nn, P:= P_n$, et
$x:=q$; Introduire $y$; Appliquer la ressource qui dit:\\
$\forall E \in Ens, \forall u,v \in E, \forall P \in E \rar \bb, 
P(u) \neq P(v) \imp u \neq v$ \\
\`a $E:=\nn, u:=q, v:= y, P:= z \mapsto z|A$;



{\bf Il ne reste plus qu'\`a trouver $A$} :\\ Rappel du but restant;

{\bf il 
suffit de poser 
$A = 1+\prod_{p\in\mathbb P_n} p $}: \\Exhiber; on ne traite pas $A >2$;

{\bf  Pour tout $p$ dans $\mathbb P_n $}: \\Introduire $p$;
   
  {\bf le 
reste de la division de $A$
par $p$ est 1}: \\Observer $A \mod p=1$;

{\bf donc $p$ ne divise pas $A$}. \\
Appliquer la contrapos\'ee de
$\forall u \in \nn, \forall v \in \nn, v |u \imp u \mod v =0$ \`a
$u:=A, v:= p$.

\end{enumerate}

\end{document}

Distinguer selon $n<2$;
le premier cas, n'est pas trait\'e (prendre $p=2$); pour le second, Appliquer 
\`a $x:=2$ la ressource $R_1$:
$\forall x \in \nn x \ge 2 \imp \exists q \in \nn, premier(q) \et q |x$; 
cette tactique g\'en\`ere deux buts
dont le premier ($n \ge 2$) est trivial.