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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
 M\'ethodo Exos8~~~{\Huge {\bf 
                      Analyser une preuve}}  \hfill 10/12/01 ~Deug MIASSM TC\\ %
		     
		     \vspace{0.4cm}

Dans chacune des  textes suivants:\\

a) reconstituez 
l'encha\^{\i}nement des buts (avec leurs contextes) par les 
tactiques;\\

b) recensez les 
ressources utilis\'ees et  leurs arguments effectifs;\\

c) donnez une preuve deux fois plus d\'etaill\'ee.

                                                
\begin{enumerate}
		     
		     \vspace{0.4cm}

\item {\Large {\bf $\sqrt 2$ est irrationnel}}
		     
		     \vspace{0.4cm}

Montrons donc que si $p$ et $q$ sont deux entiers avec $p \ge 1$, alors $p/q$ 
ne peut \^etre \'egal \`a $\sqrt 2$. On peut \'evidemment supposer $p$ positif,
et $p$ ou $q$ impair. Dans ces conditions, il suffit de s'assurer
 que $p^2:q^2$ ne peut \^etre \'egal \`a 
$2$. Or, soit $p$ est impair, auquel cas 
$p^2$ l'est aussi et ne peut donc \^etre \'egal 
\`a 
$2q^2$, soit $p$ est pair, auquel cas $p^2$ est divisible par $4$ tandis que 
$2q^2$ ne l'est pas.

		     
		     \vspace{0.4cm}

\item {\Large {\bf  Pour $a$ et $b$ complexes, on a $a.b=0 
\ssi (a=0 \ou
b=0).$}}
		     
		     \vspace{0.4cm}

Preuve (Liret-Martinais). Si par exemple $a=0$, alors nous savons d\'ej\`a que 
$a.b=0.b=0.$
Supposons $a.b=0$ et $a \neq 0$. Il vient $b =
1.b=((1/a).a).b=(1/a).(a.b)=(1/a).0=0.$

		     
		     \vspace{0.4cm}

\item {\Large {\bf   Si $b$ est non nul,
$|a|
\leq |a+b| 
~\et |a|\leq |a-b|$ implique $|a|\leq |b|/2$.}}
		     
		     \vspace{0.4cm}

Preuve (Silici). 
Par homog\'en\'eit\'e, on peut diviser par $b$. Il faut donc
d\'emontrer\\
$|a|
\leq |a+1| ~
\et ~|a|\leq |a-1| \imp |a|\leq 1/2$.\\
 On observe que le signe de $a$ est
indiff\'erent, supposons-le positif. La premi\`ere in\'egalit\'e est inutile
mais la seconde donne le r\'esultat.

		     
		     \vspace{0.4cm}


\item{\Large {\bf
Exercice: R\'esoudre l'\'equation $1+2z+2z^2+...+2z^{n-1}+z^n=0$.}}
		     
		     \vspace{0.4cm}

Solution [Flory): En multipliant le premier membre par $1-z$, on se ram\`ene 
\`a
l'\'equation

 $(1+z)(1-z^n)=0$ dont la racine $z=1$ doit \^etre exclue.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

----

i) Enoncer correctement la r\'eponse.

ii) R\'ediger une preuve  qui explicite tous les ingr\'edients.
 
 \item{\bf R\'ecurrence:} 
 Dire (sans langue de bois) ce qu'est une fonction ind\'efiniment d\'erivable.
 D\'emontrer que si $P$ est un polyn\^ome, la fonction $P(x)e^{-x^2}$ est
 ind\'efiniment d\'erivable et tend vers z\'ero ainsi que toutes ses
 d\'eriv\'ees lorsque $x$ tend vers l'infini; on formulera avec le plus grand
 soin les \'eventuelles hypoth\`eses de r\'ecurrence.